Atom helia

Atom helia je atom chemického prvku helia . Helium se skládá ze dvou elektronů vázaných k jádru obsahujícímu dva protony spolu s jedním ( 3 He) nebo dvěma ( 4 He) neutrony drženými silnou silou . Na rozdíl od vodíku nebylo pro atom helia nalezeno žádné řešení Schrödingerovy rovnice v uzavřené formě . K odhadu základní energie a vlnové funkce atomu však lze použít různé aproximace, jako je Hartree-Fock metoda .

Úvod

Kvantově mechanický popis atomu helia je zvláště zajímavý, protože se jedná o nejjednodušší mnohoelektronový systém, který lze použít k pochopení konceptu kvantového zapletení . Hamiltonián pro atom helia je považován za systém tří těles: dvou elektronů a jádra. Po rozdělení pohybu na pohyb elektronů se sníženou hmotností a pohyb těžiště lze zapsat jako

H({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=\sum _{i=1,2}{\Bigg (}-{\ frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla _{r_{i}}^{2}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_ {i))}{\Bigg )}-{\frac {\hbar ^{2}}{M}}\nabla _{r_{1}}\cdot \nabla _{r_{2}}+{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{12}}}

kde je redukovaná hmotnost elektronu vzhledem k masivnějšímu jádru a jsou vektory poloměru od jádra k elektronům a vzdálenost mezi elektrony . Jaderná nálož je dvě pro helium. V aproximaci nekonečně těžkého jádra získáme a termín zmizí. V atomových jednotkách je hamiltonián zjednodušený $\mu ={\frac {mM}{m+M))$ ${\vec {r}}_{1}$ ${\vec {r}}_{2}$ $r_{12}=|{\vec {r_{1}}}-{\vec {r_{2}}}|$ $Z$ $M=\infty$ $\mu=m$ ${\frac {\hbar ^{2}}{M}}\nabla _{r_{1}}\cdot \nabla _{r_{2}}$

H({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{1 ))^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{2}}^{2}-{\frac {Z}{r_{1}}}-{\frac {Z }{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{12}}}.

Tento hamiltonián nepracuje v normálním prostoru, ale v šestirozměrném konfiguračním prostoru . V této aproximaci ( Pauliho aproximace ) je vlnová funkce čtyřsložkový spinor druhé kategorie , kde indexy popisují projekce rotací pro elektrony (směr z nahoru nebo dolů) v nějakém souřadnicovém systému. [1] Musí dodržovat obvyklou podmínku normy $({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})$ $\psi _{ij}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})$ $i,j=\,\uparrow ,\downarrow$

\sum _{ij}\int d{\vec {r}}_{1}d{\vec {r}}_{2}|\psi _{ij}|^{2}=1

Tento zobecněný spinor je zapsán jako matice 2×2

{\boldsymbol {\psi }}={\begin{pmatrix}\psi _{\uparrow \uparrow }&\psi _{\uparrow \downarrow }\\\psi _{\downarrow \uparrow }&\ psi _{\downarrow \downarrow }\end{pmatrix}}

a podle toho ve formě lineární kombinace v libovolném daném základě čtyř ortogonálních (ve vektorovém prostoru matic 2x2) konstantních matic s koeficienty danými skalárními funkcemi ve tvaru . Vhodný základ sestává z jediné antisymetrické matice (s celkovou hybností pro singletový stav ) ${\boldsymbol {\sigma }}_{k}^{i}$ $\phi _{i}^{k}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})$ ${\boldsymbol {\psi }}=\sum _{ik}\phi _{i}^{k}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}} _{2}){\boldsymbol {\sigma }}_{k}^{i}$ $S=0$

{\boldsymbol {\sigma }}_{0}^{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\uparrow \downarrow -\downarrow \uparrow )

a tři symetrické matice (s celkovým momentem pro tripletový stav ) $S=1$

{\boldsymbol {\sigma }}_{0}^{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}} ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\uparrow \downarrow +\downarrow \uparrow )

.. _

{\boldsymbol {\sigma }}_{1}^{1}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}=\;\uparrow \uparrow

{\boldsymbol {\sigma }}_{-1}^{1}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}=\;\downarrow \downarrow .

Je snadné ukázat, že singletový stav je invariantní při všech rotacích (skalární), zatímco triplet je spojen s obvyklým prostorovým vektorem se třemi složkami $(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$

\sigma _{x}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

, , .

\sigma _{y}={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

\sigma _{z}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

Vzhledem k tomu, že všechny spinové interakce čtyř složek ve výše uvedeném (skalárním) Hamiltoniánu lze zanedbat (například vnější magnetické pole, relativistické efekty a také interakce spin-orbita), lze čtyři Schrödingerovy rovnice řešit nezávisle. [2]

Spin vstupuje do problému prostřednictvím Pauliho principu , který pro fermiony (např. elektrony) vyžaduje antisymetrii vlnové funkce při výměně spinů a souřadnic.

{\boldsymbol {\psi }}_{ij}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=-{\boldsymbol {\psi }}_{ji}({\vec {r}}_{2},\,{\vec {r}}_{1})

Parahelium odpovídá singletovému stavu se symetrickou funkcí a ortohelium je tripletový stav s antisymetrickou funkcí . Pokud zanedbáme interakci elektron-elektron, lze obě prostorové funkce zapsat jako lineární kombinaci dvou libovolných (ortogonálních a normalizovaných) jednoelektronových vlastních funkcí : nebo pro speciální případ (oba elektrony mají stejná kvantová čísla, pro parahelium): . Celková energie (vlastní hodnota ) pro všechny případy (bez ohledu na symetrii). ${\boldsymbol {\psi }}=\phi _{0}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2}){\boldsymbol {\ sigma }}_{0}^{0}$ $\phi _{0}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=\phi _{0}({\vec {r} }_{2},\,{\vec {r}}_{1})$ ${\boldsymbol {\psi }}_{m}=\phi _{1}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2}){ \boldsymbol {\sigma }}_{m}^{1},\;m=-1,0,1$ $\phi _{1}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=-\phi _{1}({\vec {r }}_{2},\,{\vec {r}}_{1})$ $\phi _{x},\;x=0,1$ ${\displaystyle \varphi _{a},\varphi _{b))$ $\phi _{x}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{a}({\vec {r}}_{1})\varphi _{b} ({\vec {r}}_{2})\pm \varphi _{a}({\vec {r}}_{2})\varphi _{b}({\vec {r}}_{ jeden}))$ ${\displaystyle \varphi _{a}=\varphi _{b))$ $\phi _{0}=\varphi _{a}({\vec {r}}_{1})\varphi _{a}({\vec {r}}_{2})$ $H$ ${\displaystyle E=E_{a}+E_{b))$

To vysvětluje absenci stavu (c ) pro ortohelium, kde je následně (c ) v metastabilním stavu. (Stav s kvantovými čísly: hlavní kvantové číslo , čistý spin , úhlové kvantové číslo a celkový moment hybnosti se značí .) $1^{3}S_{1}$ ${\displaystyle \varphi _{a}=\varphi _{b}=\varphi _{1s))$ $2^{3}S_{1}$ ${\displaystyle \varphi _{a}=\varphi _{1s},\varphi _{b}=\varphi _{2s))$ $n$ $S$ $L$ $J=|LS|\dots L+S$ $n^{{2S+1}}L_{J}$

Pokud vezmeme v úvahu interakci elektron-elektron , pak je Schrödingerova rovnice neoddělitelná. Pokud však zanedbáme všechny výše popsané stavy (i se dvěma stejnými kvantovými čísly, jako u ), nelze obecnou vlnovou funkci zapsat jako součin jednoelektronových vlnových funkcí: - vlnová funkce je propletená . V tomto případě nelze říci, že částice 1 je ve stavu 1 a druhá částice je ve stavu 2 a nelze provádět měření na jedné částici bez ovlivnění druhé. ${\displaystyle {\frac {1}{r_{12))))$ $1^{1}S_{0}$ ${\boldsymbol {\psi }}=\varphi _{1s}({\vec {r}}_{1})\varphi _{1s}({\vec {r}}_{2}) {\boldsymbol {\sigma }}_{0}^{0}$ $\psi _{ik}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})\neq \chi _{i}({\vec {r }}_{1})\xi _{k}({\vec {r}}_{2})$

Přesto lze v rámci Hartree-Fockova a Thomas-Fermiho aproximace získat celkem dobrý teoretický popis atomu helia (viz níže).

Hartree-Fockova metoda

Hartree-Fockova metoda se používá pro různé atomové systémy. Toto je však pouze přiblížení a existují přesnější a účinnější metody používané k řešení atomových systémů. Problém mnoha těles pro helium a další elektronové systémy s malým počtem elektronů lze vyřešit poměrně přesně. Například základní stav helia je znám na patnáct číslic. Hartree-Fockova teorie předpokládá, že se elektrony pohybují v potenciálu vytvořeném jádrem a dalšími elektrony. Tento Hamiltonián pro helium se dvěma elektrony lze zapsat jako součet Hamiltoniánů pro každý elektron:

H=\sum _{i=1}^{2}h(i)=H_{0}+H^{\prime }

kde je nerušený hamiltonián

H_{0}=-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{1}}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{2 ))^{2}-{\frac {Z}{r_{1}}}-{\frac {Z}{r_{2}}}

a rozhořčení:

{\displaystyle H'={\frac {1}{r_{12))))

popisuje interakci elektron-elektron. H 0 je jednoduše součet dvou Hamiltoniánů pro atom vodíku:

H_{0}={\klobouček {h}}_{1}+{\klobouk {h}}_{2}

kde

{\hat {h}}_{i}=-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{i}}^{2}-{\frac {Z}{r_{i }}},i=1,2

E n i a odpovídající vlastní hodnoty a normalizované vlastní funkce. Takto $\psi _{n_{i},l_{i},m_{i}}({\vec {r}}_{i})$

{\hat {h}}_{i}\psi _{n_{i},l_{i},m_{i}}({\vec {r_{i}}})=E_{n_{ i}}\psi _{n_{i},l_{i},m_{i}}({\vec {r_{i}}})

kde

E_{n_{i}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {Z^{2}}{n_{i}^{2}}}

Když se zanedbá elektron-elektronové odpuzování, pak se Schrödingerova rovnice pro prostorovou část dvouelektronové vlnové funkce redukuje na nerušené rovnice

H_{0}\psi ^{(0)}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})=E^{(0)}\psi ^{(0)}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})

Tyto rovnice jsou odděleny a vlastní funkce lze zapsat jako samostatné produkty vlnových funkcí vodíku:

\psi ^{(0)}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})=\psi _{n_{1},l_{1} ,m_{1}}({\vec {r}}_{1})\psi _{n_{2},l_{2},m_{2}}({\vec {r}}_{2} )

Odpovídající energie (dále v atomových jednotkách ):

E_{n_{1},n_{2}}^{(0)}=E_{n_{1}}+E_{n_{2}}=-{\frac {Z^{2}}{ 2}}{\Bigg [}{\frac {1}{n_{1}^{2}}}+{\frac {1}{n_{2}^{2}}}{\Bigg ]}

Všimněte si, že vlnová funkce

\psi ^{(0)}({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})=\psi _{n_{2},l_{2} ,m_{2}}({\vec {r}}_{1})\psi _{n_{1},l_{1},m_{1}}({\vec {r}}_{2} )

Stejné energii odpovídá výměna elektronických indexů . Tento konkrétní případ degenerace s ohledem na nahrazení elektronických indexů se nazývá degenerace výměny. Přesné prostorové vlnové funkce dvouelektronových atomů musí být symetrické nebo antisymetrické s ohledem na permutaci souřadnic a dvou elektronů. Správná vlnová funkce by se pak měla skládat ze symetrických (+) a antisymetrických (-) lineárních kombinací: ${\displaystyle E_{n_{1},n_{2}}^{(0)))$ ${\vec {r}}_{1}$ ${\vec {r}}_{2}$

\psi _{\pm }^{(0)}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})={\frac {1}{\ sqrt {2}}}[\psi _{n_{1},l_{1},m_{1}}({\vec {r}}_{1})\psi _{n_{2},l_{ 2},m_{2}}({\vec {r}}_{2})\pm \psi _{n_{2},l_{2},m_{2}}({\vec {r}} _{1})\psi _{n_{1},l_{1},m_{1}}({\vec {r}}_{2})]

což vyplývá ze Slaterova determinantu .

Multiplikátor se normalizuje . Abychom získali tuto vlnovou funkci jako jediný součin jednočásticových vlnových funkcí, využijeme skutečnosti, že v základním stavu . Pak zmizí, v souladu s původní formulací Pauliho principu , ve kterém dva elektrony nemohou být ve stejném stavu. Vlnová funkce pro helium tedy může být zapsána jako ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle \psi _{\pm }^{(0)))$ $n_{1}=n_{2}=1,\,l_{1}=l_{2}=0,\,m_{1}=m_{2}=0$ ${\displaystyle \psi _{-}^{(0)))$

\psi _{0}^{(0)}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})=\psi _{1}({\ vec {r_{1}}})\psi _{1}({\vec {r_{2}}}})={\frac {Z^{3}}{\pi }}e^{-Z( r_ {1}+r_{2})}

kde a jsou vlnové funkce používané pro Hamiltonián atomu vodíku. [a] Pro helium je Z = 2 a $\psi _{1}$ $\psi _{2}$

E_{0}^{(0)}=E_{n_{1}=1,\,n_{2}=1}^{(0)}=-Z^{2}{\text{ au }}

kde E = -4 AU. tj. což je přibližně −108,8 eV, což odpovídá ionizačnímu potenciálu V = 2 a. e. (≅54,4 eV). Experimentální hodnoty E = −2,90 a.u. e. (≅ -79,0 eV) a V = 0,90 a.u. e. (≅ 24,6 eV). ${\displaystyle _{0}^{(0)))$ ${\displaystyle _{P}^{(0)))$ $_{0}$ $_{p}$

Energie, kterou jsme dostali, je příliš nízká, protože odpuzování mezi elektrony bylo ignorováno, což má za následek zvýšení energetické hladiny. Jak se Z zvyšuje, náš přístup by měl poskytovat lepší výsledky, protože odpuzování elektronů a elektronů bude menší.

Doposud se používala velmi hrubá aproximace nezávislých částic, ve které je elektron-elektronové odpuzování zcela vyloučeno. Rozdělení hamiltoniánu zobrazeného níže zlepší výsledek:

H={\bar {H_{0))}+{\bar {H'))

kde

{\bar {H_{0}}}=-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{1}}^{2}+V(r_{1})-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{2}}^{2}+V(r_{2})

V(r)=-{\frac {ZS}{r}}=-{\frac {Z_{e}}{r}}

V(r) je centrální potenciál, který je volen tak, aby byl perturbační efekt malý. Hlavním účinkem každého elektronu na pohyb toho druhého je částečné stínění jaderného náboje, takže pro V(r) můžeme vzít ${\bar {H'))$

V(r)=-{\frac {ZS}{r}}=-{\frac {Z_{e}}{r}}

kde S je konstanta stínění a Ze je efektivní náboj. Potenciál odpovídá Coulombově interakci, takže jednotlivé energie elektronů (v a.u.) se zapisují jako

E_{0}=-(ZS)^{2}=-Z_{e}^{2}

a odpovídající vlnová funkce je dána vztahem

\psi _{0}(r_{1}\,r_{2})={\frac {Z_{e}^{3}}{\pi }}e^{-Z_{e}(r_ {1}+r_{2})}

Pokud se Z e rovná 1,70, což zvyšuje energii základního stavu, pak bude získána hodnota, která je v souladu s experimentální hodnotou E 0 = −2,903 au energie základního stavu atomu helia. Protože Z = 2, je v tomto případě konstanta stínění S = 0,30. Pro základní stav atomu helia je v průměrné stínící aproximaci stínící účinek každého elektronu na pohyb jiného ekvivalentní 1/3 elektronového náboje. [čtyři]

Variační metoda

Pro větší přesnost při výpočtu energie je vhodné použít variační princip pro zohlednění interakce elektron-elektron V ee při použití vlnové funkce

\psi _{0}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})={\frac {8}{\pi a^{3 }}}e^{-2(r_{1}+r_{2})/a}

\langle H\rangle =8E_{1}+\langle V_{ee}\rangle =8E_{1}+{\Bigg (}{\frac {e^{2)){4\pi \epsilon _ {0}}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {8}{\pi a^{3}}}{\Bigg )}^{2}\int {\frac {e^{- 4(r_{1}+r_{2})/a}}{|{\vec {r_{1}}}-{\vec {r_{2}}}|}}\,d^{3}{ \vec {r}}_{1}\,d^{3}{\vec {r}}_{2}

Po integraci dostaneme:

\langle H\rangle =8E_{1}+{\frac {5}{4a}}{\Bigg (}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}} }{\Bigg )}=8E_{1}-{\frac {5}{2}}E_{1}=-109+34=-75{\text{ eV}}

Tato hodnota je blíže experimentální hodnotě, ale pokud je použita lepší zkušební funkce, lze aproximaci zlepšit. Ideální zkušební funkce bude brát v úvahu vliv druhého elektronu. Jinými slovy, každý elektron je oblak záporného náboje, který částečně stíní jaderný náboj, a tak se elektron pohybuje v efektivním potenciálu s jaderným nábojem Z menším než dva. S přihlédnutím k tomuto pozorování lze vlnovou funkci zapsat jako:

\psi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})={\frac {Z^{3}}{\pi a^{3}} }e^{-Z(r_{1}+r_{2})/a}

Použití Z jako variačního parametru k minimalizaci H. Hamiltonián pro tuto funkci je dán vztahem:

\langle H\rangle =2Z^{2}E_{1}+2(Z-2){\Bigg (}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0} }}{\Bigg )}\langle {\frac {1}{r}}\rangle +\langle V_{ee}\rangle

Výpočtem průměrů a V ee se hamiltonián redukuje do tvaru: ${\frac {1}{r))$

\langle H\rangle =[-2Z^{2}+{\frac {27}{4}}Z]E_{1}

Při minimalizaci průměrné energie nad Z zjistíme:

{\frac {d}{dZ}}{\Bigg (}[-2Z^{2}+{\frac {27}{4}}Z]E_{1}{\Bigg )}=0

Z={\frac {27}{16}}\sim 1.69

To ukazuje, že druhý elektron částečně stíní náboj jádra a snižuje ho z 2 na 1,69. V tomto případě je výsledek přesnější.

{\frac {1}{2}}{\Bigg (}{\frac {3}{2}}{\Bigg )}^{6}E_{1}=-77,5{\text{ eV} }

Kde E1 představuje ionizační energii pro atom vodíku.

Pro lepší shodu s experimentem můžete použít následující vzorec

-{\frac {49}{17}}\cdot (1+\alpha )=-2,903386486{\text{ au}}=-79,005153{\text{ eV}}

kde je konstanta jemné struktury . $\alpha$

Pomocí složitějších a přesnějších variačních funkcí lze základní stav atomu helia vypočítat s větší přesností a blíží se experimentální hodnotě -78,95 eV. [5] K výpočtu tohoto systému s vysokou přesností použili GWF Drake [6] [7] [8] a JD Morgan III, Jonathan Baker a Robert Hill [9] [10] [11] pomocí uazis variační přístup. funkce navržené Hylleraasem nebo Frankowski-Pekerisem. Je třeba poznamenat, že pro zvýšení přesnosti spektroskopických dat je třeba vzít v úvahu účinky relativismu a kvantové elektrodynamiky . [12] [13]

Experimentální hodnota ionizační energie

První ionizační energie helia: −24,587387936(25) eV. [14] Tato hodnota byla získána experimentálně. [15] teoretická hodnota sekundární ionizace pro helium: −54,41776311(2) eV. Celková energie základního stavu atomu helia: −79,005151042(40) eV nebo −2,90338583(13) a. E.

Poznámky

↑ Pro n = 1, l = 0 a m = 0 je sféricky symetrická vlnová funkce pro atom vodíku . [3] v atomových jednotkách je Bohrův poloměr roven 1 a vlnové funkce mají tvar . $\psi _{(}r)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {Z}{a_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}\ e^{-{\textstyle {\frac {Zr}{a_{0}}}}}\;$ ${a_{0))$ $\psi _{(}r)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}Z^{\frac {3}{2}}\ e^{-{\textstyle Zr}} \;$

Poznámky

↑ P. Rennert, H. Schmiedel, C. Weißmantel. "Kleine Enzyklopädie Physik", VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1988, 192-194.
↑ L.D. Landau, E.M. Lifschitz. Lehrbuch der Theoretischen Physik, Bd. III (Quantenmechanik), Akademie-Verlag, Berlín 1971, Cap. IX, str. 218
↑ Vlnové funkce vodíku . hyperfyzika . Archivováno z originálu 1. února 2014. (neurčitý)
↑ BH Bransden a CJ Joachain's Physics of Atoms and Molecules 2. vydání Pearson Education, Inc.
↑ David I. Griffiths Úvod do kvantové mechaniky Druhé vydání rok 2005 Pearson Education, Inc.
↑ GWF Drake a Zong-Chao Van (1994). "Variační vlastní hodnoty pro S stavy helia", Chem. Phys. Lett. 229 486-490. [1] (nedostupný odkaz)
↑ Zong-Chao Yan a GWF Drake (1995). "Vysoce přesný výpočet jemných strukturních štěpení v heliu a He-like iontech", Phys. Rev. Lett. 74 , 4791-4794. [2]
↑ GWF Drake, (1999). "Vysoce přesná teorie atomového helia", Phys. Scr. T83 , 83-92. [3]
↑ JD Baker, RN Hill a JD Morgan III (1989), „High Precision Calculation of Helium Atom Energy Levels“, v AIP ConferenceProceedings 189 , Relativistic, Quantum Electrodynamic, and Weak Interaction Effects in Atoms (AIP, New York),123
↑ Jonathan D. Baker, David E. Freund, Robert Nyden Hill a John D. Morgan III (1990). "Poloměr konvergence a analytické chování expanze 1/Z", Physical Review A 41 , 1247. [4] Archivováno z originálu 14. července 2012.
↑ Scott, T.C.; Luchow, A.; Bressanini, D.; Morgan, J. D. III. Uzlové povrchy vlastních funkcí atomu helia // Phys . Rev. A : deník. - 2007. - Sv. 75 , č. 6 . — S. 060101 . - doi : 10.1103/PhysRevA.75.060101 . - .
↑ GWF Drake a Z.-C. Yan (1992), Phys. Rev. A46,2378-2409 . _ [5] Archivováno z originálu 22. července 2012. .
↑ GWF Drake (2006). Springer Handbook of Atomic, Molecular, and Optical Physics, Edited by GWF Drake (Springer, New York), 199-219. [6] Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine
↑ NIST Atomic Spectra Database Data Ionization Energy Data . Gaithersburg, MD: NIST . Staženo 1. února 2018. Archivováno z originálu 9. listopadu 2017. (neurčitý)
↑ DZ Kandula, C. Gohle, TJ Pinkert, W. Ubachs a KSE Eikema. Extrémní ultrafialová frekvenční hřebenová metrologie // Phys . Rev. Lett. : deník. - 2010. - Sv. 105 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.105.063001 . - . - arXiv : 1004.5110 .