Atom (teorie míry)

V teorii míry je atom měřitelný soubor pozitivní míry, která neobsahuje podmnožinu menší pozitivní míry. Míra, která nemá atomy, se nazývá bezatomová .

Definice

Pokud existuje měřitelný prostor a míra na tomto prostoru, pak se množina nazývá atom , jestliže

a pro jakoukoli měřitelnou podmnožinu množiny od

to následuje

Příklady

Bezatomová měření

Míra, která neobsahuje atomy, se nazývá bezatomová . Jinými slovy, míra je bezatomová, pokud pro jakoukoli měřitelnou množinu c existuje měřitelná podmnožina B množiny A taková, že

Bezatomová míra s alespoň jednou kladnou hodnotou má nekonečně mnoho různých hodnot, protože počínaje množinou A s mírou , lze sestrojit nekonečnou posloupnost měřitelných množin

takové, že

To nemusí platit pro měření s atomy (viz příklad výše).

Ve skutečnosti se ukazuje, že neatomová opatření mají kontinuum hodnot. Lze dokázat, že pokud μ je bezatomová míra a A je měřitelná množina s, pak pro libovolné reálné číslo b , které splňuje podmínku

existuje měřitelná podmnožina B množiny A taková, že

Tuto větu dokázal Václav Sierpinski . [1] [2] Podobá se teorému střední hodnoty pro spojité funkce.

Náčrt důkazu Sierpinského věty pro neatomové míry. Použijme trochu silnější tvrzení: pokud existuje bezatomový měřitelný prostor a , pak existuje funkce definující jednoparametrovou rodinu měřitelných množin S(t) tak, že pro všechny

Důkaz snadno vyplývá ze Zornova lemmatu aplikovaného na množinu

uspořádané zahrnutím grafů. Dále je standardním způsobem ukázáno, že jakýkoli řetězec v má maximální prvek a každý maximální prvek má doménu definice , což dokazuje tvrzení.

Viz také


Odkazy

  1. W. Sierpinski. Sur les fonctions d'ensemble aditiva et pokračuje Archivováno 15. května 2011 na Wayback Machine . Fundamenta Mathematicae, 3: 240-246, 1922.
  2. Fryszkowski, Andrzej. Teorie pevných bodů pro rozložitelné množiny (Topologická teorie pevných bodů a její aplikace  ) . — Springer. - S. 39. - ISBN 1-4020-2498-3 .