Prostor elementárních událostí

Prostor elementárních událostí je soubor všech různých výsledků náhodného experimentu . $\Omega$

Prvek této množiny se nazývá elementární událost nebo výsledek . Prostor elementárních událostí se nazývá diskrétní , pokud je počet jeho prvků konečný nebo spočetný . Jakýkoli prostor elementárních událostí, který není diskrétní, se nazývá nediskrétní , a zároveň, pokud jsou pozorované výsledky (nezaměňovat s náhodnými událostmi ) body jednoho nebo druhého numerického aritmetického nebo souřadnicového prostoru, pak je prostor nazývané spojité ( kontinuum ). Prostor elementárních událostí spolu s algebrou událostí a pravděpodobností tvoří trojici , která se nazývá pravděpodobnostní prostor . $\omega \in \Omega$ $\Omega$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathbf {P}}$ $(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$

Základní událost

V teorii pravděpodobnosti, elementární události nebo atom-události jsou (elementární) výsledky náhodného experimentu, který přesně jeden nastane v experimentu. Množina všech elementárních událostí je obvykle označena . $\Omega$

Jakákoli podmnožina množiny elementárních událostí se nazývá náhodná událost . Říká se, že experiment vyústil v náhodnou událost , pokud je (elementární) výsledek experimentu prvkem . Rozdíl mezi pojmy „elementární událost“ a „náhodná událost“ je v tom, že elementární události jsou prvky (proto se nazývají atomové události) a náhodné události jsou podmnožiny , to znamená, že náhodná událost je soubor, jehož prvky jsou elementárními vývojovými událostmi. . $\Omega$ $A\podmnožina\Omega$ $A$ $\Omega$ $\Omega$

V definici pravděpodobnostního prostoru na množině náhodných událostí je zavedena sigma-aditivní konečná míra , nazývaná pravděpodobnost.

Elementární události mohou mít pravděpodobnosti, které jsou přísně kladné, nulové, nejisté, nebo mohou mít jakoukoli kombinaci těchto možností. Například jakékoli diskrétní rozdělení pravděpodobnosti je určeno pravděpodobnostmi toho, co bychom mohli nazvat elementárními událostmi. Naproti tomu všechny elementární události mají pravděpodobnost nula pro spojité rozdělení. Smíšená rozdělení, která nejsou spojitá ani diskrétní, mohou obsahovat atomy , které lze považovat za elementární (tj . jev atomu ) s nenulovou pravděpodobností. V teorii míry, v definici prostoru pravděpodobnosti, nemohla být pravděpodobnost libovolné elementární události definována, dokud matematici neviděli rozdíl mezi výsledným prostorem S a zájmovými událostmi, které jsou definovány jako prvky σ-algebry události od S.

Formálně vzato je elementární událost podmnožinou prostoru výsledků náhodného experimentu, která se skládá pouze z jednoho prvku; to znamená, že elementární událost je stále množinou, ale nikoli prvkem samotným. Nicméně elementární události jsou obvykle psány jako elementy spíše než jako množiny kvůli jednoduchosti, když toto nemůže způsobit zmatek.

Příklady

Pokud je vržena kostka , pak horní strana může být jednou ze šesti ploch s počtem teček od jedné do šesti. Ztráta jakékoli tváře se v tomto případě v teorii pravděpodobnosti nazývá elementární událost [1] , tzn $\omega_{k}$

$\omega_{1}$ - obličej s jedním hrotem;
$\omega _{2}$ - obličej se dvěma hroty;
…
$\omega _{6}$ - šestibodová hrana.

Množina všech ploch tvoří prostor elementárních událostí , jejichž podmnožiny se nazývají náhodné události [1] . V případě jediného hodu kostkou jsou příklady událostí $\{\,\omega _{1},\ldots ,\omega _{6}\,\}$ $\Omega$ $A$

pád obličeje s lichým počtem bodů, to znamená, že událostí je pád obličeje s jedním bodem nebo obličeje se třemi body nebo obličeje s pěti body). Matematicky je událost zapsána jako množina obsahující elementární události: , a . Tedy, ; $A$ $A$ $\omega_{1}$ $\Omega 3}$ $\omega _{5}$ $A=\{\,\omega _{1},\omega _{3},\omega _{5}\,\}$
pád tváře se sudým počtem bodů, to znamená, že událostí je pád tváře se dvěma body nebo tváře se čtyřmi body nebo tváře se šesti body. Matematicky je událost zapsána jako množina obsahující elementární události: , a . Tedy, ; $A$ $A$ $\omega _{2}$ $\omega _{4}$ $\omega _{6}$ $A=\{\,\omega _{2},\omega _{4},\omega _{6}\,\}$

Několik dalších příkladů prostorů výsledků experimentu : $\Omega$

Pokud je počet možných výsledků spočetný, pak lze elementární události považovat za přirozená čísla, prostorem elementárních událostí v tomto případě bude množina přirozených čísel . $\Omega = \{0, 1, 2, 3, ...\}$
Pokud je mincí hozena dvakrát, , za hlavy a za ocas, pak základní události jsou: , , a . $\Omega =\{ OO, OP, PO, PP\}$ $Ó$ $P$ $OO$ $OP$ $PO$ $PP$
Jestliže jsou normálně distribuované náhodné proměnné , pak , je množina reálných čísel a elementární události jsou reálná čísla. Tento příklad ukazuje, že spojité rozdělení pravděpodobnosti není určeno pravděpodobnostmi atomových událostí, protože zde jsou pravděpodobnosti všech elementárních událostí nulové. $X$ $\Omega = \{ - \infty ; \infty \}$

Poznámky

↑ 1 2 Chernova N. I. Kapitola 1. § 2. Elementární teorie pravděpodobnosti // Teorie pravděpodobnosti . - Tutorial. - Novosibirsk: Novosibirská státní univerzita. un-t, 2007. - 160 s.

Prostor elementárních událostí

Základní událost

Příklady

Poznámky

Viz také