Rösslerův atraktor

Rösslerův atraktor je chaotický atraktor , který má systém Rösslerových diferenciálních rovnic [1] :

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}=-yz\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz} {dt}}=b+z(xc)\end{matrix}}\vpravo.$ ;

kde jsou kladné konstanty. Pro hodnoty parametrů a mají Rösslerovy rovnice stabilní mezní cyklus . S těmito hodnotami parametrů se v systému objeví kaskáda zdvojení periody . V , vzniká chaotický atraktor . Dobře definované čáry limitních cyklů se rozmazávají a vyplňují fázový prostor nekonečnou množinou trajektorií, které mají vlastnosti fraktálu . $a,b,c$ $a=b=0,2$ $2.6\leq c\leq 4.2$ $c>4.2$

Sám Rössler studoval systém s konstantami , a , ale často se používají i hodnoty , , a [2] . $a=0,2$ $b=0,2$ $c=5.7$ $a=0.1$ $b=0,1$ $c=14$

Analýza chování systému v rovině

Dvě z rovnic Rösslerovy soustavy jsou lineární. Když dostanou formu $z=0$

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{matrix}}\right .$

Stabilita pohybu v rovině je proto určena vlastními hodnotami Jacobiho matice , které se rovnají . $z=0$ ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}$ ${\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}$

Závěr

Pojďme najít vlastní čísla matice

${\begin{pmatrix}0-\lambda &-1\\1&a-\lambda \\\end{pmatrix))$ .

Determinant je tedy $-\lambda a+{\lambda }^{2}+1=0$

$\lambda _{1,2}={\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}$

Když , vlastní hodnoty mají kladnou reálnou část a jsou komplexně konjugované. Fázové trajektorie se proto od počátku odchylují po spirále. Nyní pojďme analyzovat změnu souřadnic , počítání . Dokud je menší než , faktor v rovnici pro udrží trajektorii blízko ploché . Jakmile se zvětší , -souřadnice začne růst. Velký parametr zase začne zpomalovat růst v . $0<a<2$ $z$ $0<a<2$ $X$ $C$ $xc$ ${\frac {dz}{dt))$ $x, y$ $X$ $C$ $z$ $-z$ $X$ ${\frac {dx}{dt))$

Pevné body

Rovnice pro pevné body lze nalézt nastavením derivací v Rösslerově systému rovnic na nulu. V důsledku toho se ukazuje, že existují dva pevné body:

\left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2)),{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab)) }{2a)),{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)

\left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2)),{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab)) }{2a)),{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2a))\right)

Jak můžete vidět na obrázku projekce Rösslerova atraktoru výše, jeden z těchto bodů se nachází ve středu spirály atraktoru a druhý je od ní daleko.

Změna parametrů a, b a c

Chování Rösslerova atraktoru silně závisí na hodnotách konstantních parametrů. Změna každého parametru má určitý vliv, v důsledku čehož se v systému může objevit stabilní pevný bod, limitní cyklus nebo řešení systému „utečou“ do nekonečna.

Bifurkační diagramy jsou standardním nástrojem pro analýzu chování dynamických systémů, včetně Rösslerova atraktoru. Vznikají řešením rovnic systému, kde jsou dvě proměnné pevné a jedna je změněna. Při konstrukci takového diagramu se získají téměř zcela „stínované“ oblasti; toto je oblast dynamického chaosu.

Změna parametru a

Opravujeme a změníme . $b=0,2$ $c=5.7$ $A$

V důsledku toho empiricky získáme následující tabulku:

$a\leq 0$ : Konvergování ke stabilnímu bodu.
$a=0.1$ : Otáčení s periodou 2.
$a=0,2$ : Chaos (standardní parametr Rösslerových rovnic) .
$a=0,3$ : Chaotický atraktor.
$a=0,35$ : Podobné jako předchozí, ale chaos je výraznější.
$a=0,38$ : Podobné jako předchozí, ale chaos je ještě silnější.

Změna parametru b

Opravíme a nyní změníme parametr . Jak je vidět z obrázku, jak má atraktor tendenci k nule, je nestabilní. Když se zvětší a , systém se vyrovná a přejde do stacionárního stavu. $a=0,2$ $c=5.7$ $b$ $b$ $b$ $A$ $C$

Změna parametru c

Opravit a změnit . Z bifurkačního diagramu je vidět, že při malých hodnotách je systém periodický, ale jak se zvětšuje, rychle se stává chaotickým. Obrázky přesně ukazují, jak se náhodnost systému mění s rostoucí . Například při = 4 bude mít atraktor periodu rovnou jedné a na diagramu bude jedna jediná čára, totéž se stane, když = 3, a tak dále; dokud se nestane více než 12: poslední periodické chování je charakterizováno touto hodnotou, pak všude vládne chaos. $a=b=0.1$ $C$ $C$ $C$ $C$ $C$ $C$

Uvádíme ilustrace chování atraktoru v uvedeném rozsahu hodnot , které ilustrují obecné chování takových systémů - časté přechody od periodicity k dynamickému chaosu. $C$

Viz také

Lorentzův atraktor

Poznámky

↑ Peitgen, Heinz-Otto ; Jürgens, Hartmut & Saupe, Dietmar (2004), 12.3 The Rössler Attractor, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science , Springer, str. 636–646 .
↑ Letellier, C.; V. Zprávař. Vlivy na nejstarší článek Otto E. Rösslera o chaosu // International Journal of Bifurcation & Chaos : deník. - 2010. - Sv. 20 , č. 11 . - S. 3585-3616 .

Odkazy

Flash animace
OE ROSSLER – ROVNICE PRO KONTINUÁLNÍ CHAOS (nedostupný odkaz)
Java animace Rösslerových a Lorenzových atraktorů Archivováno 2008-03-11
Konstruktor Attractor pro MacOS
Rösslerův atraktor na Scholarpedia.org

Literatura

Voronov V.K., Podoplelov A. V. Moderní fyzika: učebnice. M., KomKniga, 2005, 512 s., ISBN 5-484-00058-0 , kap. 2 Fyzika otevřených systémů. str 2.4 Rösslerův chaotický atraktor.