Nekonečný systém lineárních algebraických rovnic

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. listopadu 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Nekonečný systém lineárních algebraických rovnic je zobecněním konceptu systému lineárních algebraických rovnic na případ nekonečné množiny neznámých, definovaných metodami funkční analýzy . Dává to smysl ne nad jakýmkoli polem , ale například nad reálnými a komplexními čísly. Je také možné mít přímočaré zobecnění metodami správné lineární algebry , které se liší od toho, co je popsáno v článku.

Nekonečný systém lineárních algebraických rovnic se často objevuje v procesu řešení různých úloh ve fyzice a technice pomocí metody neurčitých koeficientů , například v úlohách vedení tepla, určování perihélia pohybu Měsíce v astronomii, v problematice stanovení statického průhybu obdélníkového tělesa s pevnými konci. [jeden]

Definice

Nekonečný systém lineárních algebraických rovnic je nekonečná množina algebraických rovnic prvního stupně s ohledem na nekonečnou množinu neznámých: , . Řešením nekonečného systému lineárních algebraických rovnic je jakákoli posloupnost čísel taková, že všechny řady konvergují k . Řešení nekonečné soustavy lineárních algebraických rovnic se nazývá omezené, pokud čísla tvoří omezenou posloupnost. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{ik}x_{k}=b_{i))$ $i=1,2,...$ $\left\{x_{k}\right\}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{ik}x_{k))$ $i=1,2,...$ $bi}}$ $\left\{x_{k}\right\}$ $x_{k}$

Je vhodné uvažovat nekonečné soustavy lineárních algebraických rovnic ve tvaru: , , . Nekonečný systém lineárních algebraických rovnic se nazývá zcela regulární, pokud existuje kladná konstanta taková, že . ${\displaystyle x_{i}-\sum _{k=1}^{\infty }c_{ik}x_{k}=b_{i))$ $i=1,2,...$ ${\displaystyle c_{ik}=-a_{ik}+\delta _{ik))$ $q<1$ $\sum _{k=1}^{\infty }\left|c_{ik}\right|\leqslant q$

Zcela pravidelný nekonečný systém lineárních algebraických rovnic má jedinečné omezené řešení pro jakoukoli omezenou sbírku volných členů . Navíc, když pro všechny , tak . [2] ${\displaystyle \left\{x_{i}\right\))$ $bi}}$ $b_{i}\leqslant B$ $i=1,2,...$ $\left|x_{i}\right|\leqslant {\frac {B}{1-q))$

Nekonečný determinant

V matici koeficientů nekonečné lineární soustavy rovnic můžete ponechat pouze první řádky a sloupce a sestavit z nich čtvercovou matici velikosti : $n$ $n$ $n\krát n$

A(n)={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}

Označme determinant této matice jako . $\Delta (n)=det(A(n))$

Pokud existuje limita: , pak se nazývá nekonečný determinant odpovídající matici [3] . $\Delta =\lim _{n\to \infty }\Delta (n)$ $a_{{ij}}$

Postačující podmínka existence

Představme si matici v novém tvaru extrahováním sčítance rovné jedné ze všech jejích diagonálních členů: ${\displaystyle a_{ij))$

a_{ij}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots \\a_{21}&a_{22}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots \end {vmatrix}}={\begin{vmatrix}c_{11}+1&c_{12}&\cdots \\c_{21}&c_{22}+1&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots \end{ vmatrix}}

Aby existoval nekonečný maticový determinant a měl vlastnosti podobné vlastnostem běžného determinantu, stačí, aby nekonečná dvojitá řada konvergovala . [3] $a_{{ij}}$ $\sum _{i,k=1}^{\infty }|c_{ik}|$

Řešení nekonečné soustavy lineárních algebraických rovnic

Pokud má matice nekonečné soustavy lineárních algebraických rovnic nekonečný determinant a není rovna nule a všechny její volné členy jsou omezeny absolutní hodnotou (tj. existuje kladné číslo takové, že ), pak má tato soustava jednoznačnou omezené řešení (to znamená, že existuje kladné číslo takové, že , že ) určené Cramerovými vzorci : $a_{{ij}}$ $M_{1}$ $|b_{k}|<M_{1},\forall k$ $M_{2}$ $|x_{k}|<M_{1},\forall k$

x_{k}={\frac {\Delta _{k)){\Delta ))

kde je determinant , který se získá z determinantu nahrazením prvků k-tého sloupce volnými členy. [čtyři] ${\displaystyle \Delta _{k))$ $\Delta$

Viz také

Systém lineárních algebraických rovnic

Poznámky

↑ Smirnov, 1933 , str. 57-61.
↑ Vulikh, 1958 , str. 215-218.
↑ 1 2 Smirnov, 1933 , str. 64.
↑ Smirnov, 1933 , str. 65.

Literatura

Vulikh B.Z. Úvod do funkční analýzy. - M. : Fizmatlit, 1958. - 352 s. - 7500 výtisků.
Smirnov V. I. Kurz vyšší matematiky pro techniky a fyziky. Svazek 3. - M. : Gostekhteorizdat, 1933. - 736 s. — 22 000 výtisků.