Bijekce

Bijekce je zobrazení , které je jak surjektivní , tak injektivní . V bijektivním zobrazení každý prvek jedné množiny odpovídá přesně jednomu prvku jiné množiny a je definováno inverzní zobrazení, které má stejnou vlastnost. Proto se bijektivnímu zobrazení také říká zobrazení typu one-to-one (korespondence).

Bijektivní zobrazení, které je homomorfismem , se nazývá izomorfní korespondence .

Pokud lze mezi dvěma množinami ustavit korespondenci jedna ku jedné (bijekci), pak se takové množiny nazývají ekvivalentní . Z hlediska teorie množin jsou množiny stejné síly nerozlišitelné.

Zobrazení jedné ku jedné konečné množiny na sebe sama se nazývá permutace (nebo substituce) prvků této množiny.

Formálně se funkce nazývá bijekce (a označuje se ), pokud: $f\dvojtečka X\to Y$ $f\colon X\leftrightarrow Y$

mapuje různé prvky množiny na různé prvky množiny ( injektivita ): $X$ $Y$ $\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\; x_1 \ne x_2\Šipka doprava f(x_1) \ne f(x_2)$ .
jakýkoli prvek má svůj předobraz ( surjektivita ): $Y$ $\forall y\in Y,\;\existuje x\in X\;f(x)=y$ .

Příklady:

Mapování identity na sadě je bijektivní. $\mathrm {id} \colon X\to X$ $X$
$f(x)=x,\;f(x)=x^{3}$ jsou bijektivní funkce od sebe; obecně, každý monomial jedné proměnné lichého stupně je bijekce od do sebe. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
$f(x)=e^{x}$ je bijektivní funkce od do . $\mathbb {R}$ $\mathbb{R} _{+}=(0,\;+\infty )$
$f(x)=\sin x$ není bijektivní funkce , pokud předpokládáme , že je definována na všem . $\mathbb {R}$
Striktně monotónní a spojitá funkce je bijekce ze segmentu na segment . $f(x)$ $[a,b]$ $[f(a),f(b)]$

Funkce je bijektivní právě tehdy, když existuje inverzní funkce taková, že: $f\dvojtečka X\to Y$ $f^{{-1}}\dvojtečka Y\to X$

\forall x\in X\;f^{{-1}}(f(x))=x

\forall y\in Y\;f(f^{{-1}}(y))=y.

Jsou-li funkce a bijektivní, pak je skládání funkcí také bijektivní, v tomto případě je tedy složení bijekcí bijekce. Opak neplatí v obecném případě: je-li bijektivní, pak můžeme pouze říci, že je injektivní, ale surjektivní. $F$ $G$ $g\circ f$ $(g\circ f)^{{-1}}=f^{{-1}}\circ g^{{-1}}$ $g\circ f$ $F$ $G$

Literatura

Vereshchagin N. K., Shen A. Část 1. Počátky teorie množin // Lectures on Mathematical Logic and Theory of Algorithms. — 2. vyd., opraveno. - M. : MTSNMO , 2002. - 128 s.
Ershov Yu.L., Palyutin E.A. Matematická logika: učebnice. - 3. vyd., stereotyp .. - Petrohrad. : Lan, 2004. - 336 s.

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Velký Rus Velký Rus Britannica (online)