Maxwell-Boltzmannovy statistiky

Maxwell-Boltzmann statistika je statistická metoda pro popis fyzikálních systémů obsahujících velké množství neinteragujících částic pohybujících se podle zákonů klasické mechaniky (tj. klasický ideální plyn ); navrhl v roce 1871 rakouský fyzik L. Boltzmann .

Distribuční výstup

Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení lze odvodit z obecného Gibbsova rozdělení . Uvažujme systém částic v jednotném poli. V takovém poli má každá molekula ideálního plynu celkovou energii

\varepsilon =\varepsilon _{kin}+u(x,y,z),

kde je kinetická energie jeho translačního pohybu a potenciální energie ve vnějším poli, která závisí na jeho poloze. $\varepsilon _{kin}$ $u$

Dosazením tohoto výrazu za energii do Gibbsovy distribuce pro ideální molekulu plynu

{\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {1}{z}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon (p,q)}{\theta }}\right)\ cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3))))

(kde je pravděpodobnost, že částice je ve stavu s hodnotami souřadnic a hybnosti v intervalu ), máme: $\mathrm {d} w$ $q$ $p$ $\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V$

\mathrm {d} w={\frac {1}{zh^{3}}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT)) \right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V,

kde integrál stavů je:

z=\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT))\right)\cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x }\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3}}}.

Integrace se provádí přes všechny možné hodnoty proměnných. Planckova konstanta , je Boltzmannova konstanta , je teplota , . Dále lze integrál stavů zapsat ve tvaru: $h$ $k$ $T$ $\theta =kT$

z={\frac {1}{h^{3}}}\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}}{kT}}\right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot \int \mathrm {exp} \left(-{\frac {u}{kT)) \right)\mathrm {d} V=\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right)^{3/2}\cdot \int \mathrm {exp} \left (-{\frac {u}{kT}}\right)\mathrm {d} V.

Proto Gibbsova distribuce normalizovaná na jednotu pro molekulu plynu v přítomnosti vnějšího pole má tvar:

\mathrm {d} w={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p^{2 }}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot {\frac {e^{-{\frac { u}{kT))}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT))}\mathrm {d} V)).

Výsledné rozdělení pravděpodobnosti, které charakterizuje pravděpodobnost, že molekula má hybnost v daném intervalu a je v daném objemovém prvku, se nazývá Maxwell-Boltzmannovo rozdělení .

Některé vlastnosti

Při zvažování Maxwell-Boltzmannovy distribuce je nápadná důležitá vlastnost – lze ji reprezentovat jako součin dvou faktorů:

\mathrm {d} w=\left[{\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p ^{2}}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\right]\cdot \left[{\frac {e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}}\ že jo].

První faktor není nic jiného než Maxwellovo rozdělení , charakterizuje rozdělení pravděpodobnosti na impulsy. Druhý faktor závisí pouze na souřadnicích částic a je určen typem potenciální energie; charakterizuje pravděpodobnost nalezení částice v objemu d . $PROTI$

Podle teorie pravděpodobnosti lze Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení považovat za součin pravděpodobností dvou nezávislých událostí - realizace hodnoty hybnosti v daném intervalu "hybnosti" a realizace polohy molekuly v daném " souřadnicový“ interval. První:

\mathrm {d} w_{p}={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p ^{2}}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}

je Maxwellovo rozdělení; druhá šance:

\mathrm {d} w_{r}={\frac {e^{-{\frac {u}{kT))}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac { u}{kT}}}\mathrm {d} V}}

je Boltzmannova distribuce. Je zřejmé, že každý z nich je normalizován k jednotě.

Boltzmannovo rozdělení je speciálním případem kanonické Gibbsovy distribuce pro ideální plyn ve vnějším potenciálovém poli, protože při absenci interakce mezi částicemi se Gibbsovo rozdělení rozkládá na součin Boltzmannových distribucí pro jednotlivé částice.

Nezávislost pravděpodobností dává důležitý výsledek: pravděpodobnost dané hodnoty hybnosti je zcela nezávislá na poloze molekuly a naopak pravděpodobnost polohy molekuly nezávisí na její hybnosti. To znamená, že rozložení hybnosti (rychlosti) částic nezávisí na poli, jinými slovy zůstává stejné od bodu k bodu v prostoru, ve kterém je plyn uzavřen. Mění se pouze pravděpodobnost detekce částice nebo ekvivalentně počet částic.

Viz také

Bibliografie

Carter, Ashley H., "Klasická a statistická termodynamika", Prentice-Hall, Inc., 2001, New Jersey.
Raj Pathria , "Statistická mechanika", Butterworth-Heinemann, 1996.