Variační metoda

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. února 2018; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Variační metoda je metoda pro řešení matematických problémů minimalizací určitého funkcionálu pomocí zkušební funkce, která závisí na malém počtu parametrů.

Kvantová mechanika

Stav kvantově mechanického systému je určen vlnovou funkcí, která se zjistí ze stacionární Schrödingerovy rovnice

\hat{H}\psi = E\psi

kde je Hamiltonián systému. $\hat{H}$

V obecném případě velkého počtu částic (tři částice jsou již v kvantové mechanice mnoho) je nemožné řešit Schrödingerovu rovnici analyticky bez použití dalších aproximací.

Funkční

\langle \psi | \hat{H}| \psi \rangle = \int \psi^* \hat{H} \psi d\tau

kde integrace probíhá v celém souřadnicovém prostoru a ψ je libovolná funkce všech proměnných systému, má minimální hodnotu při určité funkci , která odpovídá základnímu stavu systému a je řešením Schrödingerovy rovnice . $\psi_0$

Variační metoda se používá pro řešení nějaké zkušební funkce systémových proměnných v závislosti na několika parametrech , které by splnily podmínku normalizace. $\phi (\lambda _{i})$ $\lambda _{i}$

\langle \phi|\phi \rangle = 1

V tomto případě

\Phi(\lambda_i, E) = \int \phi^*(\lambda_i) \hat{H} \phi(\lambda_i) d\tau - E \int \phi^*(\lambda_i) \phi(\lambda_i )d\tau

je funkcí (již nefunkční) parametrů a doplňkového parametru E. Minimum tohoto funkcionálu nad všemi parametry určuje aproximaci k energii základního stavu systému. Toto minimum se zjistí ze soustavy rovnic $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$

\frac{\částečný \Phi(\lambda_i, E)}{\částečný \lambda_j} = 0

za podmínek normalizace nebo jakoukoli jinou metodou minimalizace.

Variační metoda poskytuje nejlepší aproximaci energie základního stavu pro danou formu testovací funkce. S dobře zvolenou zkušební funkcí může být tato aproximace poměrně přesná a mírně se liší od toho, co bylo pozorováno v experimentu. Dobře zvolená zkušební funkce také umožňuje vyvozovat kvalitativní závěry o chování kvantově mechanického systému.

Volba zkušební funkce je určité umění, které není přístupné pouhým smrtelníkům. Obvykle je to založeno na určitých fyzikálních představách o chování systému. Zvýšení počtu parametrů v testovací funkci zlepšuje výsledek, ale komplikuje úlohu a někdy může vést k nalezení falešného lokálního minima.