Vektorový diagram

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. června 2019; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Vektorový diagram je grafické znázornění veličin měnících se podle sinusového (kosinového) zákona a vztahů mezi nimi pomocí směrovaných segmentů - vektorů . Vektorové diagramy jsou široce používány v elektrotechnice , akustice , optice , teorii vibrací a tak dále.

Harmonické (tj. sinusové) kmitání lze graficky znázornit jako projekci na nějakou osu (obvykle vezmeme souřadnicovou osu Ox) vektoru rotujícího konstantní úhlovou rychlostí ω. Délka vektoru odpovídá amplitudě , úhel natočení kolem osy (Ox) odpovídá fázi .

Součet (nebo rozdíl) dvou a více kmitů na vektorovém diagramu je v tomto případě reprezentován (geometrickým) součtem [1] (nebo rozdílem) vektorů těchto kmitů. Okamžitá hodnota požadované veličiny je v tomto případě určena průmětem součtového vektoru na osu Ox, amplituda je délka tohoto vektoru a fáze je úhel jeho natočení vzhledem k Ox.

Vektorové diagramy a komplexní reprezentace

Vektorové grafy lze považovat za variantu (a ilustraci) reprezentující oscilace jako komplexní čísla . Při takovém srovnání osa Ox odpovídá ose reálných čísel a osa Oy odpovídá ose čistě imaginárních čísel (kladný jednotkový vektor, podél kterého je imaginární jednotka ).

Potom vektor délky A rotující v komplexní rovině konstantní úhlovou rychlostí ω s počátečním úhlem φ 0 zapíšeme jako komplexní číslo.

Ae^{i(\omega t+\varphi _{0})},

a jeho skutečná část

\mathrm {Re} {\big (}Ae^{i(\omega t+\varphi _{0})}{\big )}=A\mathrm {cos} {\big (}\omega t+\ varphi _{0}{\big )},

-dochází k harmonickému kmitání s cyklickou frekvencí ω a počáteční fází φ 0 .

Přestože, jak je z výše uvedeného patrné, vektorové diagramy a komplexní znázornění kmitů spolu úzce souvisejí a ve skutečnosti představují varianty nebo různé stránky téže metody, přesto mají své vlastní charakteristiky a lze je používat samostatně.

Metoda vektorových diagramů může být prezentována samostatně v kurzech elektrotechniky nebo elementární fyziky, pokud je z toho či onoho důvodu (obvykle spojeného se střední úrovní matematické přípravy studentů a nedostatkem času) nutné vyhnout se používání komplexních čísel (výslovně) obecně.
Komplexní metoda reprezentace (která v případě potřeby nebo přání může zahrnovat i grafické znázornění, které je však zcela volitelné a někdy i nadbytečné) je obecně řečeno výkonnější, protože přirozeně zahrnuje například kompilaci a řešení systémů rovnic libovolné složitosti, zatímco metoda vektorových diagramů ve své nejčistší podobě je stále omezena na úlohy zahrnující sčítání, které lze znázornit na jednom výkresu.
Metoda vektorových diagramů (v čisté podobě nebo jako grafická součást metody komplexní reprezentace) je však vizuálnější, a proto v některých případech potenciálně spolehlivější (umožňuje do jisté míry vyhnout se hrubým náhodným chybám, které mohou nastat v abstraktních algebraických výpočtech) a umožňuje v některých případech dosáhnout v určitém smyslu hlubšího pochopení problému.

Příklady aplikací

Mechanika; harmonický oscilátor

Harmonický oscilátor v mechanice a harmonický oscilátor jakékoli povahy formálně představují přesnou analogii, proto je budeme uvažovat v jednom odstavci na příkladu mechanického harmonického oscilátoru.
Použití vektorových diagramů v mechanice je redukováno především na případ harmonického oscilátoru (včetně případu oscilátoru s třecí silou lineární v rychlosti); vektorové diagramy však mohou být do určité míry užitečné pro studium několika oscilátorů, a to i v limitu jejich nekonečného počtu (pro oscilace nebo vlny v distribuovaných systémech).
Z moderního hlediska je aplikace vektorových diagramů na harmonický oscilátor spíše jen historicky a pedagogicky zajímavá, ale přesto jsou zde v zásadě docela použitelné.
V mechanice má použití vektorových diagramů (obvykle se myslí jejich aplikace na jednorozměrný oscilátor) tu zvláštnost, že přidání druhé souřadnice pro převod vibrací na rotaci může mít nejen čistě formální abstraktní význam, ale pro jednorozměrný oscilátor. -rozměrný mechanický systém tohoto druhu lze označit mechanický dvourozměrný systém, pro který je vektorový diagram nejprve realizován jako zcela reálný dvourozměrný mechanický pohyb a všechny vektory jsou skutečně dvourozměrné (a po promítnutí všech jimi a pohybem bodu dvourozměrného systému na jednu osu získáme okamžité hodnoty odpovídajících veličin - včetně polohy - pro odpovídající jednorozměrný systém); Pro mechanický jednorozměrný systém je tedy možný nejen formální matematický model, ale také skutečný mechanický model, který převádí oscilační jednorozměrný pohyb na rotační pohyb ve dvourozměrném prostoru, realizující vektorový diagram pro jednorozměrný systém.

Uvažujme dva hlavní případy jednoduché aplikace vektorových diagramů v mechanice (jak bylo uvedeno výše, použitelné také pro harmonický oscilátor nejen mechanického, ale jakéhokoli charakteru): oscilátor bez tlumení a bez vnější síly a oscilátor s ( lineární) tlumení (viskozita) a vnější pohon silou.

Volné harmonické vibrace bez tlumení

Myšlenkou v mechanické formulaci je dokončit jednorozměrný pohyb na dvourozměrný takovým způsobem, že vektor rychlosti má stejnou složku podél osy x jako v jednorozměrném případě a je kolmý na vektor poloměru (jehož průmět na osu x je souřadnice x v jednorozměrném systému).

Pokud se dvourozměrná rychlost (na diagramu) nemění ve velikosti (modulo), pak lze ukázat, že zrychlení je také nasměrováno kolmo k rychlosti a směřuje přesně opačně k vektoru poloměru ( dostředivé zrychlení ) .

Pokud jde o poměr velikostí vektorů, pak na základě poměrně zřejmé geometrické skutečnosti, že konec libovolného vektoru délky L , rotujícího kolem svého počátku s úhlovou frekvencí ω , popisuje kružnici, jejíž délka je rovna ωL ( kde L je jeho aktuální poloměr ) a , za předpokladu, že pohyb ve dvourozměrném diagramu je čistě rotační, je snadné pochopit, že lineární rychlost koncového bodu bude -

|{\vec {v}}|=|{\tečka {\vec {r}}}|=\omega |{\vec {r}}|,

a lineární zrychlení bude

|{\vec {a}}|=|{\tečka {\vec {v}}}|=\omega |{\vec {v}}|.

To znamená, že pro vektor zrychlení zjistíme, že jeho hodnota je rovna a směr je opačný než směr (kvůli otočení dvakrát o 90 stupňů). $\vec a$ $\omega ^{2}|{\vec {r}}|,$ ${\vec {r))$

(Tak jsme dostali, podél cesty, a teorém o dostředivém zrychlení [2] ).

Přirozeným prodloužením vratné síly jednorozměrného oscilátoru

F=-kx

na dvojrozměrnou, která splňuje podmínku, že x -složka síly se shoduje s jednorozměrnou, bude

{\vec {F}}=-k{\vec {r}}.

Pak vidíme, že je možné zvolit rychlost otáčení tak, aby všechny vektory zůstaly nezměněny co do velikosti a rotovaly pouze úhlovou rychlostí ω . Totiž pokud $\omega ^{2}=k/m,$

m{\vec {a}}=-m\omega ^{2}{\vec {r}}={\vec {F}}=-k{\vec {r}}.

(Zároveň lze vzít libovolnou délku vektoru, v této rovnici je zmenšena; lze vzít i úhel natočení výchozí polohy ). ${\vec {r))$ ${\vec {r))$

To znamená, že jsme našli řešení pro dvourozměrný systém (odpovídající vektorovému diagramu), a proto projekce tohoto řešení na osu x je řešením pohybové rovnice pro jednorozměrný systém, který je

x=const\cdot \mathrm {cos} (\omega t+const'),

kde a jsou nějaké konstanty , je řešením pohybové rovnice harmonického oscilátoru $\omega ={\sqrt {k/m)),$ $const,const'$

m{\ddot {x}}=-kx.

Tlumený harmonický oscilátor s vnější hnací silou

Podobně můžeme uvažovat o řešení pohybové rovnice harmonického oscilátoru s vnější hnací silou f :

m{\ddot {x}}=-kx-\beta {\dot {x}}+f.

(Zde na pravé straně je první člen obvyklá Hookeova vratná síla, druhý je viskózní tření, třetí je vnější hnací síla - rozumí se, že závisí pouze na čase a nezávisí na x ).

Protože téměř libovolnou [3] sílu f lze rozšířit do Fourierovy řady nebo integrálu, tj. reprezentovaného jako součet (diskrétní součet nebo integrál) sinusových sil, je problém redukován na problém se sinusovou silou.

f(t)=f_{0}\mathrm {cos} (\omega t).\

(Vzhledem k linearitě pohybové rovnice bude řešením součtu několika nebo dokonce nekonečného počtu sinusových fs součtem řešení každého z těchto fs ). (Navíc případ čistě sinusové síly (a dokonce ani součet různých sinusoid) může být důležitý sám o sobě).

Recept na řešení tohoto problému metodou vektorových diagramů je následující : každá jednorozměrná kinematická nebo dynamická hodnota (souřadnice, rychlost, zrychlení, síla) je nahrazena (čistě formálně - nebo chcete-li - v rámci porovnávání původní jednorozměrný systém modelového dvourozměrného mechanického systému) s dvourozměrným.

Tyto vektory se zároveň snažíme volit tak, aby se dvourozměrný pohyb redukoval na čistou rotaci.

K tomu je nutné požadovat, aby celková síla působící na hmotu oscilátoru (což je hmotný bod) směřovala vždy do stejného bodu (středu otáčení) a byla rovna velikosti dostředivé zrychlení násobené hmotností.

Na základě těchto podmínek získáme rovnici pro poměr absolutních hodnot vektorů (samozřejmě odpovídajících amplitudám kmitání odpovídajících jednorozměrných veličin) a také pro jejich úhly (odpovídající fázím jednorozměrných veličin). rozměrové oscilace).

Na základě symetrie je rozumné předpokládat, že rotace by měla nastat vzhledem k počátku souřadnic (bodu rovnováhy).

Pak musí zrychlení směřovat do tohoto bodu (přeci jen máme na mysli správnou rovnoměrnou rotaci), což znamená, že máme dvě podmínky, uvažujeme-li složky sil a zrychlení podél osy odpovídající vektoru poloměru a podél osy kolmice. k tomu. Tyto dvě podmínky jsou zapsány jako rovnice

m\omega ^{2}r=kr-f_{r}\

0=f_{\perp }-\beta \omega r

respektive. (Zde r je modul poloměrového vektoru, f s různými indexy jsou složky vektoru vnější síly podél vektoru poloměru a kolmo k němu; první rovnice obsahuje kvantitativní rovnováhu radiálních sil a dostředivého zrychlení a druhá znamená kompenzace příčných sil, která je nutná k tomu, aby nakonec síla směřovala podél linie vektoru poloměru, tedy byla dostředivá).

Vyřešením každé z těchto dvou rovnic s ohledem na složku síly f a následným umocněním každé z nich a sečtením, s ohledem na Pythagorovu větu , dostaneme: $f^{2}=f_{r}^{2}+f_{\perp }^{2},$

((km\omega ^{2})^{2}+\beta ^{2}\omega ^{2})r^{2}=f^{2},\

a odtud:

r={\frac {f}{\sqrt {(km\omega ^{2})^{2}+\beta ^{2}\omega ^{2)))))},

tj. výraz pro amplitudu kmitání pro danou amplitudu hnací síly f .

(Podobně se z poměru vypsaných silových složek, který představuje tečnu požadovaného úhlu, zjistí úhel, pod kterým je vektor síly v diagramu nakloněn k vektoru poloměru. A tento úhel je zpoždění x fáze kmitání vzhledem k fázi kmitání působící vnější síly).

Jak je vidět, studium kmitů při působení hnací sinusové síly (z níž se mimo jiné získávají i rezonanční podmínky atd. atd.) pro harmonický oscilátor se celkem úspěšně provádí metodou vektorových diagramů. . Avšak pro studium jiných problémů, jako je získání tlumeného řešení za nepřítomnosti vnější hnací síly, není taková metoda příliš pohodlně použitelná [4] .

Výpočet elektrických obvodů

Výpočet elektrických obvodů je snad nejstandardnějším a nejrozšířenějším případem použití vektorových diagramů a právě zde je z řady pedagogických důvodů zřejmě nejčastěji používán pod tímto názvem a v čisté podobě (tj. aniž by se zmiňovaly komplexní čísla) [5 ] .

Ve skutečnosti samozřejmě existuje podobná metoda založená na komplexní reprezentaci kmitů - v podstatě ji lze označit jako metodu komplexních impedancí (viz také Metoda komplexní amplitudy ). Obecně je tato metoda výkonnější než jednoduchá metoda vektorových diagramů, protože je více formalizovaná a umožňuje vám najít řešení pro libovolný (libovolně složitý) obvod sestávající z lineárních prvků (odpory, kondenzátory, induktory) pomocí zobecněných [6] Kirchhoffova pravidla . Zároveň lze pro ilustraci této metody použít vektorové diagramy a v těch případech [7] , kde jsou použitelné, se formálně zcela shodují.

Nejstandardnějším, nejběžnějším a nejjednodušším případem aplikace vektorových diagramů na elektrické obvody jsou sériové a paralelní obvody skládající se z lineárních prvků (odporů, kondenzátorů a prvků s indukčností [8] ).

V zásadě lze vektorové diagramy, pokud jsou parametry prvků obvodu a frekvence specifikovány číselně, použít k získání odpovědi graficky téměř bez výpočtů (sestavením přesného výkresu), ale častěji se rozumí použití vektorového diagramu. jako získání odpovědi pomocí něj ve formě vzorce (vektorový diagram pak hraje roli schematického nákresu při řešení geometrického problému).

Základem pro provedení typického výpočtu v termínech, které vylučují explicitní použití komplexních čísel, je koncept reaktance , který je zaveden pro kondenzátory a indukční prvky ( tlumivky ), založený na základních fyzikálních rovnicích [9] , které umožňují vztahovat proud skrz prvek a napětí na něm (nebo EMF v něm):

pro kondenzátor: $CU=Q=\int Idt,$
pro indukčnost: ${\mathcal {E}}=-LdI/dt,$ kromě $U=-{\mathcal {E}}$

Potom se do těchto rovnic dosadí sinusový proud:

$I=I_{0}\mathrm {cos} (\omega t+\varphi _{0})$

a dostat

pro kondenzátor:

U={\frac {1}{C\omega }}I_{0}\mathrm {sin} (\omega t+\varphi _{0})={\frac {1}{C\omega }} I_{0}\mathrm {cos} (\omega t+\varphi _{0}-{\frac {\pi }{2))),

pro indukčnost:

U=-L\omega I_{0}\mathrm {sin} (\omega t+\varphi _{0})=L\omega I_{0}\mathrm {cos} (\omega t+\varphi _{ 0}+{\frac {\pi }{2)))).

Všimněte si, že vzorce jsou velmi podobné obvyklému Ohmovu zákonu

U=RI,

kromě dvou bodů: 1) pokud obvyklý (v této souvislosti nazývaný aktivní ) odpor R nezpůsobí změnu fáze napětí oproti proudu (jsou ve fázi), pak napětí na kondenzátoru fázově zaostává vzhledem k proudu o 90° a na indukčnosti napětí vede fázový proud o stejných 90°; 2) koeficient, kterým se proud násobí, aby se získalo napětí, jen nazývané reaktance, závisí jak na kondenzátoru, tak na indukčnosti na frekvenci proudu (a závisí jiným, inverzním způsobem).

Víme tedy, jak znázornit napětí na kondenzátoru, induktoru nebo rezistoru na vektorovém diagramu, pokud je známý proud (to znamená, že jeho vektor již byl nakreslen). Totiž: pro kondenzátor musíme vektor proudu vynásobit (měřítko) faktorem a otočit ho o 90° v záporném směru (ve směru hodinových ručiček), pro indukčnost musíme vektor proudu vynásobit a otočit o 90° v kladném směru. směr.směr (proti směru hodinových ručiček). Dostaneme tedy vektor představující napětí pro kondenzátor a indukčnost, pokud známe vektor proudu. Pro rezistor („aktivní odpor“), aby se vytvořil vektor představující napětí, by měl být vektor představující proud násoben pouze R , aniž by se změnil jeho směr. ${\frac {1}{\omega C))$ $\omega L$

Úplně stejným způsobem je možné sestrojit vektor představující proud na vektorovém diagramu, pokud známe vektor představující napětí. (Samozřejmě stačí vynásobit převrácenými hodnotami výše uvedených čísel a otočit vektor v opačném směru).

Když je to jasné, můžeme uvažovat konkrétně o typických úlohách pro paralelní a sériové spojování prvků.

Hlavním faktem použitým při řešení problému s paralelním zapojením je skutečnost, že napětí na všech paralelně zapojených prvcích je stejné, proto je vektor napětí brán jako počáteční vektor (je stejný pro všechny prvky, tzn. , je pouze jeden, proto je s ním vhodné začít). Poté se podle výše uvedeného receptu sestaví proudové vektory pro každý prvek a jejich (vektorový) součet samozřejmě znázorňuje celkový proud.
Hlavním faktem pro řešení úlohy se sériovým zapojením je rovnost proudu ve všech sériově zapojených prvcích [10] Poté začneme konstrukci z vektoru proudu, výše popsaným způsobem vypočítáme napětí na každém prvku (přes jeho aktivní nebo reaktance) a napětí na koncích obvodu se vypočítá jako součet vektorů představujících napětí na každém prvku. Umožňuje určit amplitudu a fázi napětí na koncích obvodu, pokud je známa amplituda, fáze a frekvence proudu. Po napsání odpovědi ve formě vzorce ji můžete v případě potřeby přepsat tak, abyste vyjádřili naopak neznámý proud známým napětím.

Poslední možnost sestrojení vektorového diagramu (pro sériově zapojený rezistor, indukčnost a kondenzátor) je na obrázku.

Podrobnosti

Sériový obvod (jako na obrázku) obsahuje rezistor R , kondenzátor C a induktor L. Označujeme napětí na každém z těchto prvků, U R , U C , U L a proud obvodem (stejný pro každý prvek kvůli jejich sériovému zapojení) označujeme I.

Napětí na koncích obvodu (které budeme označovat jako U RLC ) bude součtem napětí na každém prvku:

U_{RLC}=U_{R}+U_{C}+U_{L}.

Předpokládáme (podle podmínek úlohy [11] ), že proud v obvodu je sinusový a na vektorovém diagramu (horní část obrázku) jej znázorníme jako horizontální vektor o délce rovné amplitudě proudu (to znamená, že počáteční fázi proudu bereme jako nulovou; pokud v reálném případě nulová není, pak se takový případ redukuje na náš posunutím počátku času nebo otočením celého vektorového diagramu o úhel počáteční fáze, což na následném uvažování nic nemění).

Předpokládáme (také podle podmínky úlohy), že frekvence proudu (a tedy i napětí) je daná a rovna ω .

Napětí na každém z prvků obvodu se vypočítá na základě jeho aktivního nebo jalového odporu, jmenovitě amplitudy napětí odpovídající délkám vektorů, kterými jsou tato napětí znázorněna v diagramu, se rovnají:

|U_{R}|=R|I|,\

|U_{C}|={\frac {1}{\omega C}}|I|,

|U_{L}|=\omega L|I|,\

navíc první není fázově posunutý vůči proudu, což znamená, že je na diagramu znázorněn vektorem shodným s I , druhý - kvůli [12] kapacitní povaze své reaktance - fázově zaostává o 90 °, což znamená, že je znázorněn vektorem otočeným o 90 ° v záporném směru (ve směru hodinových ručiček) - tedy dolů na obrázku (protože I je na tomto obrázku přísně vodorovný), a třetí - kvůli [13] indukční povaha jeho reaktance - předbíhá proud ve fázi o 90 °, což znamená, že diagram ukazuje vektor otočený o 90 ° v kladném směru (proti směru hodinových ručiček) - na našem obrázku to vypadá přímo nahoru.

Dále přidáme U R ,U C ,U L podle pravidel sčítání vektorů, to znamená jako na obrázku sestavíme řetězec vektorů (přerušovaná čára), kde každý další přidaný vektor sestrojíme tak, že jeho začátek se shoduje s koncem předchozího.

Ukázalo se, že součtový vektor je, jak jsme předpokládali výše,

U_{RLC}=U_{R}+U_{C}+U_{L},

nyní však vidíme tento vektor v diagramu konkrétně.

Délka tohoto vektoru se ukáže jako délka přepony pravoúhlého trojúhelníku se stranami | U R | a || U L |-| U C || (obrázek ukazuje případ, kdy | U L | > | U C |, ale to neovlivní následné výpočty).

Proto podle Pythagorovy věty

|U_{RCL}|={\sqrt {U_{R}^{2}+(U_{L}-U_{C})^{2))},

a dosazením délek vektorů U R , Ul , U C z výše napsaných vzorců máme

|U_{RCL}|={\sqrt {(I_{0}R)^{2}+(I_{0}\omega L-{\frac {I_{0}}{\omega {C} }})^{2}}},

kde I 0 označuje amplitudu proudu (rovnající se délce vektoru I ); když vyjmeme I 0 z kořene, máme:

|U_{RCL}|=I_{0}{\sqrt {R^{2}+(\omega L-{\frac {1}{\omega C)))^{2))},

to je analytický výraz pro amplitudu napětí v obvodu.

Na závěr poznamenáváme, že nyní lze tyto vzorce použít také k řešení inverzního problému - výpočtu proudu v obvodu při daném napětí - k tomu je nutné pouze elementárně vyřešit první rovnici pro I 0 , vyjadřující ji v pokud jde o zbývající parametry.

Fourierova transformace

Vektorové diagramy lze použít ve vztahu k Fourierově řadě a Fourierově transformaci (z fyzikálního hlediska je to většinou interpretováno jako studium frekvenčního spektra určitých procesů).

V některých konkrétních případech použití vektorových diagramů umožňuje získat v této oblasti poměrně netriviální přesné výsledky poměrně elementárními prostředky. Hodnota takové aplikace v moderním kontextu zjevně není příliš velká, protože všechny tyto výsledky lze reprodukovat standardnějšími a obecnějšími analytickými technikami („bez použití kreseb“), ale zdá se, že metoda vektoru diagramy zde mohou být pedagogicky užitečné, stejně jako pro popularizaci a možná někdy pro některé inženýrské aplikace.

Kromě toho mohou být vektorové diagramy v této oblasti nepochybně užitečné jako ilustrace, stejně jako pro lepší kvalitativní pochopení formálních výsledků a pravděpodobně někdy i pro získání jakýchsi odhadovaných vztahů.

Přidání dvou sinusových kmitů

Pro školáky je nepochybně užitečné zvážit z pohledu vektorových diagramů přidání dvou sinusových signálů, které se mírně liší frekvencí. Navzdory skutečnosti, že výsledek lze získat jednoduchou aplikací goniometrických vzorců, metoda vektorových diagramů je cenná v tom, že umožňuje získat výsledek transparentním geometrickým způsobem, který přispívá ke kvalitativnímu pochopení matematického obsahu tohoto problém [14] .

Vlastně můžeme říci, že úvaha pomocí vektorových diagramů může mimo jiné pomoci zapamatovat si (nebo obnovit v paměti) odpovídající goniometrické vzorce.

Fourierova transformace obdélníkového signálu

Protože dopředná a inverzní Fourierova transformace jsou v podstatě symetrické, mluvíme jak o Fourierově obrazu (spektru) obdélníkového signálu [15] , tak naopak o tom, který signál má „pravoúhlé“ spektrum [16] .

S ohledem na to, že řešení všech problémů naznačených v úvodní poznámce je formálně v podstatě stejné, zaměřme se na nastínění způsobu řešení toho, který má transparentnější fyzikální význam. Konkrétně na úloze určit tvar signálu (výslovná forma funkce času), který je součtem součtu sinusoid stejných amplitudou a ekvidistantních co do frekvence (a nechť počáteční fázi každé z těchto sinusoid být rovna nule).

Každá z těchto sinusoid je zjevně reprezentována na vektorovém diagramu vektorem stejné délky. V počátečním okamžiku ( t = 0) jsou všechny tyto vektory horizontální a směřují doprava. V následujících okamžicích závisí úhel natočení každého vektoru lineárně na jeho počtu.

Pokud tedy sečteme vektory v přirozeném pořadí, počínaje nejnižší frekvencí po nejvyšší, přerušovaná čára, sestávající z řetězce vektorů, které mají být sečteny, bude v libovolném časovém okamžiku součástí „pravidelného mnohoúhelníku“ [17] , to znamená, že všechny začátky a konce vektorů leží v určitém časovém okamžiku na nějaké jedné kružnici (v počátečním okamžiku je tato přerušovaná čára zjevně degenerována do úsečky).

Hned si všimneme, že v případě problému pro spojité spektrum taková přerušovaná čára samozřejmě přechází do kruhu. Je-li to žádoucí, lze toto tvrzení rigorózně odůvodnit a všechny argumenty pro diskrétní spektrum lze přeformulovat podle toho pro spojité spektrum.

Součtový vektor - vektor nakreslený od začátku prvního vektoru v řetězci do konce posledního - je zjevně nasměrován pod úhlem k horizontále, kde je průměr spodní a horní frekvence našeho spektra (tj. je nejvyšší a nejnižší frekvence). $\omega _{0}t$ $\omega _{0}=(\omega _{1}+\omega _{2})/2$

Délku tohoto vektoru lze také snadno vypočítat z elementárních geometrických úvah.

Kvalitativní rozdíl mezi případem diskrétního spektra a spojitého je v tom, že u diskrétního spektra je počet článků přerušované čáry konečný (a každý jeho segment je také konečný), proto po nějakém konečném čase pozice bude dosažena, když každý další vektor bude opačný k předchozímu (přerušovaná čára se zcela „složí“ do rozměrů jednoho vektoru) a poté se začne „rozšiřovat“, dokud se za stejnou dobu dosáhne počáteční polohy, to znamená, že amplituda součtu bude opět maximální, jako v případě t = 0, a samotná funkce bude periodická [18] .
Není těžké spočítat, jak dlouho bude trvat, než „obálka signálu projde nulou“ [19] . (To se samozřejmě stane, když se přerušovaná čára - nebo v případě spojitého spektra křivka (kruhový oblouk) - tvořená vektory znázorňujícími každou sinusoidu poprvé uzavře. Tento čas lze použít jako kvantitativní charakteristiku "šířky signálu" (šířky jeho hlavního vrcholu) podle (Samozřejmě signál je sudá - tedy symetrická vzhledem k časové reverzaci - funkce, takže podobný bod na časové ose bude na záporné poloosa, symetricky k první).
Tato charakteristika šířky signálu - v kombinaci se zřejmou (kvůli jeho ostrým hranám) charakteristikou šířky spektra - může být použita k formulaci vztahů neurčitosti ; to může být užitečné v populární prezentaci, protože to obecně vyžaduje elementární matematické prostředky, zatímco podstata problému je nastíněna (i když na konkrétním příkladu) dostatečně podrobně.

Difrakce

Při řešení problému Fraunhoferovy difrakce [20] štěrbinou stojíme před otázkou podobnou té, kterou jsme uvažovali v předchozím odstavci: jak sečíst sinusoidy, které mají stejnou amplitudu a fázově posunuté o další vzhledem k předchozí jeden o stejnou hodnotu (pouze v tomto odstavci nejsou tyto fázové posuny úměrné času a - v nejjednodušším případě - sinusu úhlu).

Podobně jako v případě předchozího odstavce je každá sinusoida reprezentována vektorem, jehož řetězec, když sečteme přerušovanou čarou, je vepsán do kruhu a ve spojité limitě (do kterým je nutné sem jít) je oblouk kruhu. Součtový vektor - uzavírající přerušovanou čáru - je pak tětivou tohoto oblouku a jeho délka se vypočítává z elementárních geometrických úvah.

Zajímavé je spíše to, že metoda vektorových diagramů umožňuje kvalitativně studovat přechod od Fraunhoferova případu k obecnějšímu případu (když se pozorovací clona přiblíží ke štěrbině). (Pak délky vektorů, které mají být přidány, již nejsou stejné, ale lze kvalitativně pochopit, jak se obraz mění, zvláště pokud se vzdálenost k obrazovce příliš nezmenšila).

Metoda vektorových diagramů je v zásadě vhodná pro hledání řešení difrakčních problémů a v obecném případě (pro který neexistují analytické metody) numerickou metodou, konstrukční metodou nebo pomocí mechanického analogového zařízení, i když v u mnoha z těchto aplikací není příliš zřejmé, jak správná je aplikace termínu "vektorové diagramy" (ve smyslu vymezení od jiných konvenčních metod - komplexní reprezentace apod.; i když samozřejmě v některých případech se nepochybně jedná o správně - řekněme v čistě grafické konstrukci).

Poznámky

↑ získané pravidlem rovnoběžníku , trojúhelníku nebo (v případě součtu mnoha vektorů) lomené čáry.
↑ Lze ji však považovat za známou samostatně, protože se ve skutečnosti dosud uvažovalo pouze o dvourozměrném pohybu, který sám o sobě není předmětem metody vektorových diagramů, ale spíše se v ní používá. Na druhou stranu jsme si již všimli, že téměř celý obsah metody vektorových diagramů v této části lze přeformulovat pomocí jednoduché analogie s dvourozměrným pohybem.
↑ Tedy v závislosti na čase, jak chcete, jinými slovy libovolná funkce f (t) . Samozřejmě, že třída přípustných funkcí f(t) musí podléhat požadavku fyzikální rozumnosti, například považovat je za konečné nebo (protože je někdy rozumné třídu přípustných funkcí ještě rozšířit) alespoň za integrovatelné do nějaký smysl.
↑ V zásadě lze navrhnout některé způsoby aplikace, ale jsou spíše umělé a v žádném případě neumožňují jednoduše okamžitě získat přímou odpověď v přirozené podobě, jak tomu bylo u výše uvedeného problému.
↑ Formulace pomocí komplexních čísel nejen rozšiřuje možnosti aplikace metody, ale je také kompaktnější, a tedy i krásnější. Abyste to však pochopili, musíte strávit nějaký (v zásadě ne moc) čas seznamováním se s elementárními operacemi na komplexních číslech. V této formulaci se vektorové diagramy stávají geometrickou ilustrací metody a její algebraický zápis se stává jednodušším, kratším a standardnějším.
↑ Zobecnění Kirchhoffových pravidel zde odkazuje na jejich použití ve vztahu k obvodům, které zahrnují nejen odpory, ale i reaktance (kondenzátory a induktory), a pro reaktivní prvky se místo odporů používají komplexní čísla - impedance . Čistě formálně v tomto případě zůstává vše stejné jako u obvodů, které obsahují pouze odpory; jde jen o to, že ne všechny odpory jsou nyní reálná čísla .
↑ Bohužel ve své čisté formě - tedy čistě geometricky, bez explicitního použití komplexních čísel - je použitelná (alespoň pohodlně použitelná) ne na všechny případy, a dokonce lze říci, že ve své obvyklé podobě je použitelná pouze na případ postupných nebo paralelních spojů obvodových prvků, jakož i sérioparalelních obvodů (i když v druhém případě je to již znatelně méně výhodné).
↑ Do tohoto seznamu lze zařadit i některé další prvky, např. zesilovače v oblasti jejich linearity a v aproximaci malého signálu lze nelineární prvky přibližně nahradit lineárními.
↑ Nejjednodušeji - pro ideální kondenzátory a indukčnosti. Část imperfekce pak může být reprezentována paralelním nebo sériovým zapojením do ideálních prvků přídavných rezistorů, kondenzátorů, indukčností, které musí být ekvivalentní parazitnímu činnému odporu, parazitní kapacitě, parazitní indukčnosti reálných prvků.
↑ Argumentujeme za předpokladu, že kapacity samotných vodičů jsou zanedbatelné a znatelný náboj se může akumulovat pouze na deskách kondenzátoru (symetricky), proud je pak všude stejný.
↑ Variantou formulace takového problému může být úloha v podmínce sinusového napětí na koncích obvodu, a ne proudu v něm. Avšak počínaje sinusovým proudem - jak je uvedeno v hlavním textu - dojdeme k sinusovému napětí, to znamená, že tyto podmínky jsou konzistentní a jsou pro sebe nezbytné a dostatečné. Proto v hlavním textu bez ztráty obecnosti zahájíme prezentaci sinusovým proudem, který je jednodušší a přehlednější.
↑ Odůvodnění – viz článek výše.
↑ Odůvodnění – viz také článek výše.
↑ Nemluvě o tom, že o tom umožňuje mluvit bez znalosti zmíněných goniometrických vzorců, tedy např. v dřívějším věku, pokud je to požadováno.
↑ V této části chápeme obdélníkový signál jako jeden impuls obdélníkového tvaru, tedy funkci, která nabývá na určitém segmentu nenulovou konstantní hodnotu a všude mimo tento segment je rovna nule.
↑ Tento problém navíc úzce souvisí s problémem najít signál, který má diskrétní spektrum rovnoměrně rozmístěných harmonických o stejné intenzitě, zabírající frekvenčně konečný interval a v limitu všechny frekvence (varianta bílého šumu ).
↑ Uvozovky, protože termín pravidelný mnohoúhelník zde není striktně používán: znamená to, že všechny segmenty naší křivky jsou stejné a úhly mezi sousedními jsou stejné (jako u skutečného pravidelného mnohoúhelníku), ale obecně řečeno tento mnohoúhelník, i když pokračuje, ne vždy se uzavírá do pravidelného mnohoúhelníku (úhel mezi segmenty vždy neumožňuje, aby se koncové segmenty shodovaly s vrcholy); ačkoliv v některých bodech času (když se úhel stane vhodným) je skutečně součástí skutečného pravidelného mnohoúhelníku v obvyklém přísném smyslu.
↑ Situaci poněkud komplikuje skutečnost, že v okamžiku, kdy součtový vektor dosáhne své maximální délky, může obecně směřovat nikoli horizontálně. Nicméně pro nejtypičtější situaci, kdy je poměr nejnižší frekvence a rozdílu frekvencí racionální číslo, je výsledek (horizontální projekce součtu) stále periodickou funkcí času a po konečném čase opět dosáhne maxima. . V nejobecnějším případě, kdy tento poměr může být iracionální, se stále potýkáme s tím, že funkce se opět může přiblížit svému maximu libovolně blízko (na rozdíl od spojitého spektra amplituda kmitů klesá poměrně rychle, takže každé další lokální maximum je určitě menší než všechna předchozí).
↑ Nebudeme se zde snažit dát této zjevné intuitivní formulaci striktní formu.
↑ Můžeme mluvit nejen o optice, ale i o akustice atd.; v detailech se řešení problému (a odpověď) poněkud liší (kvůli zahrnutí polarizace atd.), ale obecně je zde popsaný způsob řešení stejný. (Odpověď se také ukazuje být do značné míry podobná, alespoň kvalitativně).

Odkazy

Vektorové diagramy jednofázových střídavých obvodů Archivováno 3. července 2014 na Wayback Machine
Interaktivní model: vektorový diagram součtu dvou hodnot, které se mění podle harmonického zákona Archivováno 20. června 2017 na Wayback Machine
Online Editor vektorových diagramů Archivováno 24. září 2020 na Wayback Machine