Virální

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. června 2016; kontroly vyžadují 27 úprav .

Viriál pro množinu bodových částic v mechanice je definován jako skalární funkce: $N$

\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},

kde a jsou prostorové vektory souřadnic a sil pro -tou částici. ${\mathbf {r}}_{k}$ ${\mathbf {F}}_{k}$ $k$

Výraz "viriální" pochází z latinských slov "vis" , "viris" - "síla" nebo "energie". Zavedl jej Clausius v roce 1870 .

Virial teorém

Pro stabilní systém vázaný potenciálními silami platí viriální teorém [1] :

2\langle T\rangle =-\součet _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle ,

kde představuje průměrnou celkovou kinetickou energii a je síla působící na -tou částici. $\langle T\rangle$ ${\mathbf {F}}_{k}$ $k$

Ve speciálním případě , kdy potenciální energie interakce odpovídající síle je úměrná mocnině vzdálenosti mezi částicemi , má viriální teorém jednoduchý tvar $V(r)$ $n$ $r$

2\langle T\rangle =n\langle U\rangle .

Jinými slovy, dvojnásobek průměrné celkové kinetické energie je - krát průměrná celková potenciální energie . $T$ $n$ $U$

Význam viriálního teorému je v tom, že umožňuje vypočítat průměrnou celkovou kinetickou energii i pro velmi složité systémy nepřístupné exaktnímu řešení, které uvažuje např. statistická mechanika . Například viriální teorém může být použit k odvození ekvipartiálního teorému (teorém o rovnoměrném rozdělení energie přes stupně volnosti) nebo k výpočtu Chandrasekharovy limity pro stabilitu bílého trpaslíka .

Časová derivace a průměrování

S viriálem úzce souvisí další skalární funkce:

G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},

kde je hybnost té částice. ${\mathbf {p}}_{k}$ $k$

Časovou derivaci funkce lze zapsat takto: $G$

{\frac {dG}{dt}}=\sum _{{k=1}}^{N}{\frac {d{\mathbf {p}}_{k}}{dt}}\cdot {\ mathbf {r}}_{k}+\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {p}}_{k}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}_ {k}}{dt}}=

=\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}+\sum _{{k=1}} ^{N}m_{k}{\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt }}

nebo v jednodušší podobě

{\frac {dG}{dt}}=2T+\součet _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k} .

Zde je hmotnost té částice, celková síla působící na částici a celková kinetická energie systému $m_{k}$ $k$ ${\mathbf {F}}_{k}={\frac {d{\mathbf {p}}_{k}}{dt}}$ $T$

T={\frac {1}{2}}\sum _{{k=1}}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\ součet _{{k=1}}^{N}m_{k}{\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r }}_{k}}{dt}}.

Průměrování tohoto derivátu v průběhu času je definováno takto: $\tau$

\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }{\ frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }dG={\frac {G(\tau )-G( 0)}{\tau }},

kde získáme přesné řešení

\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\langle T\rangle _{\tau }+\součet _{{k=1}}^{N} \langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle _{\tau }.

Virální věta

Virální teorém říká:

Pokud , pak $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$

2\langle T\rangle _{\tau }=-\součet _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_ {k}\rangle _{\tau }.

Důvodů, proč mizí průměrování časové derivace, je několik, tj . Jedním z často citovaných důvodů jsou sdružené systémy , tedy systémy, které zůstávají vázané na prostor. V tomto případě je funkce obvykle omezena na dvě limity a , a průměr má tendenci k nule v limitě velmi dlouhých časů : $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$ $G^{{{\mathrm {bound}}}}$ $G_{\min }$ $G_{\max }$ $\tau$

\lim _{{\tau \to \infty }}\left|\left\langle {\frac {dG^{({\mathrm {bound}}}}}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{{\tau \to \infty }}\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leqslant \lim _{ {\tau \to \infty }}{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.

Tento závěr platí pouze pro ty systémy, ve kterých funkce závisí pouze na čase a nezávisí výrazně na souřadnicích. Je-li střední hodnota časové derivace , má viriální věta stejný stupeň aproximace. $G$ $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }\cca 0$

Vztah s potenciální energií

Celková síla působící na částici je součtem všech sil působících na část ostatních částic v systému ${\mathbf {F}}_{k}$ $k$ $j$

{\mathbf {F}}_{k}=\sum _{{j=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{{jk}},

kde je síla působící na částici ze strany částice . Termín v časové derivaci funkce obsahující sílu lze tedy přepsat jako: ${\mathbf {F}}_{{jk}}$ $j$ $k$ $G$

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}}^ {N}\sum _{{j=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}.

Vzhledem k tomu, že nedochází k žádné vlastní akci (tj . kde ), dostáváme: ${\mathbf {F}}_{{jk}}=0$ $j=k$

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}}^ {N}\součet _{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}+\sum _{{k=1}} ^{N}\součet _{{j>k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\součet _{{k=1} }^{N}\sum _{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot ({\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}} _{j}),

[2]

kde předpokládáme, že je splněn třetí Newtonův zákon , tj. (stejný v absolutní hodnotě a opačný ve směru). ${\mathbf {F}}_{{jk}}=-{\mathbf {F}}_{{kj}}$

Často se stává, že síly lze odvodit z potenciální energie , která je funkcí pouze vzdálenosti mezi bodovými částicemi a . Protože síla je gradient potenciální energie s opačným znaménkem, máme v tomto případě $PROTI$ $r_{{jk}}$ $j$ $k$

{\mathbf {F}}_{{jk}}=-\nabla _{({\mathbf {r}}_{k}}}V=-{\frac {dV}{dr}}{\frac { {\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}}_{j}}{r_{{jk}}}},

která se rovná absolutní hodnotě a je ve směru opačném k vektoru - síle, která působí ze strany částice na částici , jak lze ukázat jednoduchými výpočty. Silový člen v derivaci funkce s ohledem na čas je tedy roven ${\mathbf {F}}_{{kj}}=-\nabla _{({\mathbf {r}}_{j}}}V$ $k$ $j$ $G$

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}}^ {N}\sum _{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot ({\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}}_{ j})=-\součet _{{k=1}}^{N}\součet _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}{\frac {({\mathbf {r} }_{k}-{\mathbf {r}}_{j})^{2}}{r_{{jk}}}}=-\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}r_{{jk}}.

Aplikace na síly závislé na vzdálenosti

Často se ukazuje, že potenciální energie má podobu výkonové funkce $PROTI$

V(r_{{jk}})=\alpha r_{{jk}}^{n},

kde koeficient a exponent jsou konstanty. V tomto případě je silový člen v časové derivaci funkce dán následujícími rovnicemi $\alpha$ $n$ $G$

-\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}} ^{N}\součet _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}r_{{jk}}=\součet _{{k=1}}^{N}\součet _{{ j<k}}nV(r_{{jk}})=nU,

kde je celková potenciální energie systému: $U$

U=\součet _{{k=1}}^{N}\součet _{{j<k}}V(r_{{jk}}).

V případech, kdy průměr časové derivace , rovnice $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$

\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\součet _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\ cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.

Běžně citovaným příkladem je gravitační přitažlivost , pro kterou . V tomto případě je průměrná kinetická energie poloviční než průměrná negativní potenciální energie $n=-1$

\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.

Tento výsledek je pozoruhodně užitečný pro složité gravitační systémy, jako je sluneční soustava nebo galaxie , a platí také pro elektrostatický systém , pro který je stejný. $n=-1$

Ačkoli je tento výraz odvozen pro klasickou mechaniku, viriální teorém platí také pro kvantovou mechaniku .

Účtování elektromagnetických polí

Virální teorém lze zobecnit na případ elektrických a magnetických polí. Výsledek: [3]

{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I+\int \limits _{V}x_{k}{\frac {\partial P_{k}}{\částečné t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{E}+W^{M}-\int x_{k}(p_{ik} +T_{ik})\,dS_{i},

kde je moment setrvačnosti , je Poyntingův vektor , je kinetická energie „kapaliny“, je náhodná tepelná energie částic a je energie elektrických a magnetických polí v uvažovaném objemu systému, je tenzor tlaku tekutiny vyjádřený v místním pohyblivém souřadnicovém systému doprovázejícím tekutinu: $já$ $P$ $T$ $U$ $W^{E}$ $W^{M}$ $p_{{ik}}$

p_{{ik))=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m ^{\sigma }n^{\sigma }

a je tenzorem energie-hybnosti elektromagnetického pole: $T_{ik}$

T_{{ik}}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}} }\right)\delta _{{ik}}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0 }}}\že jo).

Plazmoid je omezená konfigurace magnetických polí a plazmatu. Pomocí viriálního teorému je snadné ukázat, že jakákoli taková konfigurace expanduje, pokud není omezena vnějšími silami. V konečné konfiguraci plošný integrál zmizí bez tlakových stěn nebo magnetických cívek. Protože všechny ostatní členy napravo jsou kladné, bude kladné i zrychlení momentu setrvačnosti. Je snadné odhadnout dobu expanze . Je-li celková hmotnost omezena v poloměru , pak moment setrvačnosti je přibližně a levá strana viriálního teorému je . Členy napravo sčítají hodnotu v řádu , kde je větší z plazmového tlaku nebo magnetického tlaku. Porovnáním těchto dvou pojmů a s přihlédnutím k tomu, že , , , kde je hmotnost iontu, je koncentrace iontů, je objem plazmoidu, je Boltzmannova konstanta, je teplota, protože zjistíme: $\tau$ $M$ $R$ $MR^{2}$ $MR^{2}/\tau ^{2}$ $pR^{3}$ $p$ ${\displaystyle M=m_{i}nV\sim m_{i}nR^{3))$ $p\sim nkT$ ${\displaystyle c_{s}^{2}\sim {\frac {kT}{m_{i))))$ $m_{i}$ $n$ $V\sim R^{3}$ $k$ $T$ $\tau$

\tau \sim R/c_{s},

kde je rychlost iontové akustické vlny (nebo Alphenovy vlny , pokud je magnetický tlak vyšší než tlak plazmy). Očekává se tedy, že životnost plazmoidu bude řádově stejná jako akustická (Alfen) doba tranzitu. $c_{s}$

Relativistický homogenní systém

V případě, kdy fyzikální systém bere v úvahu tlakové pole, elektromagnetické a gravitační pole a také pole zrychlení částic, viriální teorém v relativistickém tvaru je zapsán následovně: [4]

~\langle W_{k}\rangle \approx -0{,}6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,

navíc tato hodnota převyšuje kinetickou energii částic faktorem rovným Lorentzovu faktoru částic ve středu systému. Za normálních podmínek můžeme předpokládat, že , a pak je jasné, že ve viriální větě je kinetická energie vztažena k potenciální energii nikoli koeficientem 0,5, ale spíše koeficientem blízkým 0,6. Rozdíl oproti klasickému případu vzniká v důsledku zohlednění tlakového pole a pole zrychlení částic uvnitř systému, přičemž derivace skalární funkce není rovna nule a měla by být považována za Lagrangeovu derivaci . $~W_{k}\cca \gamma _{c}T$ $~T$ $~\gamma _{c}$ $~\gamma _{c}\cca 1$ $~G$

Analýza integrální věty zobecněného viriálu umožňuje na základě teorie pole najít vzorec pro střední kvadraturu rychlosti typických částic systému, aniž by se použil pojem teploty: [5]

v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{ c}^{2}\sin ^{2}{\left({\frac {r}{c)){\sqrt {4\pi \eta \rho _{0))}\right))))) },

kde je rychlost světla, je konstanta zrychlovacího pole, je hmotnostní hustota částic, je poloměr proudu. $~c$ $~\eta$ ${\displaystyle ~\rho _{0))$ ${\displaystyle~r}$

Na rozdíl od viriálního teorému pro částice je viriální teorém pro elektromagnetické pole zapsán následovně: [6]

~E_{kf}+2W_{f}=0,

kde je energie $~E_{kf}=\int {A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}$

je považována za kinetickou energii pole spojeného se 4-proudem a množství ${\displaystyle ~j^{\alpha ))$

~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0))}\int {F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g} }dx^{1}dx^{2}dx^{3}}

udává potenciální energii pole, nacházející se prostřednictvím komponent elektromagnetického tenzoru.

Viz také

Virální rozklad

Poznámky

↑ Sivukhin D.V. Obecný kurz fyziky. Mechanika. - M .: Nauka, 1979. - Náklad 50 000 výtisků. - S. 141.
↑ Důkaz této rovnosti
↑ Schmidt G. Fyzika vysokoteplotního plazmatu. - Druhé vydání. - Academic Press, 1979. - Str. 72.
↑ Fedosin, SG Virální věta a kinetická energie částic makroskopického systému v obecném pojetí pole (anglicky) // Continuum Mechanics and Thermodynamics : journal. - 2016. - Sv. 29 , č. 2 . - str. 361-371 . - doi : 10.1007/s00161-016-0536-8 . - . - arXiv : 1801.06453 .
↑ Fedosin, Sergey G. Integrální teorém zobecněného viriálu v relativistickém jednotném modelu (anglicky) // Mechanika a termodynamika kontinua : časopis. - 2018. - 24. září ( roč. 31 , č. 3 ). - str. 627-638 . — ISSN 1432-0959 . - doi : 10.1007/s00161-018-0715-x . — . - arXiv : 1912.08683 .
↑ Fedosin SG Integrální teorém o energii pole. Archivováno 23. června 2019 v časopise Wayback Machine Gazi University Journal of Science. sv. 32, č. 2, str. 686-703 (2019). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.3252783 .

Literatura

Goldstein H. Klasická mechanika. — 2. vyd. - Addison-Wesley, 1980. - ISBN 0-201-02918-9 .

Slovníky a encyklopedie	velká čínština Velký Rus