Rayleighovy vlny

Rayleighovy vlny jsou povrchové akustické vlny . Jsou pojmenovány po Rayleighovi , který je teoreticky předpověděl v roce 1885 [1] .

Popis

Rayleighovy vlny se šíří blízko povrchu pevného tělesa. Fázová rychlost takových vln směřuje rovnoběžně s povrchem. Částice média v takové vlně provádějí eliptický pohyb v sagitální rovině (ve které leží vektor rychlosti a normála k povrchu). Amplitudy kmitání se se vzdáleností od povrchu zmenšují podle exponenciálních zákonů a energie vlny se koncentruje v oblasti ve vzdálenosti řádově vlnové délky od povrchu [2] .

Rayleighova vlna v izotropním tělese

Pohybovou rovnici nekonečně malého objemu homogenního, izotropního a ideálně elastického prostředí s hustotou ρ lze zapsat jako:

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}}{\partial t^2}=\mu\Delta\textbf{U}+(\lambda+\mu)\,\textrm{grad}\,\textrm {div}\textbf{U},

(jeden)

kde U je posunutí nekonečně malého objemu vzhledem k rovnovážné poloze, λ a μ jsou elastické konstanty , Δ je Laplaceův operátor . Pro danou vlnovou rovnici se hledají řešení ve formě superpozice příčných a podélných posuvů U = U t + U l , kde U l =grad φ a U t =rot ψ . φ a ψ jsou skalární a vektorové potenciály. Rovnice ( 1 ) pro nové neznámé je vlnová rovnice pro nezávislé složky posunutí [3] :

\rho\frac{\částečný^2 \textbf{U}_l}{\částečný t^2}-(\lambda+2\mu)\Delta\textbf{U}_l=0,

(2.1)

\rho\frac{\částečný^2 \textbf{U}_t}{\částečný t^2}-\mu\Delta\textbf{U}_t=0.

(2.2)

Pokud se vlna šíří podél osy x, pak lze pro izotropní případ uvažovat pouze kmitání v rovině (x, z). Vezmeme-li v úvahu nezávislost složek na y pro rovinnou harmonickou vlnu, vlnové rovnice pro potenciály mají tvar:

\frac{\částečný^2 \phi}{\částečný x^2}+\frac{\částečný^2 \phi}{\částečný z^2}-k_l^2\frac{\částečný^2 \phi}{ \částečné t^2}=0,

(3.1)

\frac{\partial^2 \psi}{\částečné x^2}+\frac{\částečné^2 \psi}{\částečné z^2}-k_t^2\frac{\částečné^2 \psi}{ \částečné t^2}=0,

(3.2)

kde jsou vlnová čísla pro podélné a příčné vlny. Řešení těchto rovnic, pokud vezmeme pouze tlumená řešení, jsou prezentována ve formě rovinných vln [4] : $k_l=\omega\sqrt{\rho/(\lambda+2\mu)},$ $k_t=\omega\sqrt{\rho/\mu},$

\phi=A\textrm{exp}[-qz+i(kx-\omega t)],

(4.1)

\psi=B\textrm{exp}[-sz+i(kx-\omega t)],

(4.2)

kde ; ; ; A a B jsou libovolné konstanty. Tato řešení představují obecné řešení vlnové rovnice pro tlumenou vlnu a pro nalezení konkrétního řešení je nutné nastavit okrajové podmínky na povrchu média. $q^2=k^2-k_l^2$ $s^2=k^2-k_t^2$ $k^2>k_t^2>k_l^2$

Komponenty posunu jsou reprezentovány jako:

U_x=\frac{\částečné \phi}{\částečné x}-\frac{\částečné \psi}{\částečné z},

(5.1)

U_z=\frac{\částečný \phi}{\částečný z}+\frac{\částečný \psi}{\částečný x}.

(5.1)

V případě volné hranice nabývají složky tenzoru napětí nulové hodnoty:

T_{zz}=\lambda\left(\frac{\částečné^2 \phi}{\částečné x^2}+\frac{\částečné^2 \phi}{\částečné z^2}\right)+2 \mu\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}-\frac{\partial^2 \psi}{\partial x\partial z}\right)=0,

(6.1)

T_{xz}=\mu \left(2{\frac {\částečné ^{2}\phi }{\částečné x\částečné z))+{\frac {\částečné ^{2}\psi } {\částečné x^{2))}-{\frac {\částečné ^{2}\psi }{\částečné z^{2))}\right)=0.

(6.2)

Po dosazení řešení ( 4 ) dostaneme homogenní soustavu lineárních rovnic vzhledem k amplitudám A a B , která má netriviální řešení pouze v případě, že determinant soustavy je roven nule ( Rayleighova rovnice ), konkrétně [5 ] :

\eta^6-8\eta^4+8(3-2\xi^2)\eta^2-16(1-\xi^2)=0,

(6)

kde ,. _ Tato rovnice má jediný kořen související s Rayleighovou vlnou, který závisí pouze na Poissonově poměru ν: $\eta=k_t/k$ $\xi=k_l/k_t$

\eta_R=\frac{0,87+1,12\nu}{1+\nu}.

(7)

Odtud jsou nalezeny složky posunutí pro Rayleighovu vlnu [6] :

U_x=Ak_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2q_Rs_R}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\left[ i\left(k_Rx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\right],

(8.1)

U_z=Aq_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2k_R^2}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\ left[i\left(k_Rx-\omega t\right)\right].

(8.2)

Praktické aplikace vln Rayleighova typu

Vlny typu Rayleigh (pseudo-Rayleighovy vlny) se úspěšně využívají v inženýrských seismických průzkumech ke studiu elastických parametrů hornin a zemin nacházejících se za ostěním tunelů [7] , železobetonu, betonových desek, zdiva nebo chodníků [8] . V případě nárůstu rychlostí s hloubkou (zpravidla při studiích z denního povrchu) se rychlosti příčných vln ve spodní vrstvě určují z disperzních křivek pseudo-Rayleighových vln (viz obrázek). Tato metoda je v praxi hojně využívaná a opodstatněná z hlediska teorie pružnosti.

Poznámky

↑ Lord Rayleigh. Na vlnách šířících se podél rovinného povrchu elastického tělesa // Proc . Londýnská matematika. soc. : deník. - 1885. - Sv. s1-17 , ne. 1 . - str. 4-11 .
↑ Viktorov I. A., 1981 , s. jedenáct.
↑ Viktorov I. A., 1981 , s. 7.
↑ Viktorov I. A., 1981 , s. osm.
↑ Viktorov I. A., 1981 , s. 9.
↑ Viktorov I. A., 1981 , s. deset.
↑ Hodnocení vlastností a stavu zemin za ostěním dopravních tunelů podle 2D seismické tomografie. Bojko O. V. (nepřístupný odkaz) . Získáno 10. července 2015. Archivováno z originálu 10. července 2015. (neurčitý)
↑ Stanovení fyzikálních a mechanických vlastností a pevnostních charakteristik zemin pokrytých zdivem, betonem, železobetonovými konstrukcemi a vozovkou. (nedostupný odkaz) . Datum přístupu: 10. července 2015. Archivováno z originálu 9. července 2015. (neurčitý)

Literatura

Viktorov IA Zvukové povrchové vlny v pevných látkách. — M .: Nauka, 1981. — 287 s.

Slovníky a encyklopedie	velká čínština Britannica (online)