Odvození Lorentzových transformací

Odvození Lorentzových transformací lze provést mnoha způsoby, počínaje různými premisami.

Lorentzovy transformace lze získat abstraktně, ze skupinových úvah (v tomto případě jsou získány s neurčitým parametrem ), jako zobecnění Galileových transformací (které provedl Poincaré - viz níže ). Poprvé však byly získány jako transformace, vůči nimž jsou Maxwellovy rovnice kovariantní (které nemění podobu zákonů elektrodynamiky a optiky při přechodu na jinou vztažnou soustavu). Transformace lze získat z předpokladu jejich linearity a postulátu stejné rychlosti světla ve všech vztažných soustavách (což je zjednodušená formulace požadavku kovariance elektrodynamiky vzhledem k požadovaným transformacím, a rozšíření principu rovnosti inerciálních vztažných soustav (ISR) - principu relativity - k elektrodynamice, jak se to dělá ve speciální teorii relativity (SRT) (v tomto případě se parametr v Lorentzových transformacích ukazuje jako definitivní a shoduje se s rychlostí světla). $C$ $C$

Je třeba poznamenat, že pokud třída souřadnicových transformací není omezena na lineární, pak platí první Newtonův zákon nejen pro Lorentzovy transformace, ale pro širší třídu zlomkových lineárních transformací (nicméně tato širší třída transformací - kromě, samozřejmě pro speciální případ Lorentzových transformací - nedrží metrickou konstantní).

Algebraické odvozování

Na základě několika přirozených předpokladů (z nichž hlavním je předpoklad existence maximální rychlosti šíření interakcí) lze ukázat , že při změně IFR se hodnota

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},

nazývaný interval . Tato věta přímo implikuje obecnou formu Lorentzových transformací ( viz níže ). Zde uvažujeme pouze o zvláštním případě. Pro názornost, při přechodu na IFR pohyb rychlostí , zvolíme v počátečním systému osu spolusměrovanou s , a osy a budou umístěny kolmo k ose . Prostorové osy ISO v daném okamžiku budou zvoleny tak, aby byly shodné s osami ISO . S takovou proměnou $K'$ $proti$ $K$ $X$ $proti$ $Y$ $Z$ $X$ $K'$ $t=0$ $K$

y'=y,~~z'=z,~~c^{2}t'^{2}-x'^{2}=c^{2}t^{2}-x^{ 2}.

Budeme hledat lineární Lorentzovy transformace, protože pro nekonečně malé transformace souřadnic závisí diferenciály nových souřadnic lineárně na diferenciálech starých souřadnic a vzhledem k homogenitě prostoru a času nemohou koeficienty záviset na souřadnicích, pouze na relativní orientace a rychlost IFR.

Skutečnost, že se příčné souřadnice nemohou měnit, je zřejmá z úvah o izotropii prostoru. Hodnota se totiž nemůže měnit a zároveň na ní nezávisí (kromě rotace kolem , kterou z uvažování vylučujeme), což lze snadno ověřit dosazením takových lineárních transformací do výrazu pro interval. Ale pokud to závisí na , pak bod se souřadnicí bude mít nenulovou souřadnici , což je v rozporu s přítomností symetrie rotace systému vzhledem k izotropii prostoru. Podobně pro . $y'$ $X$ $proti$ $X$ $(0,x,0,0)$ $y'$ $proti$ $z'$

Nejobecnější forma takových transformací:

y'=y,~~z'=z,~~ct'=ct\,\název operátora {ch} \,\alpha -x\,\název operátora {sh} \,\alpha ,~~x' =x\,\jméno operátora {ch} \,\alpha -ct\,\jméno operátora {sh} \,\alpha ,

kde je nějaký parametr zvaný rychlost . Inverzní transformace mají tvar $\alpha$

y=y',~~z=z',~~ct=ct'\,\jméno operátora {ch} \,\alpha +x'\,\jméno operátora {sh} \,\alpha ,~~x =x'\,\jméno operátora {ch} \,\alpha +ct'\,\jméno operátora {sh} \,\alpha .

Je jasné, že bod v klidu v IFR se bude muset pohybovat v IFR rychlostí . Na druhou stranu, pokud je bod v klidu, pak $K$ $K'$ $-proti$

dx=dx'\,\operatorname {ch} \,\alpha +c\,dt'\,\operatorname {sh} \,\alpha =0,

{\frac {dx'}{c\,dt'}}=-{\frac {v}{c}}=-\operatorname {th} \,\alpha ~\Rightarrow ~\operatorname {th} \,\alpha ={\frac {v}{c}}.

Vezmeme-li v úvahu, že by se při změně ISO neměla měnit orientace prostoru, dostáváme to

\operatorname {ch} \,\alpha \geqslant 0.

Proto je rovnice pro rychlost jednoznačně řešitelná:

\operatorname {ch} \,\alpha ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},~~\ jméno operátora {sh} \,\alpha ={\frac {v}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}},

a Lorentzovy transformace mají podobu

\ x'=\gamma (x-vt),

\ t'=\gamma (t-{\frac {v}{c^{2))}x),

\gamma =\operatorname {ch} \,\alpha ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.

Parametr se nazývá Lorentzův faktor [1] . $\gamma$

Skupina symetrie Maxwellových rovnic

Vizuální odvození Lorentzových transformací

Přijímáme postuláty SRT , které se scvrkají na rozšířený princip relativity, který říká, že všechny fyzikální procesy probíhají přesně stejně ve všech inerciálních vztažných soustavách (princip stálosti rychlosti světla v SRT, který ji zpřesňuje , znamená rozšíření principu relativity na elektrodynamiku spolu s upřesňujícím tvrzením, že neexistuje žádné základní fyzikální médium (éter), které by vyčlenilo jeden z referenčních systémů v experimentu – tedy i když éter existuje, pak by jeho přítomnost neměla v praxi porušovat princip relativity). Kromě toho je užitečné výslovně zdůraznit, že princip stálosti rychlosti světla znamená přítomnost přesně konečné rychlosti (z experimentu rovné rychlosti světla ve vakuu), zakotvené v základních zákonech (rovnicích), stejná pro všechny inerciální vztažné soustavy a v každé vztažné soustavě je rychlost světla stejná pro jakýkoli směr jeho šíření a nezávisí na rychlosti zdroje. Princip stálosti rychlosti světla představuje druhý postulát SRT, který je použit níže.

Transformace pro příčné osy (položka 1)

Nechť jsou dvě nekonečné roviny kolmé na osu y . Vzdálenost mezi těmito rovinami by samozřejmě neměla záviset na rychlosti rovin podél sebe, což znamená, že nezávisí na referenční soustavě, která se vůči té druhé pohybuje podél osy . (V každém takovém systému je doba průchodu paprsku světla pohybujícího se podél osy z jedné roviny do druhé podle postulátů SRT stejná.) $X$ $y$

Můžete si také představit, jak těleso pohybující se podél osy vletí do pevného otvoru stejné velikosti. Pokud neexistuje žádná rovnost , pak v závislosti na referenčním systému, ve kterém se měření provádí, může být těleso větší nebo menší než otvor. Ve skutečnosti těleso projde nebo neprojde otvorem, bez ohledu na volbu vztažné soustavy. $X$ $y=y',$

Totéž samozřejmě platí pro osu . Pokud tedy pro jednoduchost vynecháme fyzikálně nezajímavý případ rotace o konstantní úhel druhého souřadnicového systému vzhledem k prvnímu, získáme: $z$

y=y',z=z'.

Dilatace času (položka 2)

Ukažme, že jakýkoli proces (například chod hodin) v referenční soustavě pohybující se vůči ní probíhá pomaleji než ve své vlastní vztažné soustavě (vzhledem k níž se nepohybuje).

Uvažujme „světelné hodiny“ sestávající z bodového zdroje a světelného přijímače na ose , vzdálených od sebe na vzdálenost a měřících časový interval pro průchod pulsu (záblesku) světla od zdroje k přijímači, rovný do . $y$ $L$ $L/c$

Pokud se vztažné soustavy pohybují vůči sobě navzájem podél osy , pak vzdálenost mezi dvěma body na ose , měřená v rámci, který je vzhledem k těmto bodům stacionární, je stejná jako naměřená v pohyblivé vztažné soustavě, protože žádný relativní pohyb systémů podél osy. To zajistí, že jednotky délky budou konzistentní napříč systémy. Jednotky času budou také konzistentní, protože jednotky délky jsou konzistentní a rychlost světla nezávisí na souřadnicovém systému. $X$ $L$ $y$ $y$

V každém referenčním rámci lze tedy nastavit stejné světelné hodiny.

Porovnejme časový interval průchodu pulsu v referenční soustavě, kde jsou světelné hodiny v klidu, a časový interval stejných hodin, měřený stejnými hodinami v pohyblivé referenční soustavě.

Nechte světelné hodiny v klidu v referenční soustavě (levý diagram na obrázku) a referenční soustava se pohybuje doprava podél osy rychlostí . Zdroj v okamžiku vysílání impulsu je v počátku A referenčního systému (červená tečka na obrázku) a přijímač je v bodě B (modrý) na ose . V referenčním rámci dorazí emitovaný světelný impuls k přijímači B na ose v čase . $K$ $K'$ $X$ $PROTI$ $K$ $y$ $K$ $y$ $\Delta t=L/c$

V referenčním rámci je světelný puls emitován z počátku v okamžiku, kdy se shoduje s počátkem systému (bod A ) a vstupuje do přijímače B po čase , který je měřen hodinami pohybujícími se se systémem . Souřadnice bodu B je posun vyznačený na pravém diagramu na obrázku tečkovanou čarou, rovna , bod A označuje místo, odkud byl puls emitován, dráha pulsu v je znázorněna zelenou čárou. $K'$ $K$ $\Delta t'=L'/c$ $K'$ $X'$ $-V\Delta t'$ $K'$

Protože rychlost světla v jakékoli inerciální vztažné soustavě je stejná (nezávisí na rychlosti zdroje a směru záření), lze zdroj A v okamžiku impulsu považovat v vztažné soustavě za stacionární . $K'$

Dráha, kterou urazí světelný impuls z A do B v referenční soustavě, se rovná přeponě pravoúhlého trojúhelníku. Podle Pythagorovy věty $L'$ $K'$

{\displaystyle L'^{2}}=L^{2}+(V\Delta t')^{2},

s přihlédnutím k tomu a , najdeme výraz pro ${\displaystyle L'}=c\Delta t'$ $L=c\Delta t$ $\Delta t'$

\Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2)))))).

Z toho vyplývá, že kdy $\Delta t'>\Delta t$ $V\neq 0.$

Časový interval jakéhokoli procesu probíhajícího v referenčním rámci , měřený hodinami v pohyblivém referenčním rámci , je tedy větší než časový interval měřený stejnými hodinami v jeho vlastním referenčním rámci . Faktor zvětšení rozpětí je konstantní při konstantní rychlosti. $\Delta t'$ $K$ $K'$ $\Delta t$ $K$

Protože se vztažná soustava pohybuje vzhledem k soustavě rychlostí , pak říkáme, že čas v pohybující se vztažné soustavě z pohledu soustavy plyne pomalu. Například laboratorní životnost částic s krátkou životností produkovaných vysokou rychlostí je delší než jejich životnost v jejich vlastním referenčním rámci. $K$ $K'$ $-V$ $K$ $K'$ $\Delta t'$ $\Delta t$

Jasněji se zpomalení času projevuje zpomalením (tempem) hodin pohybujících se společně se vztažnou soustavou . Jsou-li zdroj a přijímač opatřeny zrcadly, která odrážejí světelný impuls, lze interval libovolného trvání měřit počtem period mezi odrazy. Frekvence kmitání takového světelného kyvadla charakterizuje rychlost plynutí času. Perioda opakujícího se procesu souvisí s jeho frekvencí rovností . Větší perioda odpovídá nižší frekvenci a nerovnost se změní v nerovnost pro frekvenci , kde je frekvence světelného kyvadla hodin pohybujících se společně se systémem , měřená hodinami systému , je frekvence světelné kyvadlo ve své vlastní vztažné soustavě (vzhledem k níž jsou hodiny v klidu). Pohybující se hodiny tikají méně často než stacionární hodiny. $K$ $T$ $\nu ={\frac {1}{T))$ $\Delta t'>\Delta t$ $\nu '<\nu$ $\nu'$ $K$ $K'$ $\nu$ $K$

Protože jsou všechny inerciální vztažné soustavy stejné, pak měřením doby trvání průchodu impulsu v hodinách pohybujících se společně se vztažnou soustavou , hodinami vztažné soustavy , získáme inverzní nerovnost pro , protože v tomto případě je správný čas. Z hlediska referenčního systému běží pohyblivé hodiny systému pomaleji než vlastní hodiny systému . $K'$ $K$ $\Delta t'<\Delta t$ $V\neq 0$ $\Delta t'$ $K$ $K'$ $K$

Relativita simultánnosti (položka 3)

Kromě zpomalení času v pohyblivé vztažné soustavě (zpomalení všech hodin v pohyblivé laboratoři ve srovnání s hodinami ve stacionární laboratoři) se ukazuje, že počátek času v pohyblivé vztažné soustavě se s tím také neshoduje. ve stacionárním a posun tohoto počátku je v různých bodech různý - závisí na x . Hodiny ve své vlastní vztažné soustavě, které zachovávají stejný čas, ukazují různé doby předstihu/zpoždění v závislosti na jejich umístění při pohledu ze vztažné soustavy, ve které se jejich vlastní referenční soustava pohybuje.

Abychom pochopili samotnou podstatu problému, budeme se muset tak či onak zamyslet nad otázkou a co to znamená, že hodiny na různých od sebe vzdálených místech prostoru (například v různých městech) běží stejným způsobem (synchronně), jak je vidět na tomto, nebo jak (jakým postupem) můžete synchronizovat hodiny na různých místech, pokud původně nebyly synchronní.

Již nejjednodušší způsob synchronizace, který spočívá v tom, že všechny hodiny jsou synchronizovány na jednom místě a poté jsou přenášeny do různých bodů, umožňuje zajistit, že hodiny synchronizované v jednom referenčním rámci budou vypadat jako ukazující různé časy. z jiného referenčního rámce. Faktem je, že u hodin, které přeneseme do různých bodů na ose x , bude jejich rychlost vzhledem k jiné vztažné soustavě nutně odlišná, takže čas v různých bodech osy x se bude různě posouvat.

To by bylo možné pečlivě kvantifikovat, a tak získat požadovaný výsledek. Toho lze ale jednodušeji dosáhnout uvažováním o synchronizaci pomocí světelných signálů (a princip relativity říká, že každá správná metoda synchronizace by měla dávat stejný výsledek, který však lze na přání explicitně ověřit).

Zvažme tedy synchronizaci pomocí světelných signálů. Tento proces může spočívat například ve výměně světelných signálů mezi dvěma vzdálenými chronometry: pokud jsou signály vysílány ve stejnou dobu, uplyne stejný čas, než přijme signál pro každé hodiny. Ještě jednodušší je ale trochu jiná (této ekvivalentní) metoda: můžete vytvořit záblesk světla přesně uprostřed segmentu spojujícího chronometry a tvrdit, že světlo bude přicházet na oba chronometry současně.

Ve svém vlastním referenčním rámci (ve kterém jsou chronometry stacionární) je obraz symetrický. V jakékoli jiné vztažné soustavě se však oba chronometry pohybují (pro jistotu budeme předpokládat, že doprava), a pak světlu ze středu segmentu, který je v počátečním okamžiku spojuje, bude trvat kratší dobu, než dosáhne vlevo. chronometr (pohybující se ke světlu) než doprava (kterou musí puls světla dohnat).

Takže chronometry běžící synchronně ve své vlastní vztažné soustavě podle hodin jiné vztažné soustavy vypadají asynchronně. Současnost událostí je relativní: události, které jsou současné v jednom referenčním rámci, nejsou současné v jiném.

Jednoduché geometrické výpočty umožňují (po zobrazení pohybu světelných pulsů a chronometrů v rovině xt ) získat výraz pro posun počátku času:

-Vx/c^{2}

(pro jednoduchost jsme zde uvažovali pouze hodiny rozmístěné podél osy x , ale vše lze samozřejmě vypočítat pro obecný případ).

Sečtením výsledků bodů 2 a 3 tedy získáme pro časovou transformaci

t'={\frac {t-Vx/c^{2}}{{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}}

Tento efekt lze dokázat i kontradikcí: pokud by neexistoval, nebo kdyby posun v počátku časové reference nedosahoval , pak by existoval tzv. paradox dvojčete . $-Vx/c^{2}$

Lorentzova kontrakce délky (položka 4)

Po zvážení pohybu světelného pulsu podél osy x (a ne podél osy y , jak tomu bylo v odstavci 1) a požadavku (na základě postulátu stejné rychlosti světla ve všech inerciálních vztažných soustavách), aby vzdálenost mezi dvěma body by se mělo vždy rovnat době, po kterou světlo přechází z jednoho bodu do druhého, vynásobené (konstantní) rychlostí světla, můžete získat faktor snížení vzdálenosti podél osy x a vzhledem k tomu, že posun počátek se rovná , můžete získat transformaci pro souřadnici x : $-Vt$

x'={\frac {x-Vt}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2)))).

Nyní je ještě snazší pochopit, co je tímto způsobem vyjádřeno, když si všimneme, že v rovině by měl být graf pohybu [2] světelného pulsu rovný, nakloněný pod úhlem 45° (vzhledem k tomu, že rychlost světla je vždy c ), a tedy měřítko podél os a by mělo být stejné a výrazy v systému jednotek by měly být symetrické. $X'$ $x-ct$ $X$ $ct$ $c=1$

Lorentzovy transformace jsou tedy celkem jasně získány pro kolineární prostorové osy. Samozřejmě je možné i opačné pořadí uvažování: nejprve lze získat Lorentzovy transformace nějakým abstraktnějším způsobem, například jedním z výše uvedených, a poté získat všechny efekty analyzované v krocích tohoto vizuálního důkazu jako jednoduchý formální důsledek Lorentzových transformací.

Poznámky

↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teorie pole. — Vydání 6, opraveno a doplněno. - M .: Nauka , 1973. - S. 11-28. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). Archivováno 26. července 2021 na Wayback Machine
↑ Minkowski nazval takový plán pohybu světovou linií; V této části se však nebudeme pouštět do souvislosti Lorentzových transformací s konceptem Minkowského prostoru v celé jeho šíři, především proto, abychom nezkomplikovali a nepřerušili elementární odvozování, které je výhodnější uvažovat nezávisle na jakýchkoli dodatečných speciálních pojmech, omezujeme se pouze na elementární geometrické a algebraické pojmy pouze do té míry, do jaké jsou nezbytné. Ve skutečnosti mluvíme o transformaci souřadnic v Minkowského prostoru a v tomto odstavci jsou na základě postulátu stálosti rychlosti světla objasněny určité vlastnosti tohoto prostoru a také Lorentzovy transformace jako vhodné transformace. souřadnic v něm. Ještě jednou ale pro názornost zdůrazňujeme, že pro samotný závěr nepotřebujete vědět nic jiného, než co je výslovně řečeno v hlavním textu odstavce.

Odkazy

Kniha Relativistický svět