Rychlost

Rychlost ( angl.  rapidity , někdy také [1] jsou termíny hyperrychlost a úhel Lorentzovy rotace ) - v relativistické kinematice monotónně rostoucí funkce rychlosti , která inklinuje k nekonečnu, když se rychlost blíží rychlosti světla . Na rozdíl od rychlosti, pro kterou je zákon sčítání netriviální, je rychlost charakterizována jednoduchým zákonem sčítání („rychlost je aditivní“). Proto v problémech souvisejících s relativistickými pohyby (například kinematika částicových reakcí ve fyzice vysokých energií), je často vhodnější použít formalismus rychlostí spíše než běžné rychlosti.

Definice a vlastnosti

Rychlost je vyjádřena vzorcem:

kde

Plošná tečna (nebo hyperbolická arkus tangens ) je definována v rozsahu argumentu od -1 do +1; s funkcí

Rychlost má tedy rozměr rychlosti a když se rychlost změní z na, změní se z na . Někdy se také zavádí parametr rychlosti  - bezrozměrná veličina , které se někdy také říká rychlost (zejména při obvyklém použití soustavy jednotek ve fyzice vysokých energií, kde , což značně zjednodušuje vzorce; s touto definicí se rychlost stává bezrozměrnou a shoduje se s parametrem rychlosti).

V limitu nízkých rychlostí se rychlost přibližně rovná rychlosti:

v .

V ultrarelativistickém případě lze parametr rychlosti vyjádřit jako energii a podélnou hybnost (kde α  je úhel odletu) takto:

V tomto případě lze energii a podélnou hybnost částice vyjádřit jako hmotnost částice, příčnou hybnost a parametr rychlosti:


Lorentzův faktor

Často používanou veličinou spojenou s rychlostí je Lorentzův faktor nebo Lorentzův faktor pojmenovaný po G. A. Lorentzovi a definovaný jako

Lorentzův faktor se rovná hyperbolickému kosinusu parametru rychlosti:

Jak se rychlost zvyšuje z 0 na , Lorentzův faktor se zvyšuje z 1 na .

Hyperbolický sinus parametru rychlosti se rovná součinu Lorentzova faktoru a bezrozměrné rychlosti:

Aditivita rychlosti

Nechť se v nějaké inerciální vztažné soustavě dvě částice pohybují po jedné přímce, rychlost jedné z nich je rovna a rychlost druhé vzhledem k první je rovna (rychlosti mohou být kladné i záporné). Označme rychlost druhé částice v systému jako . Při nízkých (ve srovnání s rychlostí světla ) rychlostech je přibližně splněn Galileův zákon o sčítání rychlostí . V relativistickém případě však tento vzorec nefunguje a rychlost druhé částice se musí vypočítat pomocí Lorentzových transformací . Relativistický zákon sčítání rychlostí

se liší od galileovského jmenovatele, který se při nízkých rychlostech blíží jednotě. Uvažujme rychlosti odpovídající rychlostem . Ukazuje se, že rychlost druhé částice v referenční soustavě je rovna součtu rychlostí:

Pohodlí zápisu zákona o sčítání rychlostí z hlediska rychlostí vedl k tomu, že tato veličina je poměrně široce používána v relativistické kinematice, zejména ve fyzice urychlovačů. Je však třeba mít na paměti, že sčítání rychlostí se ve formě shoduje s galileovským vektorovým sčítáním rychlostí pouze pro jednorozměrný pohyb částic.

Zavedena je také celková rychlost , která je při Lorentzových transformacích aditivní a představuje vzdálenost v prostoru rychlostí. Rychlost je podélná složka celkové rychlosti.

Geometrický význam rychlosti

V Minkowského prostoru je rychlost úhel mezi tečnou ke světové linii částice a časovou osou v základní referenční soustavě. V Minkowského formalismu ( ) je tento úhel imaginární .

Ve formalismu hyperbolických komplexních čísel (známých také jako dvojitá čísla nebo parakomplexní čísla - varianta komplexních čísel, ve které je imaginární jednotka j definována vztahem j 2 = +1 ), je bod v Minkowského prostoru reprezentován parakomplexem. číslo z = ρ e j φ = ρ(ch φ + j sh φ) , kde φ a ρ  jsou reálné. V tomto případě je úhel φ rychlost částice, která se rovnoměrně pohybuje od počátku a prochází bodem z , a ρ  je interval od počátku k bodu z (tj. správný čas částice, který uplynul od průchod přes počátek k průchodu z ). Lorentzova transformace je určena vynásobením časoprostorových souřadnic vyjádřených parakomplexními čísly parakomplexním číslem s jednotkovým modulem λ(φ) = e j φ . Díky tomu jsou zachovány všechny intervaly a rovina parakomplexu Minkowského je otočena o úhel φ . Dvě po sobě jdoucí Lorentzovy transformace ukazují aditivitu rychlosti, podobnou aditivitě úhlu natočení:

λ(φ) λ(ψ) = e j φ e j ψ = e j (φ + ψ) = λ(φ + ψ).

Některé veličiny speciální teorie relativity vyjádřené rychlostí

Relativistická hybnost:

kde:

Celková energie:

Rychlost na čerpací stanici:

Bezrozměrná rychlost

Relativistický Dopplerův jev (pokud se vektor rychlosti shoduje se směrem ke zdroji):

kde  je parametr červeného posuvu .

Viz také

Literatura

Poznámky

  1. Kopylov G.I. Základy kinematiky rezonancí. — M .: Nauka, 1970.