Rychlost

Rychlost ( angl. rapidity , někdy také [1] jsou termíny hyperrychlost a úhel Lorentzovy rotace ) - v relativistické kinematice monotónně rostoucí funkce rychlosti , která inklinuje k nekonečnu, když se rychlost blíží rychlosti světla . Na rozdíl od rychlosti, pro kterou je zákon sčítání netriviální, je rychlost charakterizována jednoduchým zákonem sčítání („rychlost je aditivní“). Proto v problémech souvisejících s relativistickými pohyby (například kinematika částicových reakcí ve fyzice vysokých energií), je často vhodnější použít formalismus rychlostí spíše než běžné rychlosti.

Definice a vlastnosti

Rychlost je vyjádřena vzorcem:

\theta =c\,\operatorname {Arth} {\frac {v}{c}}={\frac {c}{2}}\ln {\frac {1+{\dfrac {v}{ c}}}{1-{\dfrac {v}{c}}}},

kde

$\theta$ - Rychlost,
$proti$ - normální rychlost
$C$ je rychlost světla,
$\operatorname {Arth} x$ - oblastní tangens .

Plošná tečna (nebo hyperbolická arkus tangens ) je definována v rozsahu argumentu od -1 do +1; s funkcí $\operatorname {Arth} x\equiv {\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}$ $x\to \pm 1$ $\operatorname {Arth} x\to \pm \infty .$

Rychlost má tedy rozměr rychlosti a když se rychlost změní z na, změní se z na . Někdy se také zavádí parametr rychlosti - bezrozměrná veličina , které se někdy také říká rychlost (zejména při obvyklém použití soustavy jednotek ve fyzice vysokých energií, kde , což značně zjednodušuje vzorce; s touto definicí se rychlost stává bezrozměrnou a shoduje se s parametrem rychlosti). $-c$ $+c$ $-\infty$ $+\infty$ $\varphi \equiv \theta /c\equiv \operatorname {Arth} {\frac {v}{c}}$ $c=1$

V limitu nízkých rychlostí se rychlost přibližně rovná rychlosti:

\theta =v\left(1+{\frac {1}{3}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}+...\right)\ cca v

v .

v\ll c

V ultrarelativistickém případě lze parametr rychlosti vyjádřit jako energii a podélnou hybnost (kde α je úhel odletu) takto: $E\gg m$ $p_{\|}=p\cos \alpha$

\varphi ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp_{\|}}{E-cp_{\|}}}.

V tomto případě lze energii a podélnou hybnost částice vyjádřit jako hmotnost částice, příčnou hybnost a parametr rychlosti: $p_{\perp }=p\sin \alpha$

E={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2}}}\název operátora {ch} \varphi ,

p_{\|}={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2))}\operatorname {sh} \varphi .

Lorentzův faktor

Často používanou veličinou spojenou s rychlostí je Lorentzův faktor nebo Lorentzův faktor pojmenovaný po G. A. Lorentzovi a definovaný jako

\gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2)))).

Lorentzův faktor se rovná hyperbolickému kosinusu parametru rychlosti:

\gamma =\název operátora {ch} \varphi .

Jak se rychlost zvyšuje z 0 na , Lorentzův faktor se zvyšuje z 1 na . $C$ $\gamma$ $+\infty$

Hyperbolický sinus parametru rychlosti se rovná součinu Lorentzova faktoru a bezrozměrné rychlosti:

\beta \gamma =\název operátora {sh} \varphi .

Aditivita rychlosti

Nechť se v nějaké inerciální vztažné soustavě dvě částice pohybují po jedné přímce, rychlost jedné z nich je rovna a rychlost druhé vzhledem k první je rovna (rychlosti mohou být kladné i záporné). Označme rychlost druhé částice v systému jako . Při nízkých (ve srovnání s rychlostí světla ) rychlostech je přibližně splněn Galileův zákon o sčítání rychlostí . V relativistickém případě však tento vzorec nefunguje a rychlost druhé částice se musí vypočítat pomocí Lorentzových transformací . Relativistický zákon sčítání rychlostí $K$ $v_{1}$ ${\displaystyle v'_{2))$ $K$ $v_{2}$ $C$ ${\displaystyle v_{2}=v_{1}+v'_{2))$

v_{2}={\frac {v_{1}+v'_{2}}{1+{\dfrac {v_{1}v'_{2}}{c^{2}}} }}

se liší od galileovského jmenovatele, který se při nízkých rychlostech blíží jednotě. Uvažujme rychlosti odpovídající rychlostem . Ukazuje se, že rychlost druhé částice v referenční soustavě je rovna součtu rychlostí: $\theta \equiv c\,\mathrm {Arth} {\frac {v}{c))$ $K$

\theta _{2}=\theta _{1}+\theta '_{2}.

Pohodlí zápisu zákona o sčítání rychlostí z hlediska rychlostí vedl k tomu, že tato veličina je poměrně široce používána v relativistické kinematice, zejména ve fyzice urychlovačů. Je však třeba mít na paměti, že sčítání rychlostí se ve formě shoduje s galileovským vektorovým sčítáním rychlostí pouze pro jednorozměrný pohyb částic.

Zavedena je také celková rychlost , která je při Lorentzových transformacích aditivní a představuje vzdálenost v prostoru rychlostí. Rychlost je podélná složka celkové rychlosti. $\vartheta =c\cdot {\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp}{E-cp)),$

Geometrický význam rychlosti

V Minkowského prostoru je rychlost úhel mezi tečnou ke světové linii částice a časovou osou v základní referenční soustavě. V Minkowského formalismu ( ) je tento úhel imaginární . $x_{0}=ict$

Ve formalismu hyperbolických komplexních čísel (známých také jako dvojitá čísla nebo parakomplexní čísla - varianta komplexních čísel, ve které je imaginární jednotka j definována vztahem j 2 = +1 ), je bod v Minkowského prostoru reprezentován parakomplexem. číslo z = ρ e j φ = ρ(ch φ + j sh φ) , kde φ a ρ jsou reálné. V tomto případě je úhel φ rychlost částice, která se rovnoměrně pohybuje od počátku a prochází bodem z , a ρ je interval od počátku k bodu z (tj. správný čas částice, který uplynul od průchod přes počátek k průchodu z ). Lorentzova transformace je určena vynásobením časoprostorových souřadnic vyjádřených parakomplexními čísly parakomplexním číslem s jednotkovým modulem λ(φ) = e j φ . Díky tomu jsou zachovány všechny intervaly a rovina parakomplexu Minkowského je otočena o úhel φ . Dvě po sobě jdoucí Lorentzovy transformace ukazují aditivitu rychlosti, podobnou aditivitě úhlu natočení:

λ(φ) λ(ψ) = e j φ e j ψ = e j (φ + ψ) = λ(φ + ψ).

Některé veličiny speciální teorie relativity vyjádřené rychlostí

Relativistická hybnost:

p=mc\cdot \operatorname {sh} {\frac {\theta }{c))=mc\cdot \operatorname {sh} \varphi ,

kde:

m je hmotnost,
c je rychlost světla,
φ = θ/ c je parametr rychlosti (bezrozměrná rychlost).

Celková energie:

E=mc^{2}\cdot \operatorname {ch} {\frac {\theta }{c))=mc^{2}\cdot \operatorname {ch} \varphi .

Rychlost na čerpací stanici:

v=c\cdot \operatorname {th} {\frac {\theta }{c))=c\cdot \operatorname {th} \varphi .

Bezrozměrná rychlost

\beta =\operatorname {th} \varphi .

Relativistický Dopplerův jev (pokud se vektor rychlosti shoduje se směrem ke zdroji):

1+z=e^{\theta /c}=e^{\varphi },

kde je parametr červeného posuvu . $z$

Viz také

Pseudorychlost
Lorenzova podpora

Literatura

Baburová O. V. Relativistická kinematika a geometrie Lobačevského // Soros Educational Journal. - 2004. - T. 8 . - S. 77-84 . (Ruština)
Grishin V. G. Rapidity // Fyzická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohmův efekt - Dlouhé čáry. - S. 233. - 707 s. — 100 000 výtisků.

Poznámky

↑ Kopylov G.I. Základy kinematiky rezonancí. — M .: Nauka, 1970.