Výbuch peněžního toku

Konvexnost je charakteristika peněžního toku nástroje (například dluhopisů), která je měřítkem citlivosti jeho durace na úrokové sazby .

Konvexita slouží jako úprava druhého řádu, která zpřesňuje vliv úrokových sazeb na současnou hodnotu peněžního toku dluhopisu.

Korekce je způsobena tím, že závislost současné hodnoty na úrokové sazbě je nelineární, takže linearizace této závislosti pomocí durace nemusí přesně odrážet dopad úrokových sazeb.

Účtování konvexity umožňuje objasnit vliv úrokových sazeb, včetně zohlednění asymetrie vlivu sazeb s rostoucími a klesajícími sazbami.

Obecně platí, že čím vyšší je konvexnost, tím je cena dluhopisu citlivější na pokles úrokových sazeb a tím méně citlivá je cena dluhopisu na zvýšení úrokových sazeb.

Odůvodnění a definice (výpočtový vzorec)

Použitím prvních dvou členů při rozšíření funkce závislosti současné hodnoty na úrokové míře v Taylorově řadě dostaneme: $PV(r)$

${\displaystyle \Delta PV(r)\approx PV'(r)\Delta r+0,5PV''(r)[\Delta r]^{2))$

Vydělením tohoto výrazu PV(r) dostaneme:

$\delta PV={\frac {\Delta PV}{PV}}\cca {\frac {PV'}{PV}}\Delta r+0,5{\frac {PV''}{PV}}[ \Delta r]^{2}$

První násobitel je trvání (upraveno if - obvyklá rychlost, nikoli logaritmická) s opačným znaménkem a druhý je požadovaná konvexita (upravená ve stejné situaci). $r$

Na základě definice je odvozen vzorec:

$MC={\frac {PV''(r)}{PV}}={\frac {\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{ i}+2}}}t_{i}(t_{i}+1)}{PV}}={\frac {\součet _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r) ^{t_{i}}}}t_{i}(t_{i}+1)}{PV(1+r)^{2}}}={\overline {T(T+1)}}/( 1+r)^{2}=({\overline {T^{2}}}+{\overline {T}})/(1+r)^{2}$

Výraz a se obvykle nazývá konvexnost . Skutečná hodnota je upravená konvexnost . $C={\overline {T^{2}}}+{\overline {T}}$ $MC$

V první aproximaci lze hodnotu použít i jako konvexitu , kde je doba trvání cash flow, což však snižuje přesnost výpočtů. $D(D+1)$ $D={\overline {T}}$

Vztah k trvání

Lze ukázat, že MC souvisí s upravenou dobou trvání následovně:

$MC=MD^{2}-{\frac {dMD}{dr))$

Poznámka

Nejpřesnější odhad změny ceny se získá tak, že se v Taylorově řadě nerozšíří samotná aktuální hodnota, ale její logaritmus, a to nejen úrokovou sazbou, ale i logaritmickou sazbou . V tomto případě bude mít rozšíření, které vezme v úvahu pouze první dva termíny série, podobu: $\ln(1+r)$

$\Delta \ln PV=-D\Delta \ln(1+r)+0,5({\overline {T^{2}}}-{\overline {T}}^{2})[\Delta \ln(1+r)]^{2}$

V tomto případě je druhé období obvykle poměrně malou úpravou a stává se významným pouze při dlouhých obdobích a velkých změnách sazeb.

Viz také

Odkazy

Pokročilé koncepty dluhopisů: Konvexnost , Investopedia