Doba trvání

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. ledna 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Duration ( anglicky Duration - " duration ") - vážená průměrná doba toku plateb a váhy jsou diskontované náklady na platby. Durace je nejdůležitější charakteristikou cash flow, která určuje citlivost jeho aktuální hodnoty na změny úrokové sazby . Délka toku závisí nejen na jeho struktuře, ale také na aktuální úrokové sazbě. Čím vyšší je sazba, tím menší je podíl nákladů na dlouhodobé platby ve srovnání s krátkými a kratší doba trvání a naopak, čím nižší je sazba, tím delší je trvání platebního toku.

Pojem trvání zavedl americký vědec F. Macaulay ( angl. FR Macaulay ).

Definice, výpočetní vzorec a interpretace

Duration - vážený průměr

Durace pro neopční dluhopisy se vypočítá pomocí vzorce váženého průměru takto:

D={\overline {T}}={\frac {\sum _{i}\ PV_{i}\cdot t_{i}}{\sum _{i}PV_{i}}}={ \frac {\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}\cdot t_{i}}{\součet _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}}

nebo

D={\overline {T}}={\frac {\sum _{i}{CF_{i}}\cdot {e}^{-{r_{c}}{t_{i}}} \cdot t_{i}}{\součet _{i}{CF_{i}}\cdot {e}^{-{r_{c}}{t_{i}}}}},

kde:

{\displaystyle CF_{i))

— th platba;

i

r

- diskontní sazba , návratnost alternativní investice za jednotku času (rok, čtvrtletí atd.);

r_{c}

- diskontní sazba pro průběžné načítání úroků;

PV_{i}

— diskontovaná hodnota i - té platby;

t_{i}

— okamžik i - té platby;

Jmenovatel tohoto vzorce je odhad současné hodnoty peněžních toků při dané diskontní sazbě. Pokud je peněžní tok generován finančním nástrojem, který má tržní (nebo jiné) ocenění aktuální ceny, pak diskontní sazba je v tomto případě vnitřní vnitřní výnos tohoto nástroje (u dluhopisů výnos do splatnosti ). Tato míra je určena z rovnosti $P$

P=PV(r)=\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}.

Předpokládá se, že trh efektivně určuje požadovanou diskontní sazbu a odráží požadovanou návratnost nástrojů s podobnou mírou rizika.

Délka je měřítkem úrokového rizika

Pokud vezmeme v úvahu diskontovanou hodnotu peněžního toku jako funkci úrokové sazby, pak můžeme ukázat, že doba trvání peněžního toku se rovná diskontované hodnotě peněžního toku při úrokové sazbě (nebo ekvivalentně při ). , brané s opačným znaménkem elasticity (logaritmická derivace) , tzn $1+r$

D=-{\frac {d\ln PV}{d\ln(1+r)))=-{\frac {dPV/PV}{d(1+r)/(1+r)} }=-{\frac {1+r}{PV}}{\frac {dPV}{dr}}.

Tudíž,

dPV/PV=-Dd\ln(1+r)=-Ddr/(1+r).

S malými změnami sazeb lze rozdíly jednoduše nahradit změnami:

\delta PV=\Delta PV/PV\approx =-D\delta r=-D\Delta r/(1+r).

Durace tak umožňuje zjednodušeně posoudit míru závislosti tržní ceny nástroje na změnách úrokové sazby. Čím delší je durace nástroje, tím větší je změna jeho tržní hodnoty při změně úrokových sazeb, tedy vyšší úrokové riziko .

Upravená doba trvání

Pokud ve výše uvedené přibližné rovnosti použijeme tzv. modifikované trvání rovné

MD=-{\frac {d\ln PV}{dr}}=D/(1+r),

hodnocení citlivosti úrokových sazeb je zjednodušeno:

\delta PV\approx -MD\cdot \Delta r.

Poznámka

Při odhadování možné změny reálné hodnoty peněžního toku pomocí (upravené) doby trvání je třeba vzít v úvahu přibližnou povahu tohoto odhadu. Navíc kromě kvantitativních nepřesností existuje také kvalitativní rozdíl mezi skutečnou závislostí a linearizovanou pomocí durace nebo modifikované durace: stejné pozitivní a negativní změny úrokové sazby ovlivňují změnu ceny ve stejné absolutní hodnotě. Ve skutečnosti tomu tak není — cena se mění asymetricky s rostoucími a klesajícími sazbami, totiž snížení sazby vede k většímu nárůstu ceny než snížení ceny při zvýšení sazby o stejnou absolutní hodnotu. Pro upřesnění (kvantitativní i kvalitativní) se spolu s durací používá také tzv. konvexita peněžních toků , což je korekce druhého řádu. Toto přizpůsobení změně ceny závisí na druhé mocnině změny sazby (to znamená, že nezávisí na znaménku), takže když sazby rostou, snižuje to stupeň poklesu ceny předpokládaný trváním, a když kurz klesá, zvyšuje odhadovaný růst podle trvání. Zohledňuje se tedy i asymetrie a kvantitativně se odhad upřesňuje.

Jiná verze přesnějšího odhadu je založena na skutečnosti, že kvalitativní nepřesnost je spojena nejen (a ne tolik) s linearizací, ale také s nahrazením změn v logaritmech běžnými tempy růstu. Pokud použijeme samotné logaritmy, pak budou odhady kvalitativně adekvátnější skutečné závislosti (i když bude existovat také kvantitativní nepřesnost):

\Delta \ln PV=-D\Delta \ln(1+r).

Z tohoto poměru je odvozena následující pravdivější přibližná závislost změny aktuální hodnoty:

\delta PV\cca (1+\Delta r/(1+r))^{-D}-1.

V této závislosti se přirozeně počítá s asymetrií (tento způsob výpočtu je přesnější, ale poněkud méně vhodný z důvodu nelinearity závislosti).

Další výklad

S ohledem na výše uvedenou poslední přibližnou rovnost lze k délce trvání dát ještě jeden výklad. Zvažte, jak se přibližně změní současné náklady na tok, pokud úroková sazba klesne na nulu ( ): $\Delta r=0-r=-r$

\delta PV\cca (1+(-r)/(1+r))^{-D}-1=(1+r)^{D}-1.

tudíž

P(0)\approx P(r)(1+r)^{D}.

Je zřejmé, že - celková výše peněžních toků. Dobu trvání (při daném kurzu) lze tedy také interpretovat jako přibližné období, po které musíte investovat částku v kurzu , abyste získali částku rovnající se celkovému peněžnímu toku na konci tohoto období. Tento výklad je přesnější, čím nižší je sazba. $P(0)=\součet _{i}CF_{i}$ $P(r)$ $r$

Doba trvání některých toků plateb

Doba trvání anuity

Lze ukázat, že doba trvání anuity omezená dobou T se rovná následující hodnotě:

D={\frac {1+r}{r}}-{\frac {T}{(1+r)^{T}-1}}.

Upravenou dobu trvání lze získat vydělením . $1+r$

Zde vzorec implikuje efektivní sazbu pro anuitní interval a dobu a trvání také v anuitních intervalech. Pokud použijeme roční efektivní sazbu, pak pro dobu trvání v letech bude vzorec:

D=t\times {\frac {(1+r)^{t}}{(1+r)^{t}-1}}-{\frac {T}{(1+r)^ {T}-1}},

kde je doba trvání anuitního intervalu v letech (část roku), je anuitní období v letech, je roční efektivní sazba. Pro t = 1 získáme předchozí vzorec. $t$ $T$ $r$

Pro věčnou anuitu lze vzorec trvání definovat jako limit výše uvedeného vzorce at (druhý člen v tomto případě bude mít tendenci k nule). Vzorec můžete také odvodit přímo. Současná hodnota věčné renty je . Použijme vzorec přes derivaci. Derivace této funkce vzhledem k je samozřejmě rovna . Vynásobením této hodnoty a vydělením nakonec získáme vzorec trvání: $T\rightarrow\infty$ $PV=A/r$ $r$ $-A/r^{2}$ $(1+r)$ $PV$

D=(1+r)/r.

Upravená doba trvání je v tomto případě zjevně rovna . $MD=1/r$

Durace dluhopisu

U dluhopisu s nulovým kupónem s datem splatnosti je současná hodnota $N$ $t$

PV=N/(1+r)^{t}.

Také se shoduje s diskontovanou hodnotou jedné platby, takže její trvání se jednoduše rovná době platnosti dluhopisu:

D=t.

V případě kuponového dluhopisu se peněžní tok skládá z kuponových výplat a splacení par. V tomto případě může být splacení nominální hodnoty ve splátkách (amortizace) a kuponová sazba se může obecně v průběhu oběhu dluhopisu měnit. Pokud je hodnota kuponů označena a splacení nominální hodnoty je , pak se doba trvání dluhopisu bude rovnat $C_{i}$ $N_{j}$

D={\frac {\sum _{i=1}^{m}{\frac {C_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}t_{i}+ \sum _{j=1}^{k}{\frac {N_{j}}{(1+r)^{t_{j}}}}t_{j}}{P}},

kde je cena dluhopisu (předpokládá se, že jako hodnota je použit výnos do splatnosti dluhopisu, proto ). $P$ $r$ $PV(r)=P$

Vzorec bude mít úplně stejnou podobu, pokud místo hodnoty kuponů použijeme odpovídající kuponové sazby, místo výše splátek nominální hodnoty - podíly splátek nominální hodnoty a místo ceny nominální hodnoty. dluhopis v peněžním vyjádření , použijte standardní cenu jako procento (akcie) z nominální hodnoty. $C_{i}$ $N_{j}$ $P$

Za jinak stejných podmínek platí, že čím delší je splatnost a (nebo) čím nižší je kupónová sazba a (nebo) čím nižší je výnos do splatnosti, tím delší je durace dluhopisu. Za jinak stejných podmínek platí, že čím častěji je kupon vyplácen, tím kratší je jeho trvání.

V nejjednodušším případě konstantní sazby kuponu a jednorázového odkupu nominální hodnoty na konci období můžete k výpočtu doby trvání použít funkci DURATION zabudovanou do aplikace Microsoft Office Excel 2007 .

Příklad

Nechť je dán kuponový dluhopis v nominální hodnotě 1000 rublů se zbytkovou splatností 2 roky a 3 měsíce. Splacení dluhopisu je jednorázová částka na konci období. Výnos kupónu - 12 % ročně. Frekvence výplaty kupónu je 4krát ročně (to znamená, že velikost kupónu je 30 rublů). Předpokládá se, že první kupon se očekává také za 3 měsíce. Aktuální tržní cena dluhopisu je 1 035,85 rublů.

Peněžní tok z dluhopisu (čtvrtletně) bude (30,30,30,30,30,30,30,1030). Za prvé, pomocí funkce IRR zabudované v Excelu můžete určit výnos do splatnosti – přibližně 2,5 % za čtvrtletí. Na roční bázi je to cca 10,38 % (včetně složeného úročení), ale v tomto případě je to jedno. Doba trvání bude

{\begin{aligned}D={\frac {1}{1035.85}}(&1\cdot 30/1{,}025^{1}+2\cdot 30/1{,}025^{2 }+3\cdot 30/1{,}025^{3}+4\cdot 30/1{,}025^{4}+\\&+5\cdot 30/1{,}025^{5} +6\cdot 30/1{,}025^{6}+7\cdot 30/1{,}025^{7}+8\cdot 1030/1{,}025^{8})\cca \end {zarovnaný}}

\quad \approx (29{,}27+57{,}11+83{,}57+108{,}71+132{,}58+155{,}2+176{,}67+ 6762{,}95)/1035{,}85\cca

\quad \approx 7506{,}1/1035{,}85\cca 7{,}246,

to znamená přibližně 7,25 čtvrtletí nebo 1,81 roku (přibližně 1 rok a 10 měsíců) nebo 661 dní.

Pomocí durace v letech můžete odhadnout, o jaké procento se změní cena dluhopisu při změně výnosu, například o 1 % ročně. K tomu odhadujeme upravenou dobu trvání: 1,81/1,035 = 1,74. Procento změny ceny tedy bude 1,74 %. To zhruba odpovídá ceně 1 053,87 rublů při nižších sazbách a 1 017,82 rublů. když sazby rostou. Přesnější odhad citlivosti hodnoty dluhopisu lze získat dodatečným použitím konvexity peněžních toků .

Viz také

Odkazy

Příklad výpočtu doby trvání v investiční analýze , definice, charakteristika, vzorec, srovnávací podmínky, akceptační kritérium, nevýhody.