Geometrický Brownův pohyb

Geometrický Brownův pohyb (GBM) (vzácněji exponenciální Brownův pohyb, ekonomický Brownův pohyb) je spojitý náhodný proces, jehož logaritmus je Brownův pohyb ( Wienerův proces ). GBM se používá k modelování oceňování na finančních trzích a používá se především v modelech oceňování opcí , protože GBM může získat jakoukoli kladnou hodnotu. GBM je rozumnou aproximací skutečné dynamice cen akcií, nezohledňuje však vzácné události (odlehlé hodnoty).

Náhodný proces S t je GBM, pokud splňuje následující stochastickou diferenciální rovnici :

{\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t))

kde je Brownův pohyb a ("parametr drift") a ("parametr volatility") jsou konstantní. $W_{t}$ $\mu$ $\sigma$

Pro libovolnou počáteční hodnotu S 0 má tato SDE řešení

S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right ),

co je lognormálně rozdělená náhodná veličina se střední hodnotou a rozptylem ${\displaystyle \mathbb {E} (S_{t})=e^{\mu t}S_{0))$ $\operatorname {Var} (S_{t})=e^{2\mu t}S_{0}^{2}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right) .$

Správnost řešení lze zjistit pomocí Itôova lemmatu . Náhodná proměnná log( S t / S 0 ) je normálně rozdělena se střední hodnotou a rozptylem , což znamená, že přírůstky GBM jsou normální (s přihlédnutím k ceně), což dává důvod mluvit o „geometrickém“ procesu. $(\mu -\sigma ^{2}/2)t$ $\sigma ^{2}t$