Zarembova hypotéza

Zarembova domněnka je tvrzením teorie čísel o reprezentaci ireducibilních zlomků v podmínkách spojitých zlomků : existuje absolutní konstanta s následující vlastností: pro jakoukoli existuje taková, že pro expanzi [1] : $\lambda$ $q\geqslant 2$ $a<q$ $(a,q)=1$

{\displaystyle {\frac {a}{q}}=[a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}]={\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac { 1}{a_{2}+{\frac {1}{\tečky +{\frac {1}{a_{s))))))))))))

platí následující nerovnosti:

a_{i}\leqslant \Lambda ,\ i=1,\tečky ,s

Nejsilnější formulace zahrnuje hodnotu pro libovolný a hodnotu pro dostatečně velký . [2] . $\Lambda =5$ $q$ $\Lambda =3$ $q$

Hypotézu předložil Stanisław Zaremba Jr. ( Pol. Stanisław Krystyn Zaremba ) v roce 1972. Hlavní průlom v jejím výzkumu pochází z práce Burgaina a Kontoroviče z roku 2014 ( německy Alex Kontorovich ), ve které je téměř u všech čísel prokázána slabá verze domněnky. Následně se jejich výsledky mnohonásobně zlepšily.

Motivace

Historicky dohady vznikly v souvislosti s hledáním optimální metody numerické integrace v duchu metody Monte Carlo . Prostřednictvím omezení na neúplné kvocienty Zaremba odhadl charakteristiku mřížky , která popisuje minimální vzdálenost jejích bodů od středu souřadnic [3] . O tomto dohadu v souvislosti s numerickou integrací přemýšlela i řada sovětských matematiků, v tištěné podobě však nikde uvedena nebyla [4] .

Samotný problém je spojen s diofanskými aproximacemi . Pro aproximaci libovolného reálného čísla zlomkem je kanonickou mírou kvality číslo , pro které (čím větší , tím lepší aproximace). Je známo, že racionality se nejlépe aproximují svými konvergenty , pro které je znám odhad . Protože , pak za přítomnosti nepodmíněného odhadu nemůže být předchozí odhad lepší než . Je také snadné získat podobný (až konstantní) odhad zdola, takže Zarembova domněnka je přesně tvrzením o existenci neredukovatelných špatně aproximovatelných zlomků s libovolným jmenovatelem. [5] $\alpha$ ${\frac {p}{q))$ $C$ ${\displaystyle {\Bigg \vert }{\alpha -{\frac {p}{q))}{\Bigg \vert }={\frac {1}{cq^{2))))$ $C$ $\alpha$ ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ ${\Bigg \vert }{\alpha -{\frac {p_{n}}{q_{n}}}}{\Bigg \vert }\leqslant {\frac {1}{q_{n}q_ {n+1}}}$ ${\displaystyle q_{n+1}<(a_{n}+1)q_{n))$ $a_{n}\leqslant \Lambda$ ${\Bigg \vert }{\alpha -{\frac {p_{n}}{q_{n}}}}{\Bigg \vert }\leqslant {\frac {1}{(\Lambda +1 )q_{n}^{2}}}$

Zobecnění

"Abecedy" neúplných kvocientů

Často se uvažuje o obecnější otázce [6] : jak závisí vlastnosti (množiny jmenovatelů , pro které existují ireducibilní zlomky s podmínkou pro všechny ) na abecedě (konečná množina přirozených čísel)? Konkrétně, pro které sada obsahuje téměř všechny nebo všechny dostatečně velké ? ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $q$ ${\frac {a}{q}}=[a_{1},\tečky ,a_{s}]$ $a_{i}\in {\mathcal {A}}$ $i=1,\tečky ,s$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $q$

Hensleyho domněnka

Hensley v roce 1996 zvážil spojení omezení neúplných kvocientů s Hausdorffovou dimenzí odpovídajících zlomků a předložil hypotézu, která byla později vyvrácena [7] :

Množina obsahuje všechna dostatečně velká čísla právě tehdy, když ( je množina zlomků z intervalu , jehož všechny parciální podíly leží v abecedě , je Hausdorffova dimenze. ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})>{\frac {1}{2}}$ ${\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}}$ $(0;1)$ ${\mathcal {A}}$ $\dim _{H}$

Protipříklad [8] je konstruován pro abecedu : je známo, že , ale zároveň . ${\mathcal {A}}=\{2,4,6,8,10\}$ $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})\cca 0{,}517$ $4k+3\not \in {\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$

Bourgain a Kontorovich navrhli slabší formu této domněnky, zahrnující jmenovatele s dalšími omezeními. Zároveň prokázali jeho hustotní verzi pro silnější omezení než [9] . $d$ ${\frac {1}{2))$

Výpočet Hausdorffovy dimenze

Otázka výpočtu Hausdorffovy dimenze pro abecedy tvaru byla zvažována v teorii diofantických aproximací dlouho před Zarembovou domněnkou a zjevně pochází z práce z roku 1928 [10] . V článku, kde byla domněnka navržena, Hensley popsal obecný algoritmus s polynomiální dobou běhu na základě následujícího výsledku [11] : pro danou abecedu lze s přesností vypočítat hodnotu pomocí několika operací. ${\mathcal {A}}=\{1,\tečky ,N\}$ ${\mathcal {A}}$ $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})$ $2^{{-N}}$ $O(N^{7})$

Existuje domněnka, že množina hodnot takových rozměrů je všude hustá. Z počítačových výpočtů je známo, že vzdálenost mezi sousedními prvky není alespoň menší [12] . $\{\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}}):|{\mathcal {A}}|\leqslant \infty \}$ ${\frac {1}{50}}$

Pro abecedy po sobě jdoucích čísel získal Hensley odhad:

\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\{1,\dots ,N\}})=1-{\frac {6}{\pi ^{2}N}} -{\frac {72\log N}{\pi ^{4}N^{2}}}+O\left({\frac {1}{N^{2}}}\right)

Zejména bylo zjištěno, že:

\lim \limits _{N\to \infty }{\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\{1,\dots ,N\}})}=1

Tato skutečnost byla v podstatě využita při důkazu centrálního výsledku Bourgaina a Kontoroviče [13] .

Propagační akce

Slabé přesné výsledky

Niederreiter dokázal domněnku pro mocniny dvojky a mocniny tří jako a pro mocniny pět jako [14] . $\Lambda =3$ $\Lambda =4$

Rukavishnikova, vyvíjející jednoduchý výsledek Korobova, ukázala existenci pro libovolný zlomek s podmínkou , kde je Eulerova funkce [15] . $q$ ${\frac {a}{q}}=[a_{1},\tečky ,a_{s}]$ $a_{i}<\varphi (q)\log q,\ i=1,\tečky ,s$ $\varphi (q)$

Výsledky hustoty

Nejsilnější a nejobecnější je výsledek Bourgaina a Kontoroviče:

|{\mathcal {D}}_{\{1,\tečky ,50\}}\cap [1;N]|=Ne(N)

to znamená, že Zarembova domněnka s parametrem platí téměř pro všechna čísla. Jejich výsledek se týkal nejen této abecedy, ale i jakékoli jiné s podmínkou [16] . Následně byl jejich výsledek vylepšen pro a zbytek člen , kde je konstanta [17] . $\Lambda =50$ $\dim({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})>0{,}98397$ $\Lambda =5$ ${\displaystyle N^{-c))$ $c>0$

Pro slabší omezení stejná metoda umožňuje ukázat, že množina má kladnou hustotu. Zejména z dalších vylepšení je známo, že to platí, když , včetně pro [18] . ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $\dim({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})>0,25({\sqrt {17}}-1)\cca 0,7807...$ ${\mathcal {A}}=\{1,2,3,4\}$

Ohraničuje Hausdorffův rozměr

Hensley ukázal, že pokud , pak . Později Bourgain a Kontorovich tuto nerovnost vylepšili na místo . [19] Později byly získány silnější odhady pro jednotlivá rozmezí hodnot . Zejména je známo, že a že v , má exponent tendenci k jednotě [20] . $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})=\delta$ $|{\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}\cap [1;N]|\gg N^{\delta }$ $\delta +{\frac {(2\delta -1)(1-\delta )}{5-\delta }}-o(1)$ $\delta$ $\delta$ $|{\mathcal {D}}_{\{1,2,3,5\}}\cap [1;N]|\gg N^{0,99}$ $\delta \to {\frac {{\sqrt {40}}-4}{3}}\cca 0,7748...$

Celkový počet zlomků v té či oné abecedě se jmenovateli nepřesahujícími až do konstanty je [21] . $N$ ${\displaystyle N^{2\delta ))$

Modulární verze

Hensley zjistil, že jmenovatelé zlomků, které splňují Zarembovu hypotézu, jsou rovnoměrně rozloženy (s přihlédnutím k násobnosti) modulo . [22] To zejména implikuje existenci takových zlomků se jmenovateli rovnými nule (a jakékoli jiné hodnotě) modulo ten či onen.

Důsledek výsledku Hensleyho (1994): pro any existuje funkce taková, že pro any : existuje ireducibilní zlomek , jehož neúplné kvocienty jsou ohraničeny . $\Lambda \geq 2$ $q=q_{\Lambda }(n)\equiv 0{\pmod {n))$ $n$ ${\frac {a}{q))$ $\lambda$

V tomto případě by se toto tvrzení rovnalo Zarembově domněnce. Později byly pro prvočísla získány odhady rychlosti růstu v extrémních případech: $q_{\Lambda }(n)=n$ $n$ $q_{\Lambda }(n)$

pro nějakou konstantu platí, že [23] ; $C$ $q_{2}(n)=O(n^{c})$

pro všechny existuje dostatečně velká taková, že [24] . $\varepsilon >0$ $\lambda$ $q_{\Lambda }(n)=O(n^{1+\varepsilon })$

Metody výzkumu

Moderní metody, pocházející z článku Bourgaina a Kontoroviče, zvažují Zarembův dohad v jazyce matic 2x2 a studují odpovídající vlastnosti maticových grup . Vzhledem k poměru konvergentů lze expanzi zapsat jako součin matic: ${\frac {a}{q}}=[a_{1},\tečky ,a_{s}]$

{\begin{pmatrix}*&a\\*&q\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&a_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\ 1&a_{2}\end{pmatrix}}\tečky {\begin{pmatrix}0&1\\1&a_{s}\end{pmatrix}}\

kde hvězdičky v první matici uzavírají čísla, jejichž hodnota není podstatná.

Na základě toho studujeme skupinu generovanou maticemi ve tvaru:

{\begin{pmatrix}0&1\\1&a\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}0&1\\1&a'\end{pmatrix)),\ a,a'\v {\mathcal {A} }

pro přítomnost matic v něm s jednou nebo druhou hodnotou v pravé dolní poloze. K analýze rozložení takových hodnot se používají goniometrické součty , konkrétně speciální analogy Fourierových koeficientů [25] .

Použití takových nástrojů, stejně jako samotná práce s množinami součinů (kde prvky množiny jsou matice), dává problému aritmeticko-kombinatorický charakter.

Poznámky

↑ Podle obecné teorie spojitých zlomků je takové rozšíření jedinečné.
↑ Borosh, Niederreiter, 1983 , s. 69
↑ Niederreiter, 1978 , s. 988-989, viz také popis pojmu „dobré mřížové body“ na str. 988-989. 986
↑ Kan, Frolenkov, 2014 , str. 88
↑ Korobov, 1963 , s. 25, lemma 5
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , sekce 1
↑ Hensley, 1996 , str. 16, hypotéza 3
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , viz Dohad 1.3 a komentář po něm
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014, domněnka 1.7, věta 1.8
↑ Viz druhý odstavec v Good, 1941
↑ Hensley, 1996 , str. 44, věta 3
↑ Jenkinson, 2004 , viz část 4 pro přehled výsledků výpočtů a část 5 pro výsledek o rozložení hustoty hodnot $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})$
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , poznámka 1.11
↑ Niederreiter, 1986 .
↑ Moshchevitin, 2012 , str. 23, oddíl 5.1
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , poznámka 1.20
↑ Magee, Oh, Winter, 2019 , str. 92.
↑ Kahn, 2017 .
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , poznámka 1.15, věta 1.23
↑ Kahn, 2020 , přehled výsledků ostatních hodnot viz tamtéž $\delta$
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , poznámka 1.13
↑ Hensley, 1994 , str. 54, důsledek 3.
↑ Moshchevitin, Shkredov, 2019 , věta 2
↑ Shkredov, 2020 , věta 5
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , str. 142-144

Literatura

I. J. Dobrý. Zlomková dimenzionální teorie spojitých zlomků // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1941. - Sv. 37 , iss. 3 . — S. 199–228 .
N. M. Korobov. Číselné teoretické metody v přibližné analýze. - M. : Fizmatgiz, 1963. - 224 s.
H. Niederreiter. Metody Quasi-Monte Carlo a pseudonáhodná čísla (anglicky) // Bull. amer. Matematika. Soc.. - 1978. - Sv. 84 , iss. 6 . — S. 957–1041 .
I. Borosh & H. Niederreiter. Optimální multiplikátory pro generování pseudonáhodných čísel lineární kongruenciální metodou // BIT Numerical Mathematics. - 1983. - Sv. 23 . — S. 65–74 .
H. Niederreiter. Dyadické zlomky s malými parciálními kvocienty // Monatshefte für Mathematik. - 1986. - Sv. 101 . — S. 309–315 .
D. Hensley. Distribuční mod zlomků s omezenými parciálními kvocienty $n$ // Pacific Journal of Mathematics. - 1994. - Sv. 166 , iss. 1 . — S. 43–54 .
D. Hensley. Polynomiální časový algoritmus pro Hausdorffovu dimenzi Cantorových množin pokračujících zlomků // Journal of Number Theory. - 1996. - Sv. 58 , iss. 1 . — S. 9–45 .
O Jenkinsone. O hustotě Hausdorffových dimenzí množin pokračujících zlomků vázaného typu: Texanské dohady // Stochastics and Dynamics. - 2004. - Sv. 4 , iss. 1 . — S. 63–76 .
NG Moshchevitin. O některých otevřených problémech v diophantinské aproximaci . - 2012. - arXiv : 1202.4539v5 .
J. Bourgain, A. Kontorovič. O Zarembově domněnce // Annals of Mathematics. - 2014. - Sv. 180 . - str. 137-196 . - arXiv : 1107.3776v2 .
I. D. Kan, D. A. Frolenkov. Posílení Burgain-Kontorovičova teorému // Izvestiya RAN. - 2014. - T. 78 , č.p. 2 . — s. 87–144 . (Ruština)
I. D. Kan. Posílení Bourgain-Kontorovičovy věty. V // Sborník Matematického ústavu Steklov. - 2017. - T. 296 . — s. 133–139 . (Ruština)
M. Magee, H. Oh, D. Winter. Jednotné počítání kongruence pro Schottkyho pologrupy v $SL_{2}({\mathbb {Z} })$ // Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) . - 2019. - Sv. 2019 , iss. 753 . — S. 89–135 . - arXiv : 1601.03705 .
NG Moshchevitin, ID Shkredov. Na modulární formě Zarembova dohadu . - 2019. - arXiv : 1911.07487 .
I. D. Kan. Posílení jedné Bourgain-Kontorovičovy věty // Far Eastern Mathematical Journal. - 2020. - Svazek 20 , č. 2 . — S. 164–190 . (Ruština)
ID Shkredov. Růst ve skupinách Chevalley relativně k parabolickým podskupinám a některým aplikacím . - 2020. - arXiv : 2003.12785 .