Zarembova domněnka je tvrzením teorie čísel o reprezentaci ireducibilních zlomků v podmínkách spojitých zlomků : existuje absolutní konstanta s následující vlastností: pro jakoukoli existuje taková, že pro expanzi [1] :
platí následující nerovnosti:
.Nejsilnější formulace zahrnuje hodnotu pro libovolný a hodnotu pro dostatečně velký . [2] .
Hypotézu předložil Stanisław Zaremba Jr. ( Pol. Stanisław Krystyn Zaremba ) v roce 1972. Hlavní průlom v jejím výzkumu pochází z práce Burgaina a Kontoroviče z roku 2014 ( německy Alex Kontorovich ), ve které je téměř u všech čísel prokázána slabá verze domněnky. Následně se jejich výsledky mnohonásobně zlepšily.
Historicky dohady vznikly v souvislosti s hledáním optimální metody numerické integrace v duchu metody Monte Carlo . Prostřednictvím omezení na neúplné kvocienty Zaremba odhadl charakteristiku mřížky , která popisuje minimální vzdálenost jejích bodů od středu souřadnic [3] . O tomto dohadu v souvislosti s numerickou integrací přemýšlela i řada sovětských matematiků, v tištěné podobě však nikde uvedena nebyla [4] .
Samotný problém je spojen s diofanskými aproximacemi . Pro aproximaci libovolného reálného čísla zlomkem je kanonickou mírou kvality číslo , pro které (čím větší , tím lepší aproximace). Je známo, že racionality se nejlépe aproximují svými konvergenty , pro které je znám odhad . Protože , pak za přítomnosti nepodmíněného odhadu nemůže být předchozí odhad lepší než . Je také snadné získat podobný (až konstantní) odhad zdola, takže Zarembova domněnka je přesně tvrzením o existenci neredukovatelných špatně aproximovatelných zlomků s libovolným jmenovatelem. [5]
Často se uvažuje o obecnější otázce [6] : jak závisí vlastnosti (množiny jmenovatelů , pro které existují ireducibilní zlomky s podmínkou pro všechny ) na abecedě (konečná množina přirozených čísel)? Konkrétně, pro které sada obsahuje téměř všechny nebo všechny dostatečně velké ?
Hensley v roce 1996 zvážil spojení omezení neúplných kvocientů s Hausdorffovou dimenzí odpovídajících zlomků a předložil hypotézu, která byla později vyvrácena [7] :
Množina obsahuje všechna dostatečně velká čísla právě tehdy, když ( je množina zlomků z intervalu , jehož všechny parciální podíly leží v abecedě , je Hausdorffova dimenze.
Protipříklad [8] je konstruován pro abecedu : je známo, že , ale zároveň .
Bourgain a Kontorovich navrhli slabší formu této domněnky, zahrnující jmenovatele s dalšími omezeními. Zároveň prokázali jeho hustotní verzi pro silnější omezení než [9] .
Otázka výpočtu Hausdorffovy dimenze pro abecedy tvaru byla zvažována v teorii diofantických aproximací dlouho před Zarembovou domněnkou a zjevně pochází z práce z roku 1928 [10] . V článku, kde byla domněnka navržena, Hensley popsal obecný algoritmus s polynomiální dobou běhu na základě následujícího výsledku [11] : pro danou abecedu lze s přesností vypočítat hodnotu pomocí několika operací.
Existuje domněnka, že množina hodnot takových rozměrů je všude hustá. Z počítačových výpočtů je známo, že vzdálenost mezi sousedními prvky není alespoň menší [12] .
Pro abecedy po sobě jdoucích čísel získal Hensley odhad:
.Zejména bylo zjištěno, že:
.Tato skutečnost byla v podstatě využita při důkazu centrálního výsledku Bourgaina a Kontoroviče [13] .
Niederreiter dokázal domněnku pro mocniny dvojky a mocniny tří jako a pro mocniny pět jako [14] .
Rukavishnikova, vyvíjející jednoduchý výsledek Korobova, ukázala existenci pro libovolný zlomek s podmínkou , kde je Eulerova funkce [15] .
Nejsilnější a nejobecnější je výsledek Bourgaina a Kontoroviče:
,to znamená, že Zarembova domněnka s parametrem platí téměř pro všechna čísla. Jejich výsledek se týkal nejen této abecedy, ale i jakékoli jiné s podmínkou [16] . Následně byl jejich výsledek vylepšen pro a zbytek člen , kde je konstanta [17] .
Pro slabší omezení stejná metoda umožňuje ukázat, že množina má kladnou hustotu. Zejména z dalších vylepšení je známo, že to platí, když , včetně pro [18] .
Hensley ukázal, že pokud , pak . Později Bourgain a Kontorovich tuto nerovnost vylepšili na místo . [19] Později byly získány silnější odhady pro jednotlivá rozmezí hodnot . Zejména je známo, že a že v , má exponent tendenci k jednotě [20] .
Celkový počet zlomků v té či oné abecedě se jmenovateli nepřesahujícími až do konstanty je [21] .
Hensley zjistil, že jmenovatelé zlomků, které splňují Zarembovu hypotézu, jsou rovnoměrně rozloženy (s přihlédnutím k násobnosti) modulo . [22] To zejména implikuje existenci takových zlomků se jmenovateli rovnými nule (a jakékoli jiné hodnotě) modulo ten či onen.
Důsledek výsledku Hensleyho (1994): pro any existuje funkce taková, že pro any : existuje ireducibilní zlomek , jehož neúplné kvocienty jsou ohraničeny .
V tomto případě by se toto tvrzení rovnalo Zarembově domněnce. Později byly pro prvočísla získány odhady rychlosti růstu v extrémních případech:
Moderní metody, pocházející z článku Bourgaina a Kontoroviče, zvažují Zarembův dohad v jazyce matic 2x2 a studují odpovídající vlastnosti maticových grup . Vzhledem k poměru konvergentů lze expanzi zapsat jako součin matic:
,kde hvězdičky v první matici uzavírají čísla, jejichž hodnota není podstatná.
Na základě toho studujeme skupinu generovanou maticemi ve tvaru:
,pro přítomnost matic v něm s jednou nebo druhou hodnotou v pravé dolní poloze. K analýze rozložení takových hodnot se používají goniometrické součty , konkrétně speciální analogy Fourierových koeficientů [25] .
Použití takových nástrojů, stejně jako samotná práce s množinami součinů (kde prvky množiny jsou matice), dává problému aritmeticko-kombinatorický charakter.