Singmasterova hypotéza

V teorii čísel , Singmaster domněnka , pojmenovaný po Davidovi Singmaster , říká, že tam je konečná horní hranice na množství identických čísel (větší než jeden) v Pascalově trojúhelníku . Je jasné, že pouze jedno je v Pascalově trojúhelníku obsaženo nekonečněkrát, protože jakékoli jiné číslo x se může vyskytovat pouze v prvních x + 1 řádcích trojúhelníku. Pal Erdős věřil, že Singmasterova domněnka byla správná, ale předpokládal, že bude obtížné ji dokázat.

Nechť N ( a ) je počet výskytů čísla a > 1 v Pascalově trojúhelníku. V notaci O se Singmasterova domněnka zapisuje jako

N(a)=O(1).

Pozoruhodné výsledky

Singmaster (1971) to ukázal

N(a)=O(\log a).

Opat, Erdős a Hanson později odhad vylepšili. Dosud nejlepší skóre

N(a)=O\left({\frac {(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)^{3))}\right)

získal Daniel Kane (2007).

Abbott, Erdős a Hanson si také všimli, že podmínka Cramerovy domněnky o vzdálenosti mezi po sobě jdoucími prvočísly implikuje odhad

N(a)=O\left(\log(a)^{2/3+\varepsilon }\right)

pro jakýkoli . $\varepsilon >0$

Singmaster (1975) ukázal, že diofantická rovnice

{\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n}{k+2}}

má nekonečně mnoho řešení pro dvě proměnné n , k . Z toho vyplývá, že případů výskytu čísel 6 a vícekrát je nekonečně mnoho. Řešení jsou dána rovnicemi

n=F_{2i+2}F_{2i+3}-1,

k=F_{2i}F_{2i+3}-1,

kde F n je n-té Fibonacciho číslo (podle obecně přijímaného F 1 = F 2 = 1).

Číselné příklady

Podle výpočtů,

2 se objeví pouze jednou; všechna čísla větší než 2 se objevují více než jednou;
3, 4, 5 se objeví 2krát;
6 se objeví 3krát;
mnoho čísel se objeví 4krát.
Každé z následujících čísel se objeví 6krát: ${120 \choose 1}={16 \choose 2}={10 \choose 3}$ ${210 \choose 1}={21 \choose 2}={10 \choose 4}$ ${1540 \choose 1}={56 \choose 2}={22 \choose 3}$ ${7140 \choose 1}={120 \choose 2}={36 \choose 3}$ ${11628 \choose 1}={153 \choose 2}={19 \choose 5}$ ${24310 \choose 1}={221 \choose 2}={17 \choose 8}$
Nejmenší číslo, které se objeví 8krát, je 3003, které je také členem nekonečné rodiny čísel Singmaster, která se vyskytují alespoň 6krát: ${3003 \choose 1}={78 \choose 2}={15 \choose 5}={14 \choose 6}$

Další číslo v nekonečné rodině Singmasterů a další nejmenší známé číslo, které se objeví šest nebo vícekrát, je 61218182743304701891431482520.

Není známo, zda se některé z čísel objevilo více než osmkrát. Existuje domněnka, že maximální počet výskytů nepřesahuje 8, ale Singmaster věří, že by to mělo být 10 nebo 12.

Není známo, zda existují čísla, která se v Pascalově trojúhelníku objevují přesně pětkrát nebo přesně sedmkrát.

Viz také

Binomický koeficient

Literatura

D. Mistr zpěvu . Výzkumné problémy: Jak často se celé číslo vyskytuje jako binomický koeficient? // Americký matematický měsíčník . - 1971. - T. 78 , čís. 4 . - S. 385-386 . - doi : 10.2307/2316907 . — .
D. Mistr zpěvu . Opakované binomické koeficienty a Fibonacciho čísla // Fibonacciho čtvrtletní. - 1975. - T. 13 , no. 4 . - S. 295-298 .
H. L. Abbott, P. Erdős , D. Hanson. O tom, kolikrát se celé číslo vyskytuje jako binomický koeficient // American Mathematical Monthly . - 2319526. - T. 81 , č.p. 3 . - S. 256-261 . - doi : 10.2307/2319526 .
Daniel M. Kane. Vylepšené hranice počtu způsobů vyjádření t jako binomického koeficientu // Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory. - 2007. - T. 7 . — S. #A53 .

Odkazy

sekvence A003016 v OEIS