Gravitační energie

Gravitační energie je potenciální energie soustavy těles ( částic ), způsobená jejich vzájemnou gravitační přitažlivostí .

Obecně přijímané měřítko je, že pro jakýkoli systém těles umístěných v konečných vzdálenostech je gravitační energie záporná a pro nekonečně vzdálená, tedy pro gravitačně neinteragující tělesa, je gravitační energie nulová . Celková energie systému, rovna součtu gravitační a kinetické energie , je konstantní. Pro izolovaný systém je gravitační energie vazebnou energií . Systémy s kladnou celkovou energií nemohou být stacionární.

Gravitační energie hraje velmi důležitou roli v závěrečných fázích vývoje hvězd , při jejich přeměně na neutronové hvězdy a supernovy [1] .

Gravitačně vázané systémy

Gravitačně vázaný systém je systém, ve kterém je gravitační energie větší než součet všech ostatních druhů energií (kromě zbývající energie ).

Země, která je jako každé nebeské těleso sama o sobě gravitačně vázaným systémem, je také součástí následujících gravitačně vázaných systémů:

V klasické mechanice

Pro dvě gravitující bodová tělesa o hmotnosti M a m je gravitační energie : ${\displaystyle U_{g))$

\ U_{g}=-G{Mm \over R},

kde:

\G

je gravitační konstanta ;

\R

je vzdálenost mezi těžišti těles.

Tento výsledek je získán z Newtonova gravitačního zákona za předpokladu, že pro nekonečně vzdálená tělesa je gravitační energie 0. Výraz pro gravitační sílu je

F_{g}=G{Mm \over R^{2)),

kde:

F_{g}

je síla gravitační interakce

Na druhou stranu podle definice potenciální energie

F_{g}={\frac {dU_{g}}{dR}}.

Pak:

U_{g}=const-G{Mm \over R}.

Konstantu v tomto výrazu lze zvolit libovolně. Obvykle se volí rovno nule, takže když r směřuje k nekonečnu, směřuje k nule. ${\displaystyle U_{g))$

Stejný výsledek platí pro malé těleso umístěné blízko povrchu velkého. V tomto případě lze R považovat za rovné , kde je poloměr tělesa o hmotnosti M a h je vzdálenost od těžiště tělesa o hmotnosti m k povrchu tělesa o hmotnosti M. ${\displaystyle h+R_{M))$ ${\displaystyle R_{M))$

Na povrchu tělesa M máme:

U_{g}=-G{Mm \over R_{M)),

Pokud jsou rozměry tělesa mnohem větší než rozměry tělesa , lze vzorec pro gravitační energii přepsat do následující podoby: $M$ $m$

U_{g}=-G{Mm \over R_{M}+h}=-mG{\frac {M}{R_{M))}{\frac {1}{1+h/R_{ M}}}\cca -mG{\frac {M}{R_{M}}}\left(1-{\frac {h}{R_{M}}}\right)=mgh-m{\frac { GM}{R_{M}}},

kde hodnota se nazývá zrychlení volného pádu. V tomto případě člen nezávisí na výšce tělesa nad hladinou a lze jej z výrazu vyloučit volbou příslušné konstanty. Pro malé těleso umístěné na povrchu velkého tělesa tedy platí následující vzorec ${\displaystyle g={\frac {GM}{R_{M}^{2))))$ ${\displaystyle m{\frac {GM}{R_{M))))$

U_{g}=mgh.

Tento vzorec se používá zejména pro výpočet potenciální energie těles umístěných v blízkosti zemského povrchu.

Záporná potenciální energie je zde způsobena tím, že je nemožné vzít geometrický střed tělesa (tj. ) jako referenční bod současně s přijetím hypotézy, že těleso je hmotný bod. V tomto případě bude mít potenciální energie ve středu tendenci k nekonečnu (vytvoří se singularita). Proto je zvykem považovat za výchozí bod potenciální energie nekonečně vzdálený bod. Znaménko mínus jednoduše říká, že potenciální energie roste se vzdáleností od těla. $R=0$

Je-li to nutné, lze se však singularitě vyhnout předpokladem, že celá hmota většího tělesa není soustředěna v bodě, ale je rovnoměrně rozložena v kouli s poloměrem . Ukazuje se, že v tomto případě bude přitažlivá síla uvnitř těla popsána lineárním vztahem vzhledem k (to znamená, že představuje sílu pružnosti), a vně, jako dříve, bude úměrná inverzní čtverci . $R_{M}$ $R$

$F_{g}=mg\cdot \left\{{\begin{matrix}{\bar {R}}&,{\bar {R}}\leq 1\\{\bar {R}}^ {-2}&,{\bar {R}}>1\end{matrix}}\vpravo.,$

kde je zrychlení volného pádu blízko povrchu většího tělesa; je normalizovaná vzdálenost od středu většího tělesa, přičemž odpovídá úrovni povrchu, - k poloze pod povrchem a k poloze nad povrchem. $G$ ${\bar {R}}=R/R_{M}$ ${\bar {R}}=1$ ${\bar {R}}<1$ ${\bar {R}}>1$

V tomto případě bude potenciální energie, pokud předpokládáme, že je ve středu tělesa rovna nule, popsána jako

$U_{g}=U_{s}\cdot \left\{{\begin{matrix}{\bar {R}}^{2}&,{\bar {R}}\leq 1\\3 -{\frac {2}{\bar {R}}}&,{\bar {R}}>1\end{matrix}}\right.,$

kde je potenciální energie na povrchu tělesa. Potenciální energie v bodě v nekonečnu je $U_{s}={\frac {mgR_{M}}{2}}={\frac {GMm}{2R_{M}}}$

${\displaystyle U_{\infty }=3U_{s}={\frac {3GMm}{2R_{M))))$ .

Porovnáním potenciální energie na povrchu a v nekonečnu s kinetickou energií můžeme určit rychlosti charakteristické pro uvažované těleso:

$v_{1}={\sqrt {gR_{M))}={\sqrt {\frac {GM}{R_{M))))$ je minimální potřebná rychlost malého tělesa, aby se z jeho středu dostalo na povrch většího tělesa. Nebo maximální rychlost malého tělesa vrženého dolů do vertikálního tunelu. Je přesně rovna rychlosti pohybu na kruhové dráze blízko povrchu většího tělesa ( první kosmická rychlost ).

$v_{2}={\sqrt {2gR_{M))}={\sqrt {\frac {2GM}{R_{M))))$ - Minimální úniková rychlost malého tělesa do nekonečna z povrchu velkého tělesa ( druhá kosmická rychlost ).

$v_{20}={\sqrt {3gR_{M))}={\sqrt {\frac {3GM}{R_{M))))$ - Minimální úniková rychlost malého tělesa do nekonečna ze středu velkého tělesa (obdoba druhé kosmické rychlosti, kdy malé těleso „vystřelí“ ze středu velkého tělesa).

Pokud porovnáme gravitační sílu s odstředivou silou, pak můžeme získat požadovanou rychlost malého tělesa pro pohyb po kruhové dráze kolem středu většího tělesa

$v_{o}=v_{1}\cdot \left\{{\begin{matrix}{\bar {R}}&,{\bar {R}}\leq 1\\{\bar {R ))^{-{\frac {1}{2}}}&,{\bar {R}}>1\end{matrix}}\right.$ .

Z rysů gravitace uvnitř většího tělesa se v něm pohybuje malé těleso, jako by bylo zaháknuto koncem pomyslné pružiny, jejíž druhý konec je připevněn ke středu tělesa. Pokud je takové těleso vrženo svisle dolů z povrchu do pomyslného vakuového tunelu procházejícího středem planety, pak bude provádět harmonické oscilace s periodou

$T_{g}=2\pi {\sqrt {\frac {R_{M}}{g}}}=2\pi {\sqrt {\frac {R_{M}^{3}}{GM }}}$ ,

což se pro Zemi rovná 5064 s nebo 1 hodina, 24 minut, 24 sekund. Maximální rychlost při průletu středem tělesa je rovna první kosmické. Tuhost takové pomyslné pružiny se rovná

${\displaystyle k_{g}={\frac {mg}{R_{M))}={\frac {GMm}{R_{M}^{3))))$ .

V obecné relativitě

V obecné teorii relativity se spolu s klasickou negativní složkou gravitační vazebné energie objevuje vlivem gravitačního záření i kladná složka , to znamená, že celková energie gravitačního systému vlivem takového záření s časem klesá.

Viz také

Poznámky

↑ Yu. M. Shirokov , N. P. Yudin, Nuclear Physics. - M., Nauka, 1972. - str. 553-557

Literatura

Tsokos, KA Fyzika pro IB diplom Full Color . — revidováno. - Cambridge University Press , 2010. - S. 143. - ISBN 978-0-521-13821-5 .
MacDougal, Gravitace Douglase W. Newtona: Úvodní průvodce mechanikou vesmíru . — ilustrovaný. - Springer Science & Business Media, 2012. - S. 10. - ISBN 978-1-4614-5444-1 .
Pro demonstraci negativity gravitační energie viz Alan Guth , The Inflationary Universe: The Quest for a New Theory of Cosmic Origins (Random House, 1997), ISBN 0-224-04448-6 , Appendix A—Gravitational Energy.

Odkazy

Fitzpatrick Richard. Gravitační potenciální energie . farside.ph.utexas.edu . Texaská univerzita v Austinu (2. února 2006). (neurčitý)

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Britannica (online)
V bibliografických katalozích	BNF : 16255316s