Dualita (teorie kategorií)

Dualita v teorii kategorií je vztah mezi vlastnostmi kategorie C a tzv. duálními vlastnostmi duální kategorie C op . Vezmeme-li tvrzení o kategorii C a zaměníme obraz a předobraz každého morfismu, stejně jako pořadí, ve kterém jsou morfismy aplikovány, získáme duální tvrzení o kategorii C op . Princip duality spočívá v tom, že pravdivé výroky se po takové operaci stanou pravdivými a nepravdivé výroky se stanou nepravdivými.

Formální definice

Jazyk teorie kategorií je definován jako jazyk prvního řádu se dvěma druhy symbolů, objektů a morfismů, s vlastností objektu být obrazem nebo prototypem morfismu a symbolem pro skládání morfismů.

Nechť σ je libovolné slovo jazyka. Jeho dvojslovo σ op je tvořeno následujícími pravidly:

zaměnit všechny „obrázky“ za „předobrazy“ v σ ,
obrátit pořadí složení morfismů, to znamená nahradit všechny výskyty . $g\circf$ $f \circ g$

Jinými slovy, musíte obrátit všechny šipky a přeskupit argumenty všech kompozic .

Dualita je pozorování, že σ platí v nějaké kategorii C právě tehdy, když σ op platí v C op .

Příklady

Morfismus je monomorfismus , když vyplývá z . Použitím operace duality získáme tvrzení, které vyplývá z . Pro morfismus to přesně znamená, že f je epimorfismus . Vlastnost "být monomorfismus" je tedy duální k vlastnosti "být epimorfismus". $f\colon A\to B$ $f\circ g=f\circ h$ $g=h$ $g\circ f=h\circ f$ $g=h$ $f\colon B\to A$
Limita a colimit jsou duální pojmy.
Počáteční objekt a koncový objekt jsou duální pojmy.

Literatura

I. M. Vinogradov. Duální kategorie // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie . - 1977-1985. (Ruština)
I. M. Vinogradov. Princip duality // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie . - 1977-1985. (Ruština)
I. M. Vinogradov. S-dualita // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie . - 1977-1985. (Ruština)
McLane S. Kapitola 2. Konstrukce v kategoriích // Kategorie pro pracujícího matematika = Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 43-67. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .