Dirac potenciální hřeben

Diracův potenciálový hřeben , v kvantové mechanice , periodický potenciál tvořený sekvencí Diracových δ-funkcí .

U(x)={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na),

kde a je interval mezi sousedními singulárními body. Jedná se o nejjednodušší model, ve kterém vzniká pásová struktura spektra.

Schrödingerova rovnice s potenciálem ve tvaru Diracova potenciálového hřebene

Schrödingerova rovnice má tvar

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\Omega \sum \limits _{ n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na)\Psi (x)=E\Psi (x).

Zavedením notace získáme: ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2))))$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}-2\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na)\right) \psi(x)=0.

V intervalu má rovnice tvar: $0<x<a$

\Psi ''(x)+k^{2}\Psi (x)=0

a jeho obecné řešení je

\Psi (x)=C_{1}e^{ikx}+C_{2}e^{-ikx}.

Protože potenciál je periodický , pak v intervalu má řešení tvar $a<x<2a$

\Psi (x)=e^{iKa}\left(C_{1}e^{ik(xa)}+C_{2}e^{-ik(xa)}\vpravo).

Podmínka spojitosti vlnové funkce

\Psi (a+0)=\Psi (a-0).

Integrací Schrödingerovy rovnice v blízkosti bodu získáme podmínku shody pro derivace: $x=a$

\Psi '(a+0)=\Psi '(a-0)+2\Omega \Psi (a).

Za těchto podmínek máme:

e^{iKa}(A+B)=Ae^{ika}+Be^{-ika},

ike^{iKa}(AB)=ik(Ae^{ika}-Be^{-ika})+2\Omega (Ae^{ika}+Be^{-ika}).

Tato rovnice má netriviální řešení

\cos Ka=\cos ka+{\frac {\Omega }{k))\sin ka.

Z toho vyplývá, že zóny povolených energetických hodnot jsou určeny nerovností

|\cos ka+{\frac {\Omega }{k))\sin ka|\leqslant 1.

Odpovídající energetické spektrum:

E={\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}(ka)^{2}.

Modely kvantové mechaniky
Jednorozměrný bez rotace	volná částice Jáma s nekonečnými stěnami Obdélníková kvantová studna delta potenciál Trojúhelníková kvantová studna Harmonický oscilátor Potenciální odrazový můstek Pöschl-Teller potenciál dobře Upravený potenciál Pöschl-Teller Částice v periodickém potenciálu Dirac potenciální hřeben Částice v prstenu
Multidimenzionální bez rotace	kruhový oscilátor Ion molekuly vodíku Symetrický top Sféricky symetrické potenciály Woods-saský potenciál Keplerov problém Potenciál Yukawa Morseův potenciál Hulthenův potenciál Molekulární potenciál Kratzera Exponenciální potenciál
Včetně spinu	atom vodíku Hydridový iont atom helia