Potenciální odrazový můstek

Potenciální krok je profil potenciální energie částice charakterizovaný ostrým přechodem z jedné (pro pohodlí brané jako nulové) hodnoty do jiné ( ). Takové profily jsou analyzovány v kvantové mechanice a koeficient přenosu částice s celkovou energií se ukazuje být odlišný od jednoty . $U$ $V_{0}$ ${\displaystyle E>V_{0))$

Nejjednodušší potenciální profil tohoto typu je skok:

U(x)=0

v a v .

x<0\quad

\quad U(x)=V_{0}

x>0

Pro zohlednění určitého rozmazání přechodu se používá výraz

U(x)={\frac {1}{2}}V_{0}\left(1+\mathrm {th} {\frac {x}{2a}}\right),\,a= {\mbox{const}}>0

simulující monotónní nárůst z 0 o na o . $-\infty$ $V_{0}$ $+\infty$

Potenciální stupeň může vzniknout např. souřadnicovou závislostí energie dna vodivostního pásu polovodičové heterostruktury , kdy v důsledku rozdílu v elektronové afinitě dvou materiálů dojde na jejich spoji k poměrně prudkému skoku. . $U(x)=E_{c}(x)$ $E_{c}$

Model skokového kroku

Stacionární Schrödingerova rovnice pro skokový potenciálový krok má tvar:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+V_{0}\Psi (x)=E\Psi (x)

pro ,

x>0

a totéž bez výrazu s pro . Zde je hmotnost částice, je redukovaná Planckova konstanta a je vlnová funkce částice. Předpokládá se, že částice se pohybuje směrem ke kladné . Dále všechny znaky s číslem 1 odkazují na oblast a s číslem 2 - na . $V_{0}$ $x<0$ $m$ $\hbar$ $\psi$ $X$ $x<0$ $x>0$

Za předpokladu , že zapíšeme vlnovou funkci pro oblasti 1 ( ) a 2 ( ) jako ${\displaystyle E>V_{0))$ $\Psi =\psi _{1}$ $\Psi =\psi _{2}$

\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0)

\psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,(x>0)

kde

k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2)))),\qquad k_{2}={\sqrt {\frac {2m(E-V_{0} )}{\hbar ^{2}}}}}

Z požadavku spojitosti vlnové funkce a její derivace v bodě dostáváme $x=0$

1+r=t

{\displaystyle i\hbar k_{1}-ir\hbar k_{1}=it\hbar k_{2))

co dává

r={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}},\qquad t={\frac {2k_{1}}{k_{1} +k_{2}}}

V důsledku toho máme koeficienty odrazu (odraz přes bariéru ) a prostup:

R=|r|^{2}=\left({\frac {1-{\sqrt {1-V_{0}/E))}{1+{\sqrt {1-V_{0} /E))))\right)^{2},\qquad T={\frac {k_{2}}{k_{1}}}|t|^{2}={\frac {4{\sqrt {1-V_{0}/E}}}{\left(1+{\sqrt {1-V_{0}/E}}\right)^{2}}}

Tento výsledek se zásadně liší od klasického : v klasické mechanice v tomto případě nedochází k odrazu, ale bez ohledu na . $T=1$ $E$

Rozmazaný krokový model

Stacionární Schrödingerova rovnice pro krok rozmazaného potenciálu (stupeň rozmazání je dán parametrem : čím menší je, tím blíže je potenciál skokovému) je napsána: $A$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {1}{2}}V_{0}\left(1+\mathrm {th } {\frac {x}{2a}}\right)\Psi (x)=E\Psi (x)

Pokud označíme a , bude mít tvar ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2))))$ ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {2mV_{0}a^{2}/\hbar ^{2))))$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}-{\frac {\lambda ^{2}}{2a^{2}}}\left(1+\mathrm {th} { \frac {x}{2a}}\right)\right)\Psi (x)=E\Psi (x).

Pokud provedeme změnu proměnné

y={\frac {1}{1+e^{\frac {x}{a)))),

pak, s přihlédnutím k zápisu , bude redukován na tvar: $\varkappa =ka$

y(1-y)\Psi ''(y)+(1-2y)\Psi '(y)+\left({\frac {\varkappa ^{2}}{y(1-y) }}-{\frac {\lambda ^{2}}{y}}\right)\Psi (y)=0.

Protože body a jsou singulárními body této rovnice, je přirozené hledat řešení ve tvaru: $y=0$ $y=1$

\Psi (y)=y^{\nu }(1-y)^{\mu }f(y).

Pokud zvolíme a , pak se rovnice zredukuje na Gaussovu hypergeometrickou rovnici: ${\displaystyle \nu ={\sqrt {\lambda ^{2}-\varkappa ^{2))))$ $\mu =i\varkappa$

y(1-y)f''(y)+\left((2\nu +1)-(2\mu +2\nu +2)\right)f'(y)-(\mu +\nu )(\mu +\nu +1)f(y)=0.

Získáváme řešení se správnou asymptotikou

f(y)=C\;_{2}F_{1}(\mu +\nu ,\mu +\nu +1;2\nu +1;y)

Pak můžete získat koeficienty odrazu a přenosu. V případě : ${\displaystyle E<V_{0))$

R=1,\qquad T=0.

Je tedy pozorován úplný odraz. V případě zohlednění označení : ${\displaystyle E>V_{0))$ $\sigma =i\nu$

R=\left({\frac {\mathrm {sh} \pi (\varkappa -\sigma )}{\mathrm {sh} \pi (\varkappa +\sigma )))\right)^{2 }

V limitu $a\rightarrow 0$

R=\left({\frac {\varkappa -\sigma }{\varkappa +\sigma }}\right)^{2}

což je stejné jako výsledek předchozí části, pokud se vrátíme k původním proměnným.

Literatura

Z. Flügge. Problémy v kvantové mechanice. - Nakladatelství LKI, 2008. - T. 1.

Modely kvantové mechaniky
Jednorozměrný bez rotace	volná částice Jáma s nekonečnými stěnami Obdélníková kvantová studna delta potenciál Trojúhelníková kvantová studna Harmonický oscilátor Potenciální odrazový můstek Pöschl-Teller potenciál dobře Upravený potenciál Pöschl-Teller Částice v periodickém potenciálu Dirac potenciální hřeben Částice v prstenu
Multidimenzionální bez rotace	kruhový oscilátor Ion molekuly vodíku Symetrický top Sféricky symetrické potenciály Woods-saský potenciál Keplerov problém Potenciál Yukawa Morseův potenciál Hulthenův potenciál Molekulární potenciál Kratzera Exponenciální potenciál
Včetně spinu	atom vodíku Hydridový iont atom helia