Odraz přes bariéru

Odraz přes bariéru je termín používaný v kvantové mechanice k popisu jevu odrazu pohybující se částice od potenciální bariéry , což je nemožné v klasické fyzice , jejíž maximální výška je menší než celková energie částice . Koeficient odrazu je určen tvarem bariéry (v jednorozměrném případě ) a také energií a hmotností částice. V tomto případě je koeficient přenosu menší než jedna. Podobný efekt nastane, když částice přejde přes potenciální krok nebo kvantovou studnu . ${\displaystyle U_{max))$ $E$ $U(x)$

Přístup k úvahám

Bez ohledu na potenciální profil je pohyb částice uvažován pomocí stacionární Schrödingerovy rovnice . Předpokládá se, že částice se pohybuje zleva doprava (podél osy ), potenciál ve velké vzdálenosti vlevo od bariéry je roven nule a vpravo (možná také nule). V tomto případě jsou vlnové funkce vlevo a vpravo od bariéry rovinné vlny tvaru: $U(x)$ $X$ $V_{0}$ $V_{0}$

\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,\,

(zcela vlevo)

\psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,\,

(zcela vpravo).

k_{1}={\sqrt {\frac {2m_{1}E}{\hbar ^{2))))

a jsou moduly vlnových vektorů.

k_{2}={\sqrt {\frac {2m_{2}(E-V_{0})}{\hbar ^{2))))

Hmotnost se obecně může lišit podle oblasti, proto je její symbol opatřen dodatečným indexem; je Planckova konstanta. $m$ $\hbar$

Pokud profil obsahuje ostré skoky, pak musí být na všech hranicích splněna podmínka "sešívání" vlnové funkce a pravděpodobnostních proudů ; to druhé vyžaduje zajištění kontinuity množství . $U(x)$ $\psi$ $\psi ^{'}/m$

V procesu řešení Schrödingerovy rovnice jsou určeny neznámé konstanty a , pomocí kterých se dále zjišťují koeficienty odrazu a prostupu: $r$ $t$

R=|r|^{2},\qquad T={\frac {k_{2}m_{1}}{m_{2}k_{1}}}|t|^{2}

Výsledky této úvahy pro několik systémů jsou uvedeny níže.

Příklady

Skok potenciální energie

Problém přechodu částice, aniž by se změnila její hmotnost, do oblasti s jinou potenciální energií má následující řešení: $V_{0}=V$

r={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}},\qquad t={\frac {2k_{1}}{k_{1} +k_{2}}}

Koeficienty odrazu a prostupu jsou

R=\left({\frac {1-{\sqrt {1-V/E}}}{1+{\sqrt {1-V/E}}}}\right)^{2}, \quad T={\frac {4{\sqrt {1-V/E}}}{\left(1+{\sqrt {1-V/E}}\right)^{2}}}

Koeficient odrazu má konečnou hodnotu, ale jak se blíží nekonečnu, má tendenci k nule. $E$

Obdélníková potenciální bariéra

V případě obdélníkové bariéry je potenciál na obou stranách nulový (a ). Porovnávací podmínky působí na dvou hranicích: at a . Vlnové vektory zleva doprava a v bariéře jsou $V_{0}=0$ $x=0$ $x=a$

k_{1}=k_{2}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2)))),\qquad k_{b}={\sqrt {\frac {2m(EV )}{\hbar ^{2}}}}}

Výsledek pro koeficienty odrazu a prostupu:

R=1-T,\qquad T={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}-k_{b}^{2})^{2)) {4k_{1}^{2}k_{b}^{2}}}\sin ^{2}{k_{b}a}}}

Pro , koeficient odrazu je obecně nenulový. Ale při určitých energiích se to stane kvůli vynulování sinusu. $E>V$ $E$ $R=0$

Změna efektivní hmotnosti

V tomto případě se koeficienty a vypočítají podle vzorců: $r$ $t$

r={\frac {{\sqrt {m_{1))}-{\sqrt {m_{2))))({\sqrt {m_{1))}+{\sqrt {m_{2 }}}},\qquad t={\frac {2{\sqrt {m_{1}}}}{{\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}}}

V souladu s tím budou koeficienty odrazu a přenosu

R=\left({\frac {{\sqrt {m_{1}}}-{\sqrt {m_{2}}}}({\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt { m_{2))))}\vpravo)^{2},\qquad T={\frac {4{\sqrt {m_{1}m_{2)))){\left({\sqrt {m_{ 1}}}+{\sqrt {m_{2}}}\right)^{2}}}

Pokud jsou efektivní hmotnosti stejné, nedochází k odrazu.

Nekonečná kvantová studna

Kvantová studna ve tvaru delty je potenciál formy , kde . $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$ $\lambda ={\mbox{const}}<0$

Poznámka: za přítomnosti -funkčních znaků potenciálu se podmínky pro párování derivací, které vyplývají z požadavku kontinuity proudu, poněkud mění, viz konkrétněji . $\delta$

Koeficienty odrazu a prostupu pro takovou studnu jsou

R=|r|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {2m\hbar ^{2}E}{\lambda ^{2))))},\qquad T =|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}E}}}}

Ukazuje se, že odraz částice je možný, když se pohybuje nad studnou s jakoukoli energií , i když s nárůstem energie pravděpodobnost odrazu klesá. $E$

Praktický význam

V praxi se lze setkat se všemi výše uvedenými typy struktur nebo je lze vytvořit. V technologii polovodičových heterostruktur je možné získat vícevrstvé systémy s různými materiály. Vzhledem k tomu, že možnosti pro různé kombinace materiálů jsou poměrně široké, je zcela reálné získat požadované výšky bariéry (od zlomků eV po několik eV) a efektivní hodnoty hmotnosti . V souladu s tím bude profil vodivostního pásu hrát roli potenciálního profilu . $U(x)$ $E_{c}(x)$

Literatura

Landau L.D., Lifshits E.M. Kvantová mechanika (nerelativistická teorie). — Vydání 4. — M .: Nauka , 1989 . — 768 s. - ("Teoretická fyzika", svazek III). - ISBN 5-02-014421-5 .
Flygge Z. Problémy v kvantové mechanice. - Nakladatelství LKI, 2008. - T. 1.