Průřez diferenciálního rozptylu

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 6. května 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Diferenciální rozptylový průřez je poměr počtu částic rozptýlených za jednotku času na prvek prostorového úhlu dW k hustotě toku dopadajících částic.

Klasický rozptyl

Pokud vezmeme v úvahu klasický problém, kdy je jedna částice rozptýlena od jedné nehybné cílové částice, pak se obvykle používá sférický souřadnicový systém . V tomto případě je cíl umístěn v počátku souřadnic a z tohoto souřadnicového systému se shoduje s dopadajícím paprskem. Úhel θ je úhel rozptylu , měřený mezi dopadajícím paprskem a rozptýleným paprskem, a φ je úhel azimutu .

Parametr nárazu b je kolmé posunutí trajektorie dopadající částice a vystupující částice letí pod úhlem θ . Pro danou interakci ( Coulombova , magnetická , gravitační , kontaktní a tak dále) mají parametr dopadu a úhel rozptylu určitou funkční závislost jedna ku jedné na sobě. Parametr dopadu obvykle nelze ovládat ani měřit od události k události a předpokládá se, že nabývá všech možných hodnot, když je zprůměrován přes sadu rozptylových událostí. Diferenciální velikost průřezu je plošný prvek v rovině parametru nárazu, tj. d σ = b d φ d b . Diferenciální úhlový rozsah rozptýlené částice pod úhlem θ je prvek prostorového úhlu d Ω = sin θ d θ d φ . Diferenciální průřez je podíl těchto veličin,dσ _dΩ _

Je funkcí úhlu rozptylu (a tedy i parametru dopadu) a také dalších pozorovatelných veličin jako je hybnost dopadající částice. Diferenciální průřez je vždy považován za kladný, i když vyšší parametry nárazu obvykle způsobují menší průhyb. Ve cylindricky symetrických situacích (vzhledem k ose paprsku) se azimutální úhel φ při rozptylu nemění a diferenciální průřez lze zapsat jako

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} (\cos \theta )))=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d } } \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \varphi

V jiných situacích, kdy proces rozptylu není azimutálně symetrický, jako když paprsek nebo částice cíle mají magnetické momenty orientované kolmo k ose paprsku, musí být diferenciální průřez také vyjádřen jako funkce úhlu azimutu.

Když jsou částice dopadajícího toku F inc rozptýleny z nepohyblivého cíle sestávajícího z mnoha částic, diferenciální průřezdσ _dΩ _pod úhlem ( θ , φ ) souvisí s tokem detekce rozptýlených částic F out ( θ , φ ) v částicích za jednotku času vztahem

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{nt\Delta \Omega }}{\frac {F_{\text{out}}(\theta ,\varphi )}{F_{\text{inc)))).

Zde Δ Ω je konečná úhlová velikost detektoru (jednotky SI: sr ), n je hustota počtu částic cíle (m −3 ) a t je tloušťka stacionárního cíle (m). Tento vzorec předpokládá, že cíl je dostatečně tenký, aby každá částice paprsku interagovala s nejvýše jednou cílovou částicí.

Celkový průřez σ lze získat zpět integrací diferenciálního průřezudσ _dΩ _přes celý prostorový úhel ( 4π steradiány):

\sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\int _{ 0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\sin \theta \,\mathrm { d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .

Je běžné vynechat definici "rozdílu", když lze typ průřezu odvodit z kontextu. V tomto případě může být σ nazýván integrálním průřezem nebo celkovým průřezem . Druhý termín může být matoucí v kontextech, kde se jedná o více událostí, protože „celkem“ může také odkazovat na součet průřezů napříč všemi událostmi.

Diferenciální průřez je extrémně užitečná veličina v mnoha oblastech fyziky, protože jeho měření může odhalit velké množství informací o vnitřní struktuře cílových částic. Například diferenciální průřez Rutherfordova rozptylu byl přesvědčivým důkazem existence atomového jádra. Místo prostorového úhlu lze jako nezávislou proměnnou diferenciálních průřezů použít přenesenou hybnost .

Diferenciální průřezy pro nepružný rozptyl obsahují rezonanční píky , které indikují vytvoření metastabilních stavů a obsahují informace o jejich energii a životnosti stavů.

Kvantový rozptyl

V časově nezávislém formalismu kvantového rozptylu je počáteční vlnová funkce (před rozptylem) brána jako rovinná vlna s určitou hybností k :

\phi _{-}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;e^{ikz},

kde z a r jsou relativní souřadnice mezi projektilem a cílem. Šipka ukazuje, že to popisuje pouze asymptotické chování vlnové funkce, když jsou projektil a cíl příliš daleko od sebe, než aby interakce měla nějaký účinek.

Po rozptylu se očekává, že vlnová funkce bude mít následující asymptotiku:

\phi _{+}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;f(\theta ,\phi ){\frac {e^{ ikr}}{r}},

kde f je nějaká funkce úhlových souřadnic, známá jako amplituda rozptylu . Tato obecná forma platí pro jakoukoli energeticky úspornou interakci krátkého dosahu. To neplatí pro interakce na velké vzdálenosti, takže při řešení elektromagnetických interakcí existují další potíže.

Celková vlnová funkce systému se chová asymptoticky jako součet dvou příspěvků

\phi (\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;\phi _{-}(\mathbf {r} )+\phi _{+ }(\mathbf {r} ).

Diferenciální průřez souvisí s amplitudou rozptylu podle vzorce:

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\phi )={\bigl |}f(\theta ,\phi ){\bigr | }^{2}.

Což má jednoduchou interpretaci jako hustotu pravděpodobnosti nalezení rozptýleného projektilu pod daným úhlem.

Vztah s S-maticí

Jsou-li redukované hmotnosti a hybnosti kolidující soustavy rovny m i , p i a m f , p f před a po srážce , je diferenciální průřez dán vztahem

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left(2\pi \right)^{4}m_{i}m_{f}{\frac {p_{f}}{p_{i}}}{\bigl |}T_{fi}{\bigr |}^{2},

T -matice je definována vzorcem

S_{fi}=\delta _{fi}-2\pi i\delta \left(E_{f}-E_{i}\right)\delta \left(\mathbf {p} _{i} -\mathbf {p} _{f}\right)T_{fi}

z hlediska S-matice . Zde δ je Diracova delta funkce . Výpočet S-matice je hlavním cílem teorie rozptylu .

Literatura

Bilen'kii S. M. Rozptyl mikročástic // Physical Encyclopedia : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M . : Velká ruská encyklopedie , 1994. - V. 4: Poynting - Robertson - Streamers. - 704 s. - 40 000 výtisků. - ISBN 5-85270-087-8 .