Problém Busemann-Petty

Busemann-Pettyho problém je problém konvexní geometrie formulovaný Busemannem a Pettym v roce 1956.

Je pravda, že symetrické konvexní těleso s většími středovými nadrovinami má větší objem?

Odpověď je kladná v rozměrech a záporná v rozměrech . $\leq 4$ $\ge 5$

Problém je známý tím, že v dimenzi byla nejprve dána (špatná) záporná odpověď a po několika letech kladná. Oba články navíc publikoval stejný autor v jednom z nejprestižnějších matematických časopisů Annals of Mathematics . $čtyři$

Formulace

Nechť a být konvexní tělesa v -rozměrném euklidovském prostoru se společným středem symetrie tak, že $K_1$ $K_{2}$ $n$

\mathrm {Vol} _{n-1}\,(K_{1}\cap A)\leq \mathrm {Vol} _{n-1}\,(K_{2}\cap A)

pro každou nadrovinu procházející středem symetrie . Je to pravda? $A$

\mathrm {Vol} _{n}\,K_{1}\leq \mathrm {Vol} _{n}\,K_{2}\ ?

Historie

V dimenzi 2 je problém triviální, odpověď je ano.
1956 Busemann a Petty ukázali, že odpověď je ano, pokud je prvním tělem míč.
1975 Larmen a Rogers zkonstruovali protipříklad v rozměrech . $\geq 12$
V roce 1986 Keith Ball dokázal, že když vezmeme kostku jako první těleso a vhodnou kouli jako druhé, dostaneme protipříklad v rozměrech . $\geq 10$
V roce 1988 Lutwak ukázal, že odpověď na problém v dané dimenzi je kladná tehdy a jen tehdy, když všechna symetrická konvexní tělesa v této dimenzi jsou tělesy průřezu .
Giannopoulos a Burgen nezávisle zkonstruovali protipříklady v rozměrech . $\geq 7$
Papadimitrakis a Gardner nezávisle zkonstruovali protipříklady v rozměrech 5 a 6.
1994 Gardner dal kladnou odpověď v dimenzionalitě . $3$
1994 Gaoyun Zhang publikoval článek (v Annals of Mathematics ), ve kterém částečně tvrdil, že odpověď je v rozměru záporná. $čtyři$
1997 Alexander Koldobsky vyvrátil tvrzení Gaoyun Zhanga.
1999 Po prostudování výsledků Koldobského Zhang rychle dokázal, že ve skutečnosti je odpověď v dimenzi ano. Tato pozdější práce byla také publikována v Annals of Mathematics. $čtyři$

Variace a zobecnění

Minkowského teorém o jedinečnosti říká, že pokud dvě symetrická konvexní tělesa mají stejné řezy jakoukoliv nadrovinou procházející jejich společným středem, pak jsou si tato dvě tělesa rovna.
Shepardův problém je podobný problém, ve kterém jsou místo řezů uvažovány projekce do všech možných nadrovin .

Odkazy

Ball, Keith (1988), Některé poznámky o geometrii konvexních množin , Geometrické aspekty funkcionální analýzy (1986/87) , sv. 1317, Lecture Notes in Math., Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 224–231, ISBN 978-3-540-19353-1 , DOI 10.1007/BFb0081743
Busemann, Herbert & Petty, Clinton Myers (1956), Problémy na konvexních tělesech , Mathematica Scandinavica vol. 4: 88–94, ISSN 0025-5521 , < http://www.mscand.dk/article/download/10457/8478 >
Gardner, Richard J. (1994), Pozitivní odpověď na problém Busemann-Petty ve třech rozměrech , Annals of Mathematics. Druhá řada vol. 140 (2): 435–447, ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/2118606
Gardner, Richard J.; Koldobsky, A. & Schlumprecht, T. (1999), Analytické řešení problému Busemann-Petty na řezech konvexních těles , Annals of Mathematics. Druhá řada vol . 149(2): 691–703, ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/120978
Koldobsky, Alexander (1998a), Průsečíková tělesa, pozitivní určitá rozdělení a Busemann-Pettyho problém , American Journal of Mathematics vol. 120 (4): 827–840, ISSN 0002-9327 , doi : 10.1353/ajm.09098 , 00. http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v120/120.4koldobsky.pdf >
Koldobsky, Alexander (1998b), Intersection body in R⁴ , Advances in Mathematics vol . 136 (1): 1–14, ISSN 0001-8708 , DOI 10.1006/aima.1998.1718
Koldobsky, Alexander (2005), Fourierova analýza v konvexní geometrii , sv. 116, Mathematical Surveys and Monographs, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3787-0 , < https://books.google.com/books?id=UU25A67LVe0C >
Larman, DG & Rogers, CA (1975), Existence centrálně symetrického konvexního tělesa s centrálními sekcemi, které jsou nečekaně malé , Matematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics vol. 22 (2): 164–175, ISSN 0025-5793 , DOI 10.1112/S0025579300006033
Lutwak, Erwin (1988), Intersection body and dual mixed volumes , Advances in Mathematics vol. 71 (2): 232–261, ISSN 0001-8708 , DOI 10.1016/0001-8708(88)90077-1
Zhang, Gao Yong (1994), Průsečík těles a Busemann-Pettyho nerovnosti v R⁴ , Annals of Mathematics. Druhá řada , díl 140 (2): 331–346, Výsledek v tomto článku je chybný; viz oprava autora z roku 1999., ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/2118603
Zhang, Gaoyong (1999), Pozitivní řešení problému Busemann-Petty v R⁴ , Annals of Mathematics. Druhá řada vol. 149 (2): 535–543, ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/120974