Problém s Minkowským

Minkowského problém:

zda existuje uzavřená konvexní hyperplocha , jejíž Gaussova křivost je danou funkcí jednotkového vnějšího normálového vektoru . $F$ $G(n)$ $n$

Prohlásil Minkowski , který vlastní zobecněné řešení problému v tom smyslu, že neobsahuje žádné informace o povaze regularity , i když jde o analytickou funkci . Dokázal, že pokud spojitá kladná funkce definovaná na jednotkové hypersféře splňuje podmínku $F$ $G(n)$ $S$ $G(n)$

\int \limits _{S}{\frac {n}{G(n)}}ds=0,

pak existuje a navíc unikátní (až paralelní translace ) uzavřená konvexní plocha , pro kterou je Gaussova křivost v bodě s vnější normálou . $F$ $G(n)$ $n$

Pravidelné řešení Minkowského problému poskytl AV Pogorelov v roce 1971 . Zejména dokázal, že pokud patří do třídy , , pak výsledný povrch patří do třídy hladkosti a v případě analytičnosti se povrch také ukazuje jako analytický. $K(n)$ ${\displaystyle C^{m))$ $m\geq 3$ $F$ ${\displaystyle C^{m+1,\alpha ))$ $K(n)$ $F$

Variace a zobecnění

Existuje zobecnění Minkowského problému pro Riemannův prostor [1] .

Viz také

Minkowského věta o mnohostěnu

Literatura

↑ Bodrenko AI Řešení Minkowského problému pro otevřené plochy v Riemannově prostoru. Archivováno 21. února 2020 na Wayback Machine Arxiv.org, 2007.

Minkowski H. Volumen und Oberflache, Mathematische Annalen 57 (1903) 447-495
Pogorelov A. V., Multidimenzionální problém Minkowského, Moskva, 1971;
Buseman G. Konvexní plochy. — 1964.