Stefanův problém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. března 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Stefanova úloha je speciálním druhem okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnici , která popisuje změnu fázového stavu látky, ve které se poloha fázové hranice mění s časem. Přítomnost rozhraní mezi fázemi, která nejsou výslovně specifikována a mohou se v průběhu času měnit, je charakteristickým rysem těchto problémů. Rychlost posunu mezifázových hranic je určena další podmínkou na rozhraní, která přivádí problém do nelineární podoby.

V literatuře se Stefanův problém nazývá také problém pohyblivých hranic nebo problém volných hranic nebo problém změny fáze.

Příklady fyzikálních procesů s fázovými přechody jsou: problém tání ledu s posouvající se hranicí mezi vodou a ledem, problém tání pevné látky s neznámou hranicí mezi pevnou a kapalnou fází, problém redistribuce koncentrace při vzájemné difúzi v slitina kovů s pohyblivými rozhraními různých fází.chemické složení.

Historie

Za první práci v této oblasti je považován článek G. Lameho a B. P. Clapeyrona „O tuhnutí koule chladicí kapaliny“ z roku 1831, ve kterém bylo zjištěno, že tloušťka pevné fáze vzniklé při tuhnutí homogenní kapaliny je úměrná . Mnohem později, v roce 1889, rakouský fyzik a matematik Josef Stefan publikoval čtyři články o problémech s fázovými přechody. Následně se problémy této třídy s pohyblivými mezifázovými hranicemi začaly nazývat Stefanovy problémy. Ve svých dílech formuloval a řešil problémy, které určují procesy vedení a difúze tepla pro jednofázové nebo dvoufázové oblasti. Kromě toho J. Stefan formuloval rovnici tepelné bilance na fázovém rozhraní, přičemž vzal v úvahu latentní teplo, a nyní se takové podmínky fázové konjugace běžně nazývají Stefanovy podmínky. ${\sqrt {t))$

Matematické vyjádření problému

Jednorozměrný jednofázový Stefanův problém

Uvažujme polonekonečný jednorozměrný kus ledu s počáteční teplotou tání ≡ pro ∈ [0,+∞). Poloha hranice mezi ledem a vodou bude označena . Tepelný tok působí na levé hranici, což vede k tání ledu a zvětšení plochy obsazené vodou. $u(x, t)$ $0$ $X$ $Svatý)$ $f(t)$ $[0,s(t)]$

${\displaystyle {\frac {\částečné u}{\částečné t))={\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné x^{2))))$ - rovnice vedení tepla popisující změnu teploty,

$-{\frac {\částečné u}{\částečné x))(0,t)=f(t),\;t>0$ je Neumannova podmínka na levém konci oblasti, která popisuje tepelný tok na vstupu,

$u{\big (}s(t),t{\big )}=0,\;t>0$ je Dirichletův stav na rozhraní voda-led,

${\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial u}{\partial x}}{\big (}s(t),t {\big )},\;t>0$ je Stefanova podmínka, která určuje rychlost rozhraní,

$u(x,0)=0,\;x\geq 0$ je počáteční rozložení teploty.

Jednorozměrný dvoufázový Stefanův problém

Zvažte proces difúzní interakce v binárním kovovém systému s fázemi a fázemi, což jsou pravidelné pevné roztoky . Označme polohou pohyblivé mezifázové hranice, pak -fáze zabírá oblast , a -fáze [1] . $AB$ $\alpha$ $\beta$ $s(t)$ $\alpha$ $0\leq x<s(t)$ $\beta$ $s(t)<x\leq l$

${\frac {\partial N_{B}}{\partial t}}=D^{\alpha }\cdot {\frac {\partial ^{2}N_{B}}{\partial x^{ 2}}}$ je rovnice popisující změnu koncentrace ve fázi, $\alpha$

${\frac {\partial N_{B}}{\partial t}}=D^{\beta }\cdot {\frac {\partial ^{2}N_{B}}{\partial x^{ 2}}}$ je rovnice popisující změnu koncentrace ve fázi, $\beta$

$\left(N_{B}^{\beta }-N_{B}^{\alpha }\right)\cdot {\frac {ds}{dt))=-D^{\beta }\cdot {\frac {\partial N_{B}}{\partial x}}{\Bigr |}_{s(t)+0}+D^{\alpha }\cdot {\frac {\partial N_{B} }{\částečné x}}{\Bigr |}_{s(t)-0}$ je rovnice, která určuje rychlost pohybu rozhraní,

${\frac {\partial N_{B}}{\partial x}}{\Bigr |}_{x=0},\;{\frac {\partial N_{B}}{\partial x} }{\Bigr |}_{x=l}$ - hraniční podmínky,

kde je koncentrace atomů tohoto druhu a jsou difúzní koeficienty ve fázích, je hodnota koncentrace na pravé hranici -fáze, je hodnota koncentrace na levé hranici -fáze. $N_{B}(x,t)$ $\;B$ ${\displaystyle D^{\alpha ))$ ${\displaystyle D^{\beta ))$ $N_{B}^{\alpha }\equiv N_{B}(s(t)-0,t)$ $\alpha$ $N_{B}^{\beta }\equiv N_{B}(s(t)+0,t)$ $\beta$

Metody řešení Stefanova problému

Řešení Stefanova problému spočívá ve výpočtu teplotního nebo koncentračního profilu a určení polohy mezifázových hranic v různých časech. Hlavní potíže při řešení tohoto problému souvisejí s tím, že pohyblivá rozhraní tvoří proměnlivé oblasti pro výpočet hodnot teploty nebo koncentrace a poloha těchto rozhraní není předem známa a musí být také určena v průběhu řešení.

Existují analytické a numerické metody pro řešení klasického Stefanova problému. Nalézt řešení Stefanova problému v uzavřené analytické formě však není jednoduchý problém, jehož řešení je možné pouze pro omezený počet případů při uvažování o zjednodušené formulaci problému.

Numerické metody pro řešení Stefan problému staly se více rozšířené . Stávající numerické metody lze podmíněně rozdělit do dvou skupin. První skupina zahrnuje metody end-to-end počítání, které umožňují nevyčleňovat fázové rozhraní a používat obecnou rovnici v celé výpočetní oblasti. A druhá skupina zahrnuje metody, které zahrnují explicitní určení polohy mezifázových hranic.

Hlavním rysem metod průchozího počítání je absence potřeby přesně sledovat polohu mezifázových hranic, což se ukazuje jako docela efektivní při řešení vícerozměrných a vícefázových problémů. Aby bylo možné tento přístup aplikovat, musí být původní problém zapsán ve zobecněné formulaci jako jediná rovnice s nespojitými koeficienty na rozhraních. Pro konstrukci numerického algoritmu pro řešení získaného problému se nespojité koeficienty vyhlazují v určitém intervalu. Tento přístup byl navržen v pracích A. A. Samarského a B. M. Budaka [2] . Nevýhodou tohoto přístupu je závislost přesnosti řešení rozdílu na volbě vyhlazovacího parametru a malá přesnost určení polohy mezifázových hranic.

Mezi metodami end-to-end počítání se aktivně rozvíjí metoda level set a metoda fázového pole.

V praxi se široce používají metody, které výslovně sledují pohyb mezifázových hranic. Všechny metody této skupiny jsou založeny na myšlence použití metody konečných rozdílů , kdy se výpočty provádějí na jednotných nebo nestejnoměrných mřížkách. V tomto případě se vždy určuje, mezi kterými uzly výpočetní sítě se pohyblivá hranice nachází, případně kterým uzlem prochází. Nejznámější z nich jsou metoda variabilního časového krokování a metoda předního upevnění.

Další přístup k řešení Stefanova problému spočívá v použití metody dynamického přizpůsobování mřížek [3] .

Metodu konečných prvků lze také použít k řešení Stefanova problému.

Rozšíření Stefanova problému

Klasický Stefanův problém se zabývá stacionárními materiály s konstantními tepelnými vlastnostmi (obvykle nezávislými na fázi), konstantní teplotou fázového přechodu a ve výše uvedeném příkladu okamžitým přepnutím z počáteční teploty na určitou hodnotu na hranici. V praxi se tepelné vlastnosti mohou a mění se změnou fáze. Skok hustoty při fázovém přechodu způsobuje pohyb tekutiny: výsledná kinetická energie se neobjevuje ve standardní energetické bilanci. Při okamžitém přepínání teploty je počáteční rychlost tekutiny nekonečná, což má za následek nekonečnou počáteční kinetickou energii. Ve skutečnosti je vrstva tekutiny často v pohybu, takže v rovnici tepla jsou vyžadovány podmínky advekce nebo konvekce. Teplota taveniny se může měnit v závislosti na velikosti, zakřivení nebo rychlosti rozhraní. Není možné okamžitě přepínat teploty a pak je obtížné udržet přesnou pevnou hraniční teplotu. Navíc v nanoměřítku se teplota nemusí řídit ani Fourierovým zákonem.

Literatura

Rubinshtein L.I. Stefanův problém. - Riga: Zvaigzne, 1967. - 458 s.
Crank J. Volné a pohyblivé hraniční problémy. - Oxford: Clarendon Press, 1984. - 425 s.
Alexiades V., Solomon AD Matematické modelování procesů tání a tuhnutí. Washington DC: Hemisphere Publ. Co, 1993. - 323 s.
Problém Meirmanova A. M. Stefana. - Novosibirsk: Nauka, 1986. - 239 s.
Samarsky A. A., Vabishchevich P. N. Výpočetní přenos tepla. - M. : Editorial URSS, 2003. - 784 s.
Javierre-Pérez E. Literární studie : Numerické metody řešení Stefanových problémů, Zpráva 03-16 . - Delft: Delft University of Technology, 2003. - 94 s.
Caldwell J., Kwan YY Numerické metody pro jednorozměrné Stefanovy problémy // Commun. Numer. Meth. Engng.. - 2004. - č. 20 . - S. 535-545.
Krasnoshlyk N. A., Bogatyryov A. O. Numerické řešení problémů s pohyblivými mezifázovými hranicemi // Bulletin Cherkasy University. Řada „Aplikovaná matematika. Informatika". - 2011. - T. 194 . - S. 16-31 . (Ruština)

Poznámky

↑ N. A. Krasnoshlyk, A. O. Bogatyrev, 2011 .
↑ B. M. Budak, E. N. Solov’eva a A. B. Uspenskii, „Diferenční metoda s vyhlazováním koeficientů pro řešení Stefanových problémů“, Zh. Vychisl. matematika. a mat. fyzický - 1965. - V. 5. - Č. 5. - S. 828-840
↑ Breslavsky P. V., Mazhukin V. I. Algoritmus pro numerické řešení hydrodynamické verze Stefanovy úlohy pomocí dynamicky se přizpůsobujících mřížek // Mathematical Modeling. - 1991. - T. 3:10 . — S. 104–115 . (Ruština)