Kirchhoff pravidla

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. prosince 2019; kontroly vyžadují 9 úprav .

Kirchhoffova pravidla (v odborné literatuře často nazývaná Kirchhoffovy zákony ) jsou vztahy, které platí mezi proudy a napětími v částech jakéhokoli elektrického obvodu .

Řešení soustav lineárních rovnic , sestavená na základě Kirchhoffových pravidel, umožňují najít všechny proudy a napětí v elektrických obvodech stejnosměrného, střídavého a kvazistacionárního proudu [1] .

V elektrotechnice mají zvláštní význam pro svou všestrannost, protože jsou vhodné pro řešení mnoha problémů v teorii elektrických obvodů a praktických výpočtech složitých elektrických obvodů.

Aplikace Kirchhoffových pravidel na lineární elektrický obvod umožňuje získat systém lineárních rovnic pro proudy nebo napětí a podle toho při řešení tohoto systému najít hodnoty proudů ve všech větvích obvodu a všech internodálních. napětí.

Formuloval Gustav Kirchhoff v roce 1845 [2] .

Název „Pravidla“ je správnější, protože tato pravidla nejsou základními přírodními zákony, ale vyplývají ze základních zákonů zachování náboje a irotace elektrostatického pole ( třetí Maxwellova rovnice pro konstantní magnetické pole). Tato pravidla by neměla být zaměňována s dalšími dvěma Kirchhoffovými zákony v chemii a fyzice .

Znění pravidel

Definice

Pro formulaci Kirchhoffových pravidel jsou zavedeny pojmy uzel , větev a obvod elektrického obvodu . Větev je úsek elektrického obvodu se stejným proudem, například na Obr. segment označený R 1 , I 1 je větev. Uzel je spojovací bod tří nebo více větví (na obrázku označeno tučnými tečkami). Okruh je uzavřená cesta procházející několika větvemi a uzly rozsáhlého elektrického obvodu. Termín uzavřená cesta znamená, že počínaje od některého uzlu řetězce a procházením několika větví a uzlů se můžete vrátit k původnímu uzlu . Větve a uzly projeté během takového obchvatu se obvykle nazývají patřící k tomuto obrysu. V tomto případě je třeba mít na paměti, že větev a uzel mohou patřit k několika vrstevnicím současně.

Z hlediska těchto definic jsou Kirchhoffova pravidla formulována následovně.

První pravidlo

První Kirchhoffovo pravidlo (Kirchhoffovo aktuální pravidlo) říká, že algebraický součet větvících proudů konvergujících v každém uzlu v libovolném obvodu je nulový. V tomto případě je proud směrovaný do uzlu považován za kladný a proud směrovaný z uzlu je záporný: Algebraický součet proudů směrovaných do uzlu je roven součtu proudů směrovaných z uzlu.

\sum \limits _{{j=1}}^{n}I_{j}=0.

Jinými slovy, kolik proudu teče do uzlu, tolik z něj teče. Toto pravidlo vyplývá ze základního zákona zachování náboje .

Při výpočtu je však třeba vzít v úvahu, že toto pravidlo platí pouze v případě zanedbatelné kapacity uzlu. V opačném případě může dojít k porušení prvního pravidla, což je zvláště patrné u vysokofrekvenčních proudů.

Druhé pravidlo

Druhé Kirchhoffovo pravidlo (Kirchhoffovo napěťové pravidlo) říká, že algebraický součet napětí na odporových prvcích uzavřeného obvodu se rovná algebraickému součtu EMF obsažených v tomto obvodu. Pokud v obvodu nejsou žádné zdroje EMF (idealizované generátory napětí), je celkový pokles napětí nulový:

pro konstantní napětí

\sum _{{k=1}}^{n}E_{k}=\součet _{{k=1}}^{m}U_{k}=\sum _{{k=1}}^{ m}R_{k}I_{k};

pro proměnná napětí

\sum _{{k=1}}^{n}e_{k}=\součet _{{k=1}}^{m}u_{k}=\sum _{{k=1}}^{ m}R_{k}i_{k}+\součet _{{k=1}}^{m}u_{{L\,k}}+\součet _{{k=1}}^{m}u_ {{C\,k}}.

Toto pravidlo vyplývá z Maxwellovy 3. rovnice v konkrétním případě stacionárního magnetického pole.

Jinými slovy, když je obvod zcela obejit, potenciál, měnící se, se vrací na svou původní hodnotu. Speciálním případem druhého pravidla pro obvod sestávající z jednoho obvodu je Ohmův zákon pro tento obvod. Při sestavování rovnice napětí pro smyčku musíte zvolit kladný směr obcházení smyčky. V tomto případě je úbytek napětí na větvi považován za kladný, pokud se směr bypassu této větve shoduje s dříve zvoleným směrem proudu větve, a záporný - jinak (viz níže).

Kirchhoffova pravidla platí pro lineární a nelineární linearizované obvody pro jakoukoli povahu změny v čase proudů a napětí.

Vlastnosti sestavování rovnic pro výpočet proudů a napětí

Pokud obvod obsahuje uzly, pak je popsán rovnicemi proudů. Toto pravidlo lze aplikovat i na jiné fyzikální jevy (např. soustava kapalinových nebo plynových potrubí s čerpadly), kde je splněn zákon zachování částic média a proudění těchto částic. $p$ $p-1$

Pokud obvod obsahuje větve, z nichž větve obsahují zdroje proudu v množství , pak je popsán napěťovými rovnicemi. $m$ $m_i$ $m-m_{i}-(p-1)$

Kirchhoffova pravidla, napsaná pro uzly nebo obvody obvodu, poskytují úplný systém lineárních rovnic, který vám umožní najít všechny proudy a všechna napětí. $p-1$ $m-(p-1)$
Než začnete psát rovnice, musíte si libovolně vybrat:
- kladné směry proudů ve větvích a označte je na diagramu, přičemž není nutné zajistit, aby směry proudů v uzlu byly jak příchozí, tak i výstupní, konečné řešení soustavy rovnic přesto dá správná znamení uzlové proudy;
- kladné směry obcházení vrstevnic pro sestavování rovnic podle druhého zákona se z důvodu jednotnosti doporučuje volit kladné směry obcházení stejné pro všechny vrstevnice (například: ve směru hodinových ručiček).
Pokud je směr proudu stejný jako směr bypassu smyčky (který je libovolně zvolen), považuje se úbytek napětí za kladný, v opačném případě je záporný.
Při psaní lineárně nezávislých rovnic podle druhého Kirchhoffova pravidla se snaží, aby každý nový obrys, pro který je rovnice složen, obsahoval alespoň jednu novou větev, která není zahrnuta v předchozích obrysech, pro které již byly rovnice napsány podle druhého. zákona ( postačující, nikoli však nutná podmínka ).
Ve složitých nerovinných grafech elektrických obvodů je pro člověka obtížné vidět nezávislé obvody a uzly, každý nezávislý obvod (uzel) při sestavování soustavy rovnic generuje 1 lineárnější rovnici v soustavě lineárních rovnic, která definuje problém. Počítání počtu nezávislých vrstevnic a jejich explicitní indikace v konkrétním grafu je vyvinuta v teorii grafů .

Příklad

Počet uzlů: 3.

$p-1=2$

Počet větví (v uzavřených okruzích): 4. Počet větví obsahujících zdroj proudu: 0.

$m-m_{i}-(p-1)=2$

Počet okruhů: 2.

Pro obvod znázorněný na obrázku v souladu s prvním pravidlem platí následující vztahy:

{\begin{cases}I_{1}-I_{2}-I_{6}=0\\I_{2}-I_{4}-I_{3}=0\end{cases))

Všimněte si, že pro každý uzel musí být zvolen kladný směr, například zde proudy tekoucí do uzlu jsou považovány za kladné a proudy tekoucí ven záporné.

Řešení výsledného lineárního systému algebraických rovnic umožňuje určit všechny proudy uzlů a větví, tento přístup k analýze obvodů se běžně nazývá metoda smyčkových proudů .

V souladu s druhým pravidlem platí následující vztahy:

{\begin{cases}U_{2}+U_{4}-U_{6}=0\\U_{3}+U_{5}-U_{4}=0\end{cases))

Výsledné soustavy rovnic kompletně popisují analyzovaný obvod a jejich řešení určují všechny proudy a všechna napětí větví. Tento přístup k analýze obvodu se běžně nazývá metoda uzlových potenciálů .

O významu pro elektrotechniku

Kirchhoffova pravidla jsou aplikovaného charakteru a umožňují spolu s dalšími metodami a metodami a v kombinaci s nimi ( metoda ekvivalentního generátoru , princip superpozice , metoda sestavení potenciálového diagramu) řešit problémy elektrotechniky. Kirchhoffova pravidla našla široké uplatnění díky jednoduchosti formulace rovnic a možnosti jejich řešení pomocí standardních metod lineární algebry ( Cramerova metoda , Gaussova metoda atd.).

Význam v matematice

První Kirchhoffovo pravidlo lze formulovat v maticové formě. Totiž nechť se elektrický obvod skládá z uzlů. Udělejme matici , kde for je vodivost větve spojující uzly s čísly a (pokud nejsou spojeny, můžete je mentálně spojit větví s nulovou vodivostí). Ve stejnou dobu . Nechť je potenciál, který považujeme za funkci definovanou na množině uzlů (nebo, což je totéž, vektor v -rozměrném prostoru ). Pak podle definice vodivosti máme , kde je proud ve větvi jdoucí z vrcholu do vrcholu . Proto lze první Kirchhoffovo pravidlo pro -tý uzel zapsat jako , nebo , nebo, vzhledem k definici diagonálních prvků matice, jako . Na levé straně rovnosti lze snadno zjistit souřadnici součinu matice a sloupcového vektoru . $n$ $A=\{a_{ij}\}_{i,j=1}^{n}$ $a_{{ij}}$ $i \neq j$ $i$ $j$ $a_{jj}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}(-a_{ij})$ $\varphi$ $\mathbf {u} =(\varphi _{1},\varphi _{2},\dots ,\varphi _{n})$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $I_{ij}=a_{ij}(\varphi _{i}-\varphi _{j})$ $I_{ij}$ $i$ $j$ $j$ $\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}I_{ij}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}(\ varphi _{i}-\varphi _{j})=0$ $\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}\varphi _{i}+\left(\sum _{i=1,~i\neq j}^ {n}(-a_{ij})\right)\varphi _{j}=\součet _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}\varphi _{i}+a_ {jj}\varphi _{j}=0$ $\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\varphi _{i}=0$ $A$ $\mathbf {u}$

Takže první Kirchhoffovo pravidlo v maticové formě zní:

${\begin{Vmatrix}a_{11}&a_{21}&\tečky &a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&\tečky &a_{n2}\\...&... &...&...\\a_{1n}&a_{2n}&\tečky &a_{nn}\end{Vmatrix}}{\begin{Vmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2 }\\...\\\varphi _{n}\end{Vmatrix}}=0\Leftrightarrow A^{T}\mathbf {u} =\mathbf {0}$ .

V této podobě jej lze zobecnit na vodivé povrchy. U zakřiveného povrchu závisí vodivost nejen na bodu, ale také na směru. Jinými slovy, vodivost je funkcí tečných vektorů k povrchu. Předpokládáme-li, že na tečných prostorech je dobře aproximována kladně-definitivní kvadratickou formou, můžeme o ní mluvit jako o Riemannově metrice (která se liší od vzdálenosti na povrchu jako geometrická forma, která zohledňuje neizotropii své elektrické vlastnosti). Každý bod plochy může sloužit jako uzel, a proto potenciál již nebude vektor, ale funkce na ploše. Analogem matice vodivosti bude Laplaceův-Beltramiho operátor metrické vodivosti, který působí na prostor hladkých funkcí. První Kirchhoffovo pravidlo pro povrch říká přesně totéž: . Jinými slovy, potenciál je harmonická funkce . $G$ $u$ ${\displaystyle \Delta _{g))$ $\Delta _{g}u=0$

V tomto ohledu je matice spojená s libovolným váženým grafem , s výjimkou úhlopříčky rovné matici sousednosti , někdy nazývána diskrétní Laplacián . Analogy vět o harmonických funkcích, jako je existence harmonické funkce v doméně s hranicí pro dané hodnoty na hranici, získané konvolucí s nějakým jádrem, probíhají i pro diskrétní harmonické funkce. A naopak, vodivý povrch může být aproximován mřížkou odporů a diskrétní harmonické funkce na této mřížce aproximují harmonické funkce na odpovídající ploše. Na této okolnosti je založen Gershgorinův integrátor , analogový počítač používaný k řešení Laplaceovy rovnice ve 30. - 70. letech 20. století. $A$

V případě vodivého povrchu má místo rozdílu potenciálu smysl hovořit o 1-formě . S tím spojené vektorové pole pomocí metriky vodivosti je elektrický proud na tomto povrchu. Podle prvního Kirchhoffova pravidla je tato 1-forma také harmonická (to znamená, že leží v jádru Hodge Laplacianu definovaného na diferenciálních formách). To poskytuje vodítko, jak správně formulovat Kirchhoffův zákon pro případ, kdy pole není potenciální: jmenovitě 1-forma získaná z proudu, uvažovaného jako vektorové pole, pomocí vodivosti, uvažované jako Riemannova metrika, musí být harmonický. Díky znalosti elektromotorické síly kolem každého topologicky netriviálního obrysu na povrchu je možné obnovit sílu a směr proudu v každém bodě, navíc jedinečným způsobem. Zejména rozměr prostoru všech možných proudů je roven rozměru prostoru topologicky netriviálních vrstevnic. Tato skutečnost byla jedním z důvodů objevu Poincarého duality ; skutečnost, že elektromotorické síly jednoznačně určují proud (harmonická 1-forma), je zvláštním případem Hodgeovy teorie pro 1-formy (Hodgeova teorie uvádí, že na Riemannově varietě je každá de Rhamova třída kohomologie reprezentována harmonickou formou, a to jen jeden). $du$ $\mathrm {grad} _{g}(u)$

Kirchhoffův radiační zákon

Kirchhoffův zákon záření říká, že poměr emisivity libovolného tělesa k jeho absorpční kapacitě je u všech těles při dané teplotě pro danou frekvenci pro rovnovážné záření stejný a nezávisí na jejich tvaru, chemickém složení atd.

Kirchhoffův zákon v chemii

Kirchhoffův zákon říká, že teplotní koeficient tepelného účinku chemické reakce se rovná změně tepelné kapacity systému během reakce.

Poznámky

↑ Kirchhoffova pravidla – článek z Velké sovětské encyklopedie .
↑ Gustav Robert Kirchhoff . Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige . - 1845. - S. 497-514 .

Literatura

Matveev A. N. Elektřina a magnetismus: učebnice. - M . : Vyšší škola, 1983. - 463 s.
Kalašnikov S. G. Elektřina: učebnice. - M. : Fizmatlit, 2003. - 625 s.
Bessonov L. A. Teoretické základy elektrotechniky. Elektrické obvody. — 11. vydání. — M .: Gardariki, 2007.
Gerasimov V. G., Kuzněcov E. V., Nikolaeva O. V. Elektrotechnika a elektronika. Rezervovat. 1. Elektrické a magnetické obvody. - M. : Energoatomizdat, 1996. - 288 s. — ISBN 5-283-05005-X .