Zichermannovy kostky

Zichermanovy kostky [1] jsou jediným párem 6stěnných kostek , které obsahují pouze přirozená čísla a mají stejné rozdělení pravděpodobnosti pro součty jako normální kostky.

Tváře těchto kostí jsou očíslovány 1, 2, 2, 3, 3, 4 a 1, 3, 4, 5, 6, 8.

Matematika

Běžným cvičením v elementární kombinatorice je vypočítat počet způsobů, jak lze danou hodnotu získat dvojicí 6stěnných kostek (nebo součtem dvou hodů). Níže uvedená tabulka ukazuje počet výskytů daného čísla :

n 2 3 čtyři 5 6 7 osm 9 deset jedenáct 12
počet kapek jeden 2 3 čtyři 5 6 5 čtyři 3 2 jeden

Crazy Die je matematické cvičení v elementární kombinatorice , které vyžaduje, abyste změnili čísla na stranách dvojice šestistěnných kostek tak, abyste získali stejnou rychlost poklesu součtu jako při standardním číslování. Zichermanovy kosti jsou šílené a přečíslování se provádí pouze přirozenými čísly .

Níže uvedená tabulka uvádí možné součty padnutí na standardních kostkách a na Zichermanových kostkách. Jedna Sichermanova kostka je pro názornost obarvena: 1 - 2 - 2 - 3 - 3 - 4 a čísla druhé jsou ponechána černě, 1-3-4-5-6-8.

2 3 čtyři 5 6 7 osm 9 deset jedenáct 12
Standardní kostky 1+1 1+2
2+1 		1+3
2+2
3+1 		1+4
2+3
3+2
4+1 		1+5
2+4
3+3
4+2
5+1 		1+6
2+5
3+4
4+3
5+2
6+1 		2+6
3+5
4+4
5+3
6+2 		3+6
4+5
5+4
6+3 		4+6
5+5
6+4 		5+6
6+5 		6+6
Sichermanovy kosti 1 + 1 2 +1
2 +1 		3 + 1
3 +
1 1 + 3 		1 +4
2 +3
2 +3
4 +1 		1 +5
2 +4
2 +4
3 +3
3 +3 		1 +6
2 +5
2 +5
3 +4
3 +4
4 +3 		2 +6
2 +6
3 +5
3 +5
4 +4 		1 +8
3 +6
3 +6
4 +5 		2 +8
2 +8
4 +6
 3 +8
3 +8 		4 + 8

Historie

Zichermanovy kostky objevil George Zicherman z Buffala a publikoval je Martin Gardner v roce 1978 v Scientific American .

Čísla mohou být uspořádána tak, že všechny dvojice protilehlých čísel se sečtou 5 pro první kostku a 9 pro druhou.

Později se Gardner v dopise Zichermanovi zmínil, že jemu známý kouzelník Zichermanův objev předvídal. Zobecnění Zichermanových kostek na více než dvě kostky a další počty tváří viz články Broline [2] , Galyan a Rusin [3] , Brunson a Swift [4] , Fowler a Swift [5] .

Matematické vysvětlení

Nechť kanonická n -hranná kostka je n - stranná plocha, jejíž plochy jsou označeny celými čísly [1,n], takže pravděpodobnost každého čísla je 1/ n . Vezměme krychli (šestihran) jako kanonickou kost. Generující funkce házení takové kostky je . Součin tohoto polynomu sám o sobě dává generující funkci pro hod dvojicí kostek: . Z teorie kruhových polynomů to víme

kde d běží přes dělitele n , a je d - tý kruhový polynom. Všimněte si také toho

.

Získáme tak generující funkci jednotlivé n -stranné kanonické kosti

se zmenšuje. Faktorizace generující funkce hexaedrické kanonické kosti je tedy

Generující funkce hodu dvěma kostkami se rovná součinu dvou kopií tohoto rozkladu. Jak je můžeme rozložit na dvě pravidelné kosti, aby body na tvářích nebyly tradiční? Zde správně znamená, že koeficienty jsou nezáporné a součet je šest, takže každá kost má šest ploch a každá plocha má alespoň jeden bod (to znamená, že generující polynom pro každou kost musí být polynom p(x) s kladné koeficienty a p(0) = 0 a p(1) = 6). Existuje pouze jedno takové rozšíření:

a

To nám dává rozložení bodů na stěnách dvojice Sichermanových kostek - {1,2,2,3,3,4} a {1,3,4,5,6,8}.

Techniku ​​lze rozšířit na kosti s libovolným počtem tváří.

Viz také

Poznámky

  1. ↑ From Penrose Mosaics to Secure Ciphers, 1993 , s. 328.
  2. ↑ Broline, 1979 .
  3. ↑ Gallian, Rusin, 1979 .
  4. ↑ Brunson, Swift, 1997/8 .
  5. ↑ Fowler, Swift, 1999 .

Literatura

Odkazy