Isoperimetrický problém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. listopadu 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Izoperimetrická nerovnost je geometrická nerovnost , která dává do vztahu obvod uzavřené křivky na rovině a plochu části roviny ohraničené touto křivkou. Termín se také používá pro různá zobecnění této nerovnosti.

Isoperimetric doslova znamená „mající stejný obvod “. Zejména izoperimetrická nerovnost uvádí, že vzhledem k délce L uzavřené křivky a ploše A ploché oblasti ohraničené touto křivkou,

4\pi A\leqslant L^{2},

a tato nerovnost se stane rovností právě tehdy, když je křivkou kruh.

Účelem izoperimetrické úlohy je najít obrazec co největší plochy, jejíž hranice má danou délku [1] .

Izoperimetrický problém byl mnoha způsoby zobecněn na jiné nerovnosti mezi charakteristikami obrazců, množin a variet. Izoperimetrický problém zahrnuje také odhady veličin fyzikálního původu (momenty setrvačnosti, torzní tuhost pružného nosníku, základní frekvence membrány, elektrostatická kapacita atd.) prostřednictvím geometrických charakteristik. Například existují zobecnění pro křivky na plochách a pro domény ve vyšších dimenzích prostorů.

Snad nejznámějším fyzikálním projevem 3D izoperimetrické nerovnosti je tvar kapky vody. Kapka má totiž obecně kulatý tvar. Protože množství vody v kapce je neměnné, povrchové napětí způsobí, že kapka nabude tvaru, který minimalizuje povrch kapky, přičemž minimální povrch je koule.

Historie

V Didově problému , který je svým obsahem blízký , je potřeba najít oblast maximální plochy ohraničenou přímkou a křivočarým obloukem, jejichž konce leží na této přímce. Úkol souvisí s prastarou legendou o založení Kartága Dido , sestrou krále fénického města Tyru.

Řešením izoperimetrické úlohy je kruh , a to bylo známo již ve starověkém Řecku . Ve svém pojednání „O izoperimetrických obrazcích“ ( starořecky Περὶ ἰσοπεριμέτρων σχημάτων ) řeší Zenodorus ( II. století př. n. l. ) izoperimetrický problém v rovině a získává dílčí výsledky v prostoru. První matematicky přesný důkaz izoperimetrické nerovnosti v prostoru získal v roce 1884 Hermann Schwartz . Od té doby se objevilo mnohem více důkazů.

Izoperimetrický problém na rovině

Klasický izoperimetrický problém sahá až do starověku. Problém lze formulovat následovně: Která křivka (pokud existuje) ze všech uzavřených křivek v rovině s daným obvodem maximalizuje plochu oblasti, kterou ohraničuje? Tuto otázku lze ukázat jako ekvivalentní k následujícímu problému: Která ze všech uzavřených křivek v rovině, která ohraničuje oblast dané oblasti, minimalizuje obvod?

Problém koncepčně souvisí s principem nejmenšího působení ve fyzice a lze jej přeformulovat podle tohoto principu: jaké akce zahrnují velké území s maximální hospodárností podpory? Filozof a vědec 15. století, kardinál Nicholas Cusa , diskutoval o rotaci , procesu, ve kterém jsou generovány kruhy , jako o nejpřímějším odrazu procesů, ve kterých byl vytvořen vesmír. Německý astronom a astrolog Johannes Kepler použil izoperimetrický princip, když pojednával o struktuře sluneční soustavy v Tajemství vesmíru (1596).

Přestože je kruh zřejmým řešením problému, dokázat tuto skutečnost není snadný úkol. První pokrok na cestě důkazu učinil švýcarský geometr Jakob Steiner v roce 1838 pomocí geometrické metody později zvané Steinerova symetrizace [2] . Steiner ukázal, že pokud existuje řešení, musí to být kruh. Steinerův důkaz později dokončili někteří další matematici.

Steiner začíná s některými geometrickými konstrukcemi, které jsou snadno pochopitelné. Například lze ukázat, že jakákoliv uzavřená křivka obklopující oblast, která není plně konvexní , může být upravena tak, aby měla větší plochu "odrazem" konkávních částí, aby se staly konvexní. Lze pak ukázat, že každou uzavřenou křivku, která není dokonale symetrická, lze „naklonit“ tak, že obepíná větší plochu. Jediným útvarem, který je zcela konvexní a symetrický, je kruh, ačkoli tato úvaha nepředkládá přesný důkaz (viz externí odkazy).

Izoperimetrická nerovnost

Řešení izoperimetrické úlohy se obvykle vyjadřuje jako nerovnice vztahující se k délce L uzavřené křivky a ploše A roviny ohraničené touto křivkou. Izoperimetrická nerovnost říká, že

4\pi A\leqslant L^{2},

a že tato nerovnost se stane rovností právě tehdy, když je křivkou kruh. Ve skutečnosti je plocha kruhu o poloměru R π R 2 a obvod je 2π R , takže obě strany nerovnosti se stanou 4π 2 R 2 .

Důkazů izoperimetrické nerovnosti lze nalézt desítky. V roce 1902 Hurwitz zveřejnil krátký důkaz pomocí Fourierovy řady , která je použitelná pro libovolné rektifikovatelné křivky (ne nutně hladké). Elegantní přímý důkaz založený na srovnání hladké jednoduché uzavřené křivky s vhodnou kružnicí podal E. Schmidt v roce 1938 . Důkaz používá pouze vzorec délky křivky , vzorec ploché oblasti z Greenovy věty a Cauchyho-Bunyakovského nerovnost .

Pro danou uzavřenou křivku je izoperimetrický koeficient definován jako poměr plochy obrázku k ploše kruhu se stejným obvodem. To znamená

Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}},

a izoperimetrická nerovnost říká, že Q ⩽ 1.

Izoperimetrický koeficient pravidelného n - gon je

Q_{n}={\frac {\pi }{n\jméno operátora {tg} {\frac {\pi }{n)))).

Izoperimetrická nerovnost na kouli

Nechť C je jednoduchá uzavřená křivka na kouli o poloměru 1. Označme L délku křivky C a A plochu oblasti ohraničené křivkou C . Sférická izoperimetrická nerovnost říká, že

L^{2}\geqslant A(4\pi -A),

a tato nerovnost se stane rovností právě tehdy, když je křivkou kruh. Ve skutečnosti existují dva způsoby, jak měřit plochu sférické oblasti, ale nerovnost je symetrická pro volbu doplňku.

Tuto nerovnost objevil Paul Levy (1919), který ji zobecnil na vyšší dimenze a obecnější povrchy .

Pro případ libovolného poloměru R je známo [3] , že

L^{2}\geqslant 4\pi AA^{2}/R^{2}.

Izoperimetrická nerovnost v prostorech vyšších dimenzí

Izoperimetrický teorém je zobecněn na povrchy v trojrozměrném euklidovském prostoru . Mezi všemi jednoduchými uzavřenými plochami s daným povrchem obsahuje koule oblast maximálního objemu . Podobná tvrzení platí v euklidovských prostorech jakékoli dimenze.

V obecném tvaru [4] izoperimetrická nerovnost říká, že pro jakoukoli množinu S ⊂ R n , jejíž uzávěr má konečnou Lebesgueovu míru ,

n\omega _{n}^{1/n}L^{n}({\bar {S)))^{(n-1)/n}\leqslant M_{*}^{n- 1}(\partialS),

kde M * n −1 je ( n − 1)-rozměrná Minkowského kapacita , L n je n - rozměrná Lebesgueova míra a ω n je objem jednotkové koule v R n . Pokud je hranice S rektifikovatelná , pak se Minkowského kapacita rovná ( n − 1)-rozměrné Hausdorffově míře .

Izoperimetrickou nerovnost v dimenzi n lze rychle dokázat pomocí Brunn-Minkowskiho nerovnosti [3] [4] .

Izoperimetrická nerovnost v n -rozměrném prostoru je ekvivalentní (pro dostatečně hladké domény) Sobolevově nerovnosti v R n s optimální konstantou:

\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{\frac {n}{n-1}}\right)^{\frac {n-1}{n }}\leqslant n^{-1}\omega _{n}^{-1/n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|

pro všechna u ∈ W 1,1 ( R n ).

Izoperimetrická nerovnost v měrných prostorech

Většina práce na izoperimetrickém problému se provádí v kontextu hladkých domén v euklidovských prostorech nebo pro obecnější Riemannovy variety . Izoperimetrický problém však lze v podstatě zobecnit pomocí konceptu Minkowského kapacity . Dovolit být metrický prostor s mírou : X je metrický prostor s metrickými d a μ jako Borel míra na X. Okrajová míra nebo Minkowského kapacita měřitelné podmnožiny A z X je definována jako lim inf : $(X,\,\mu ,\,d)$

\mu ^{+}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0+}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon )),

kde

{\displaystyle A_{\varepsilon }=\{x\in X\mid d(x,A)\leqslant \varepsilon \))

je ε-rozšířením množiny A .

Izoperimetrická úloha v X se ptá, jak malá může být pro danou veličinu μ( A ). Jestliže X je euklidovská rovina s obvyklou vzdáleností a Lebesgueovou mírou , pak tato otázka zobecňuje klasický izoperimetrický problém na oblasti roviny, jejichž hranice nejsou nutně hladké, i když odpověď je stejná. $\mu ^{+}(A)$

Funkce

{\displaystyle I(a)=\inf\{\mu ^{+}(A)\mid \mu (A)=a\))

se nazývá izoperimetrický profil metrického měřitelného prostoru . Izoperimetrické profily byly studovány pro Cayleyovy grafy diskrétních grup a speciální třídy Riemannových variet (kde se obvykle uvažují domény A s obyčejnými hranicemi). $(X,\,\mu ,\,d)$

Izoperimetrická nerovnost pro grafy

V teorii grafů jsou izoperimetrické nerovnosti středem studia expandérů , řídkých grafů , které mají silnou konektivitu. Konstrukce expandérů dala podnět k výzkumu v čisté a aplikované matematice s aplikacemi v teorii výpočetní složitosti , návrhu robustních počítačových sítí a teorii opravných kódů [5] .

Izoperimetrické nerovnosti pro grafy dávají do souvislosti velikost podmnožin vrcholů s velikostí hranic těchto podmnožin, což je obvykle chápáno jako počet hran opouštějících podmnožinu nebo počet sousedních vrcholů. Pro graf a číslo existují dva standardní izoperimetrické parametry grafu [6] . $G$ $k$

Izoperimetrický parametr okraje:

\Phi _{E}(G,k)=\min _{S\subseteq V}{\big \{}|E(S,{\overline {S)))|:|S|=k {\velký \))).

Isoperimetrický parametr vrcholu:

\Phi _{V}(G,k)=\min _{S\subseteq V}{\big \{}|\Gamma (S)\setminus S|:|S|=k{\big \ }}.

Zde označuje množinu odcházejících hran a označuje množinu vrcholů, které mají sousedy v . Izoperimetrickým problémem je pochopit, jak se parametry a chovají v rodinách grafů. $E(S,{\overline {S)))$ $S$ $\Gamma (S)$ $S$ $\Phi _{E}$ $\Phi _{V}$

Příklad: Izoperimetrická nerovnost pro hyperkrychle

$d$ -dimenzionální hyperkrychle je graf, jehož vrcholy jsou booleovské vektory délky , tedy množina . Dva takové vektory jsou spojeny hranou , pokud se liší v jedné poloze, to znamená , že Hammingova vzdálenost mezi nimi je přesně jedna. ${\displaystyle Q_{d))$ $d$ ${\displaystyle \{0,1\}^{d))$ ${\displaystyle Q_{d))$

Níže jsou uvedeny dvě izoperimetrické nerovnosti pro booleovskou hyperkrychli [7] .

Izoperimetrická nerovnost pro hrany

Izoperimetrická nerovnost pro hrany hyperkrychle zní: . $\Phi _{E}(Q_{d},k)\geqslant k(d-\log _{2}k)$

Izoperimetrická nerovnost pro vrcholy

Harperův teorém [8] říká, že Hammingovy koule mají nejmenší vrcholovou hranici ze všech množin dané velikosti. Hammingovy koule jsou sady, které obsahují všechny body s Hammingovou váhou nepřesahující pro nějaké celé číslo . Z věty vyplývá, že jakákoliv množina s splňuje [9] $r$ $r$ $S\subseteq V$ $|S|\geqslant \sum _{i=0}^{r}{\binom {n}{i))$ $|S\cup \Gamma (S)|\geqslant \sum _{i=0}^{r+1}{\binom {n}{i)).$

Ve speciálním případě, kdy velikost množiny má tvar pro nějaké celé číslo , z výše uvedeného vyplývá, že přesný vrcholový izoperimetrický parametr je [5] . $k=|S|$ $k={\binom {d}{0}}+{\binom {d}{1}}+\tečky +{\binom {d}{r}}$ $r$ $\Phi _{V}(Q_{d},k)={\binom {d}{r+1))$

Izoperimetrická nerovnost pro trojúhelníky

Izoperimetrická nerovnost pro trojúhelníky z hlediska obvodu p a plochy T uvádí, že [10]

p^{2}\geqslant 12{\sqrt {3}}\cdot T,

s rovností v případě pravidelného trojúhelníku .

Poznámky

↑ Blåsjö, 2005 , s. 526-566.
↑ Steiner, 1838 , str. 281-296.
↑ 12 Osserman , 1978 .
↑ 12 Federer , 1987 .
↑ 1 2 Hoory, Linial, Widgerson, 2006 .
↑ Definice 4.2 a 4.3 v Hoory, Linial, Widgerson, 2006 .
↑ Viz Bollobás, 1986 a oddíl 4 v Hoory, Linial, Widgerson, 2006 .
↑ Viz Calabro, 2004 nebo Bollobás, 1986 .
↑ Vedoucí, 1991 .
↑ Chakerian, 1979 .

Literatura

Viktor Blasjö. The Evolution of the Isoperimetric Problem (anglicky) // Amer. Matematika. Měsíční. - 2005. - Sv. 112 .
Blaschke , Leichtweiss. Elementare Differentialgeometrie (německy) . - 5., kompletně revidoval K. Leichtweiß. - New York Heidelberg Berlin: Springer-Verlag , 1973. - Bd. 1. - (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 0-387-05889-3 .
Blaschke . Kruh a míč . - M .: Věda. — 1967.
Béla Bollobas. Kombinatorika: množinové systémy, hypergrafy, rodiny vektorů a kombinatorická pravděpodobnost . - Cambridge University Press, 1986. - ISBN 978-0-521-33703-8 .
Burago. Encyklopedie matematiky / Michiel Hazewinkel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Chris Calabro. Harperova věta . — 2004.
Luca Capogna, Donatella Danielli, Scott Pauls, Jeremy Tyson. Úvod do Heisenbergovy skupiny a subriemannovského izoperimetrického problému . - Birkhäuser Verlag , 2007. - ISBN 3-7643-8132-9 .
GD Chakerian. Mathematical Plums (anglicky) / R. Honsberger. — Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979.
T. Bonnesen, W. Fenchel. Teorie konvexních těles. - 2002. - (Knihovna studentů matematiky).
Protasov V. Yu Maxima a minima v geometrii . — M. : MTsNMO. — 56 str. - (Knihovna "Matematická výchova", číslo 31).
G. Federer. Teorie geometrických rozměrů. — M .: Nauka, 1987.
M. Gromov . Izoperimetrickánerovnost Paula Levyho . - Boston, Massachusetts: Birkhäuser Boston, Inc., 1999. - Sv. 152. - (Pokrok v matematice).
J. Steiner. Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze (německy) . - J. reine angew Math.. - 1838. Také sebrané práce, sv. 2, Reimer, Berlin, (1882).
G. Hadwiger. Přednášky o objemu, povrchu a izooperimetrii. — M .: Nauka, 1966.
Shlomo Hoory, Nathan Linial, Avi Widgerson. Rozšiřující grafy a jejich aplikace // Bulletin (nová řada) Americké matematické společnosti . - 2006. - Sv. 43 , iss. 4 . - doi : 10.1090/S0273-0979-06-01126-8 .
Imre vůdce. Sborník sympozií v aplikované matematice . - 1991. - Sv. 44. - S. 57-80.
Robert Osserman. Izoperimetrická nerovnost // Bull . amer. Matematika. Soc.. - 1978. - Sv. 84 , iss. 6 . - S. 1182-1238 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14553-4 .