Schwartzův invariant

Schwartzův invariant , Schwartzova derivace nebo Schwarzian (někdy se používá zápis ) analytické funkce je diferenciální operátor tvaru $(Sf)(z)$ $\{f,\;z\}$ $f(z)$

(Sf)(z)={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f' '(z)}{f'(z)}}\right)^{2}.

Vlastnosti

Schwartzův invariant lineárně zlomkové funkce je roven nule. Tento snadno ověřitelný fakt má velký zásadní význam. Skutečně, pokud druhá derivace určuje míru blízkosti diferencovatelné funkce k lineární, pak Schwartzův invariant plní stejnou roli pro lineárně-frakční funkci.
Pokud je analytická funkce a jedná se o lineárně zlomkové zobrazení, pak vztah bude platit , to znamená, že lineárně zlomkové zobrazení nemění Schwartzův invariant. Na druhou stranu Schwartzova derivace f o g se vypočítá podle vzorce, $F$ $G$ $(Sf)(z)=(S(g\circ f))(z)$

(S(f\circ g))(z)=(Sf)(g(z))\cdot g'(z)^{2}.

Tedy výraz[ vyčistit ]

{\displaystyle (S(f))(z)\ dz^{\otimes 2))

invariantní při lineárně zlomkových transformacích.

Obecněji řečeno, pro libovolné, dostatečně mnohokrát diferencovatelné funkce f a g

S(f\circ g)=\left(S(f)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+S(g).

Zavedeme funkci dvou komplexních proměnných

F(z,w)=\log \left({\frac {f(z)-f(w)}{zw))\right)

. Zvažte výraz

{\frac {\partial ^{2}F(z,w)}{\partial z\,\partial w))={f^{\prime }(z)f^{\prime }(w ) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (zw)^{2}}

. Schwartzova derivace je vyjádřena vzorcem

(Sf)(z)=\left.6\cdot {\partial ^{2}F(z,w) \over \partial z\partial w}\right\vert _{z=w}.

Schwartzova derivace má jednoduchý vzorec pro permutaci f a z

(Sf)(z)=-\left({\frac {df}{dz}}\right)^{2}(Sz)(f)

. Výraz má následující význam: považujeme ho za souřadnici, ale za funkci. Pak vypočítáme Schwarzian . Předpokládáme, že tedy podle věty o inverzní funkci je skutečně lokální souřadnice a (pomocí tohoto pozorování je poslední vlastnost dokázána přímým výpočtem).

(Sz)(f)

F

z(f)

z(f)

f'\neq 0

F

z'(f)=1/f'(z)

Rovnice pro Schwartzův invariant

Zvažte obyčejnou diferenciální rovnici v analytických funkcích formy . Pak jeho dvě lineárně nezávislá řešení a uspokojí vztah . ${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+Q(z)f(z)=0$ $f_1$ $f_{2}$ $\left(S{\frac {f_{1}}{f_{2}}}\right)(z)=2Q(z)$