Věta o inverzní funkci
Věta o inverzní funkci dává dostatečné podmínky pro existenci inverzní funkce v okolí bodu z hlediska derivací funkce samotné.
Věta zobecňuje na vektorové funkce . Existují také varianty teorému inverzní funkce pro holomorfní funkce , pro hladká zobrazení mezi varietami , pro hladké funkce mezi Banachovými prostory .
Formulace
Skutečná hodnota funkce
Pro funkci jedné proměnné teorém říká, že jestliže je spojitě diferencovatelná funkce s nenulovou derivací v bodě , pak je invertibilní v okolí . Navíc je inverzní funkce spojitě diferencovatelná a
Funkce více proměnných
Jestliže Jacobian matice nepřetržitě diferencovatelné funkce jednající z otevřené podmnožiny prostoru do prostoru je invertibilní v bodě , pak funkce sám je invertable v sousedství .
Poznámky
- Druhá část věty vyplývá z pravidla pro derivování složení funkcí .
- Existence inverzní funkce je ekvivalentní říkat, že systém rovnic může mít řešení pro daný , za předpokladu, že a leží v malých sousedstvích a , resp.
Příklad
Zvažte vektorovou funkci
Jakobiánská matice má tvar
Jeho determinant je :
Všimněte si, že kdykoli Podle věty pro každý bod
existuje okolí, na kterém je invertibilní.
- Všimněte si však, že je to nevratné v celé doméně. Opravdu,
pro jakýkoli . Zejména není
injekční
Variace a zobecnění
Nekonečně-rozměrný případ
V nekonečně-rozměrném případě, jeden musí dodatečně vyžadovat to Fréchet derivace v bodě mají omezený inverzní operátor.
Odrůdy
Věta o inverzní funkci zobecňuje na hladká zobrazení mezi hladkými varietami . Nechť je hladké mapování mezi hladkými manifoldy . Předpokládejme, že diferenciál
v bodě je lineární izomorfismus . (Zejména .) Pak existuje otevřené sousedství takové, že
je difeomorfismus .
Banachovy mezery
Nechat a být Banach prostory a být otevřeným sousedstvím . Předpokládejme, že zobrazení je spojitě diferencovatelné a jeho diferenciál je ohraničený lineární izomorfismus . Pak je tu otevřené sousedství a průběžně diferencovatelné mapování takové, že pro všechny v .
Banachové odrůdy
Tyto dvě linie zobecnění lze kombinovat ve větě o inverzní funkci pro Banachovy variety. [jeden]
Viz také
Poznámky
- ↑ Lang 1995, Lang 1999, pp. 15-19, 25-29.
Odkazy
- Zorich V. A. Matematická analýza, jakékoli vydání
- Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentals of Mathematical Analysis, 3. vydání, část 1, M., 1971
- Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Prvky teorie funkcí a funkcionální analýza, 5. vyd., M., 1981
- Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Prvky funkční analýzy, 2. vyd., M., 1965
- Nikolsky S. M. Kurz matematické analýzy, 2. vyd., sv. 1-2, M., 1975
- Pontryagin L. S. Obyčejné diferenciální rovnice, 4. vyd., M., 1974 - § 33
- Schwartz L. Analýza, přel. z francouzštiny, díl 1, M., 1972
- Serge Lang . Diferenciální a Riemannovy rozdělovače. - Springer, 1995. - ISBN 0-387-94338-2 .
- Serge Lang . Základy diferenciální geometrie. - New York: Springer, 1999. - (Graduate Texts in Mathematics). - ISBN 978-0-387-98593-0 .
- Nijenhuis, Albert. Silné derivace a inverzní zobrazení (anglicky) // Amer. Matematika. Měsíční : deník. - 1974. - Sv. 81 , č. 9 . - S. 969-980 . - doi : 10.2307/2319298 .
- Renardy, Michael a Rogers, Robert C. Úvod do parciálních diferenciálních rovnic (italsky) . - Druhý. - New York: Springer-Verlag , 2004. - S. 337-338. — (Texty v aplikované matematice 13). — ISBN 0-387-00444-0 .
- Rudin, Walter . Principy matematické analýzy (neopr.) . - Třetí. - New York: McGraw-Hill Education , 1976. - S. 221-223. — (Mezinárodní řada v čisté a aplikované matematice). — ISBN 978-0070542358 .