Věta o inverzní funkci

Věta o inverzní funkci dává dostatečné podmínky pro existenci inverzní funkce v okolí bodu z hlediska derivací funkce samotné.

Věta zobecňuje na vektorové funkce . Existují také varianty teorému inverzní funkce pro holomorfní funkce , pro hladká zobrazení mezi varietami , pro hladké funkce mezi Banachovými prostory .

Formulace

Skutečná hodnota funkce

Pro funkci jedné proměnné teorém říká, že jestliže je spojitě diferencovatelná funkce s nenulovou derivací v bodě , pak je invertibilní v okolí . Navíc je inverzní funkce spojitě diferencovatelná a

Funkce více proměnných

Jestliže Jacobian matice nepřetržitě diferencovatelné funkce jednající z otevřené podmnožiny prostoru do prostoru je invertibilní v bodě , pak funkce sám je invertable v sousedství .

Poznámky

Příklad

Zvažte vektorovou funkci

Jakobiánská matice má tvar

Jeho determinant je :

Všimněte si, že kdykoli Podle věty pro každý bod existuje okolí, na kterém je invertibilní.

pro jakýkoli . Zejména není injekční

Variace a zobecnění

Nekonečně-rozměrný případ

V nekonečně-rozměrném případě, jeden musí dodatečně vyžadovat to Fréchet derivace v bodě mají omezený inverzní operátor.

Odrůdy

Věta o inverzní funkci zobecňuje na hladká zobrazení mezi hladkými varietami . Nechť  je hladké mapování mezi hladkými manifoldy . Předpokládejme, že diferenciál

v bodě je lineární izomorfismus . (Zejména .) Pak existuje otevřené sousedství takové, že

je difeomorfismus .

Banachovy mezery

Nechat a  být Banach prostory a  být otevřeným sousedstvím . Předpokládejme, že zobrazení je spojitě diferencovatelné a jeho diferenciál je ohraničený lineární izomorfismus . Pak je tu otevřené sousedství a průběžně diferencovatelné mapování takové, že pro všechny v .

Banachové odrůdy

Tyto dvě linie zobecnění lze kombinovat ve větě o inverzní funkci pro Banachovy variety. [jeden]

Viz také

Poznámky

  1. Lang 1995, Lang 1999, pp. 15-19, 25-29.

Odkazy