Dawsonova funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. prosince 2019; kontroly vyžadují 3 úpravy .

V matematice je Dawsonova funkce nebo Dawsonův integrál (pojmenovaný podle Henryho Gordona Dawsona ) neelementární funkcí reálné proměnné:

F(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt.

Vlastnosti

Obecné vlastnosti

lichá funkce : . $F(-x)=-F(x)$
Derivát : . ${\frac {d}{dx}}F(x)=1-2xF(x)$
Neurčitý integrál : , kde je zobecněná hypergeometrická funkce . $\int F(x)\,dx={\frac {1}{2}}x^{2}{}_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2 }},2;-x^{2}\vpravo)$ ${}_{2}F_{2}\left(a,b;c,d;z\right)$
Je zlomková derivace inverzního exponentu : . $D^{{-1/2}}e^{{-x}}={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}F({\sqrt {x}})$
Má maximum v bodě, který je řešením rovnice : . Zlomky jsou dány sekvencemi číslic, sekvence 133841 v OEIS a sekvence 133842 v OEIS . $1-{\sqrt {\pi }}e^{-x^{2}}x\,\mathrm {erfi} (x)=0$ $F(0,9241388730)=0,541044246$
Má inflexní bod : (sekvence 133843 v OEIS ). $F(1,5019752683)=0,4276866160$
Expanduje na pokračující zlomky :

F(z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2z^{2}}{3-{\cfrac {4z^{2}}{5+{\cfrac {6z^{ 2}}{7-{\cfrac {8z^{2}}{9+\cdots }}}}}}}}}}

F(z)={\cfrac {z}{1+2z^{2}-{\cfrac {4z^{2}}{3+2z^{2}-{\cfrac {8z^{2 }}{5+2z^{2}-{\cfrac {12z^{2}}{7+2z^{2}-\cdots }}}}}}}}

Chybová funkce

Dawsonova funkce úzce souvisí s chybovým integrálem erf :

F(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{{-x^{2}}}{\mathrm {erfi}}(x)=-{i{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{{-x^{2}}}{\mathrm {erf}}(ix)

kde erfi je imaginární část chybové funkce, erfi( x ) = − i erf( ix ).

Asymptotika

Pro | x |, blízké nule, F ( x ) ≈ x a pro | x | velký, F ( x ) ≈ 1/(2 x ). Přesněji řečeno, blízko původu je rozšíření do řady :

F(x)=\sum _{{k=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{k}\,2^{k}}{(2k+1)!! }}\,x^{{2k+1}}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\cdots

F(x)=\sum _{{n=0}}^{{+\infty }}{\frac {(-2)^{{n}}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n +1)}}\,x^{{2n+1}}=x-{\frac 23}x^{3}+{\frac 4{15}}x^{5}-\dots

(tato mocninná řada konverguje pro všechna x ) a blízko , existuje asymptotický rozvoj : $+\infty$

F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\tečky +{ \frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^{{n+1}}x^{{2n+1}}}}+o(x^{{-2n-2 }})

(což je naopak pro všechna x divergentní řada ).

Alternativní definice

F ( x ) splňuje obyčejnou diferenciální rovnici

{\frac {dF}{dx}}+2xF=1

s počáteční podmínkou F (0) = 0.

Zobecnění

Někdy používají pro Dawsonovu funkci jiné označení: , pak ji zavádějí "symetrickou" v zápisu: ; v těchto zápisech: $D_{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt$ $D_{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt$

D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{{-x^{2}}}{\mathrm {erfi}}(x)

D_{-}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{{x^{2}}}{\mathrm {erf}}(x)

Viz také

Literatura

Temme, NM (2010), "Chybové funkce, Dawsonovy a Fresnelovy integrály", v Olver, Frank WJ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. a kol., NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press , ISBN 978-0521192255

Odkazy

Cephes - knihovna matematických funkcí v C a C + +
Weisstein, Eric W. The Dawson Integral ve Wolfram MathWorld .
Chybová funkce
Implementace Dawsonovy funkce