Integrované časové řady

Integrovaná časová řada je nestacionární časová řada , jejíž rozdíly určitého řádu jsou stacionární časovou řadou. Takové řady se také nazývají rozdílově stacionární (DS-series, Difference Stationary) . Příkladem integrované časové řady je náhodná procházka , často používaná při modelování finančních časových řad.

Definice

Pro definování integrované časové řady je nutné definovat třídu časových řad nazývanou trend-stacionární řady ( TS -series, trend stacionární). Řada se nazývá TS řada, pokud existuje nějaká deterministická funkce f(t) taková, že rozdíl je stacionární proces. Zejména řada TS zahrnuje všechny stacionární řady. Mnohé řady TS jsou však nestacionární. Řada TS dále zahrnuje např. lineární (deterministický) trendový model, kde je chybou modelu stacionární proces (obvykle bílý šum). $x_t$ $x_{t}-f(t)$ $x_{t}=a+bt+\varepsilon _{t}$

O časové řadě se říká , že je integrována řádu k (obvykle se píše ), pokud jsou rozdíly řady k -tého řádu stacionární, zatímco rozdíly menšího řádu (včetně nultého řádu, tedy časové řady samotné) nejsou TS- série . Konkrétně I(0) je stacionární proces. $X_{t}$ $X_{t}\sim I(k)$ $\vartriangle ^{k}x_{t}$

Příklad

Vezměme si příklad – proces náhodné chůze s driftem (drift) – integrovaný proces prvního řádu $já (1)$

$x_{t}=a+x_{{t-1}}+\varepsilon _{t}$

kde náhodnou chybou modelu je bílý šum . První rozdíly časové řady jsou zjevně stacionární. Pojďme si model představit v trochu jiné podobě:

$x_{t}=a+x_{{t-1}}+\varepsilon _{t}=a+a+x_{{t-2}}+\varepsilon _{{t-1}}+\varepsilon _ {t}=a+a+a+x_{{t-3}}+\varepsilon _{{t-2}}+\varepsilon _{{t-1}}+\varepsilon _{t}=.. .=x_{0}+at+\sum _{{i=1}}^{{t}}\varepsilon _{i}$

Náhodná procházka s driftem tedy vypadá jako lineární trendový model s jedním velmi podstatným rozdílem – rozptyl chyby modelu je úměrný času, to znamená, že má v čase tendenci k nekonečnu. Navíc matematické očekávání náhodné chyby je nulové. I když na časovou řadu aplikujeme postup pro vyloučení lineárního (deterministického) trendu, stále dostáváme nestacionární proces - stochastický trend. $V(\sum _{{i=1}}^{{t}}\varepsilon _{i})=t\sigma ^{2}$

Integrace a kořeny jednotek

Koncept integrované časové řady úzce souvisí s jednotkovými kořeny v autoregresních modelech . Přítomnost jednotkových kořenů v charakteristickém polynomu autoregresní složky modelu časové řady znamená integraci časové řady. Kromě toho se počet kořenů jednotek shoduje s pořadím integrace.

Viz také

Literatura

Ayvazyan S.A. Aplikovaná statistika. Základy ekonometrie. Svazek 2. - M . : Unity-Dana, 2001. - 432 s. - ISBN 5-238-00305-6 .
Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Ekonometrie. Počáteční kurz. - M. : Delo, 2007. - 504 s. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Ekonometrie. Učebnice / Ed. Eliseeva I.I. - 2. vyd. - M. : Finance a statistika, 2006. - 576 s. — ISBN 5-279-02786-3 .