Kointegrace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. července 2019; kontroly vyžadují 10 úprav .

Kointegrace je vlastnost několika nestacionárních ( integrovaných ) časových řad , která spočívá v existenci nějaké jejich stacionární lineární kombinace . Koncept kointegrace byl poprvé navržen Grangerem v roce 1981. V budoucnu tento směr vyvinuli Angle , Johansen, Philips a další.

Kointegrace je důležitou vlastností mnoha ekonomických proměnných, což znamená, že i přes náhodný (špatně předvídatelný) charakter změny jednotlivých ekonomických proměnných mezi nimi existuje dlouhodobý vztah, který vede k nějaké společné, provázané změně. Ve skutečnosti mluvíme o modelu korekce chyb (ECM – Error Correction Model) – kdy se korigují krátkodobé změny v závislosti na míře odchylky od dlouhodobého vztahu mezi proměnnými. Toto chování je vlastní kointegrovaným časovým řadám.

Definice

Kointegrace. Kointegrační rovnice

Formální definice. Nechť je množina časových řad, z nichž každá je integrovaným procesem prvního řádu . O těchto časových řadách se říká, že jsou kointegrované , pokud existuje vektor , takže časová řada je stacionární proces, tj . Vektor se nazývá kointegrační vektor . Je zřejmé , že násobení kointegračního vektoru libovolným číslem nemění kointegrační povahu tohoto vektoru (protože násobení libovolným číslem nemění stacionaritu procesu). Proto lze kointegrační vektor parametrizovat následovně . V tomto případě dostaneme kointegrační rovnici (CE) : $y_{t}=(y_{{1t}},y_{{2t}},...,y_{{kt}})^{T}$ $y_{{it}}\sim I(1)$ $a=(a_{1},a_{2},...,a_{k})^{T}$ $\varepsilon _{t}=a^{T}y_{t}=\sum _{{i=1}}^{k}a_{i}y_{{it}}$ $\varepsilon _{t}\sim I(0)$ $A$ $a=(1,-a_{2},-a_{3},...,-a_{k})^{T}$

$y_{{1t}}=\součet _{{i=2}}^{k}a_{i}y_{{it}}+\varepsilon _{t}~,~~~\varepsilon _{t}$ - stacionární proces

Kointegrační rovnice nestacionárních řad je obdobou regresního modelu stacionárních řad.

kointegrační prostor. Kointegrační hodnost

Je také zřejmé, že pokud existuje několik kointegrujících vektorů, pak libovolná lineární kombinace těchto vektorů bude také kointegračním vektorem (protože lineární kombinace stacionárních řad je také stacionární řada). V souladu s tím se hovoří o prostoru kointegračních vektorů - kointegračním prostoru . Dimenze tohoto prostoru se nazývá kointegrační hodnost . Hodnost kointegrace je ve skutečnosti maximální počet lineárně nezávislých kointegračních vektorů nebo kointegračních rovnic. Pokud je hodnost kointegrace rovna počtu časových řad, pak jsou tyto časové řady stacionární. Nulové pořadí kointegrace znamená žádnou kointegraci.

Pokud jsou časové řady kointegrované, pak pro takové řady lze odhadnout kointegrační rovnici obvyklou metodou nejmenších čtverců. V tomto případě nejsou získány pouze konzistentní odhady (jako v případě klasické regrese), ale superkonzistentní odhady parametrů modelu (výrazně vyšší míra konvergence ke skutečné hodnotě s nárůstem velikosti vzorku). Při absenci kointegrace může konstrukce regresních modelů nestacionárních (integrovaných) časových řad mezi sebou vést k falešné regresi . To je způsobeno skutečností, že v obecném případě (kdy nedochází ke kointegraci) náhodná chyba v regresním modelu podobném kointegrační rovnici není stacionární proces. To znamená, že výsledné odhady parametrů takových modelů, stejně jako odhady statistických charakteristik těchto odhadů parametrů modelů, mohou být zkreslené, nekonzistentní a neefektivní. Proto lze podle vzorových statistik vytvořit nesprávný předpoklad o přítomnosti spojení tam, kde ve skutečnosti žádné není.

Generalizace

Pojem kointegrace připouští následující zobecnění. Nechť jsou časové řady, z nichž každá je integrovaným procesem řádu p, tj . Pak se tyto časové řady nazývají kointegrované řádu p, q (zapsané ), pokud existuje nenulový vektor takový, že lineární kombinace je proces . Klasická definice kointegrace je speciálním případem pro , tj . $y_{t}^{i},i=1..k$ $y_{t}^{i}\sim I(p)$ $y_{t}\sim CI(p,q)$ $A$ $a^{T}y$ $I(pq),~0<q\leqslant p$ $p=q=1$ $CI(1,1)$

Angle-Grangerov test

Test je založen na kointegrační rovnici odhadnuté pomocí obvyklé metody nejmenších čtverců . Myšlenkou testu je, že pokud jsou rezidua tohoto modelu nestacionární (mají jednotkovou odmocninu ), pak nedochází ke kointegraci časových řad. Nulová hypotéza je absence kointegrace, tedy přítomnost jednotkového kořene v chybách modelu (kointegrační rovnice). K testování hypotézy jednotkového kořene se používá statistika rozšířeného Dickey-Fulerova testu , avšak na rozdíl od klasického případu tohoto testu jsou v tomto případě kritické hodnoty statistik odlišné, jsou větší v absolutní hodnotě. . Kritické hodnoty získávají McKinnon a Davidson prostřednictvím simulace . Kritické statistické hodnoty 1 % asymptotických (nekonečná velikost vzorku) jsou uvedeny níže jako příklad.

Typ modelu\Počet proměnných	2	3	čtyři	5	6
Model s konstantou	-3,90	-4,29	-4,64	-4,96	-5,25
Model s konstantní a trend	-4,32	-4,66	-4,97	-5,25	-5,52

Johansenův přístup

U jednoduchých rovnic spočívá integrační testování v kontrole rovnosti přítomnosti jednotkových kořenů v odpovídající autoregresi. V případě kointegrace může podobnou roli hrát vektorová autoregrese . Obecně je postup testování kointegrace následující. Je uvažován vektorový model autoregrese VAR(p) .

$y_{t}=\součet _{{i=1}}^{p}A_{i}y_{{ti}}+Bx_{t}+\varepsilon _{t}$

Tento model lze reprezentovat jako model vektorové korekce chyb (VEC, Vector Error Correction)

$\vartriangle y_{t}=\Pi y_{{t-1}}+\součet _{{j=1}}^{{p-1}}\Gamma _{j}\vartriangle y_{{tj}} +Bx_{t}+\varepsilon _{t}~,~\Pi =\součet _{{i=1}}^{p}A_{i}-I~,~\Gamma _{j}=-\ součet _{{i=j+1}}^{p}A_{i}$

Abstrahujeme-li od exogenních proměnných x , tato reprezentace ukazuje, že pokud jsou první rozdíly řady stacionární podle předpokladu, pak - musí být také stacionární. Podle Grangerovy věty o reprezentaci, pokud je kointegrační hodnost menší než počet proměnných, může být matice P reprezentována jako součin dvou matic , kde druhá matice je maticí kointegračních vektorů. Pořadí matice určuje úroveň kointegrace. Johansen ukázal, že problém hledání parametrů je ekvivalentní problému hledání vlastních vektorů určité matice. K testování kointegračního pořadí se používá test věrohodnostního poměru, jehož statistika je v tomto případě redukována na funkci vlastních hodnot této matice. Nulová hypotéza spočívá v předpokladu, že kointegrační hodnost se rovná dané hodnotě r. Alternativní hypotézou v Johansenově přístupu je, že kointegrační hodnost je větší než daná. Odpovídající statistika LR je ( statistika sledování ) $y_{t}$ $\Pi y_{{t-1}}$ $\alpha \beta ^{T}$ $\Pí$ $\beta$

$LR_{r}^{{tr}}=n\součet _{{i=r+1}}^{p}\ln(1-\lambda _{i})$

kde -i-tá největší vlastní hodnota určité matice. $\lambda _{i}$

Johansenův postupný postup spočívá v tom, že začne testovat hypotézu od úrovně 0 po úroveň k-1. Pokud není hypotéza zamítnuta pro hodnost 0, pak se hodnost považuje za nulovou (žádná kointegrace). A tak dále až do k-1. V druhém případě je alternativní hypotéza, že původní řady jsou stacionární.

Je také možné testovat nulovou hypotézu proti alternativě, že pořadí je o jednu vyšší než nulová hypotéza. V tomto případě se použije statistika maximální vlastní hodnoty

$LR_{r}^{{max}}=n\ln(1-\lambda _{{r+1}})$

Rozdělení statistiky LR závisí na přítomnosti deterministických trendů v datech a v kointegrační rovnici. Proto byste měli vyzkoušet několik možností: v datech nejsou žádné deterministické trendy (konstanta ani trend nejsou zahrnuty v CE, nebo je zahrnuta pouze konstanta), data mají lineární deterministický trend (v CE konstanta bez trend nebo konstanta a trend), data mají kvadratický trend (v CE je zahrnut konstantní a lineární trend).

Viz také

Grangerův test na příčinnou souvislost

Literatura

Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometrics. Počáteční kurz. - M. : Delo, 2007. - 504 s. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Nosko V.P. Ekonometrie. Úvod do regresní analýzy časových řad . - M. , 2002. - 273 s.

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Britannica (online)
V bibliografických katalozích	BNF : 125567779 GND : 4347470-6 J9U : 987007561289705171 LCCN : sh95008552