Vektorová autoregrese

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. března 2013; kontroly vyžadují 11 úprav .

Vektorová autoregrese ( VAR, Vector AutoRegression ) je dynamický model více časových řad , ve kterém aktuální hodnoty těchto řad závisí na minulých hodnotách stejné časové řady. Model navrhl Christopher Sims jako alternativu k systémům simultánních rovnic , které zahrnují značná teoretická omezení. Modely VAR jsou bez omezení strukturálních modelů. Problémem VAR modelů je však prudký nárůst počtu parametrů s nárůstem počtu analyzovaných časových řad a počtu zpoždění.

Formální prezentace

Ve skutečnosti je VAR systémem ekonometrických rovnic, z nichž každá je autoregresivním a distribuovaným modelem zpoždění (ADL). Nechť je -tá časová řada. ADL(p,p)-model pro -tou časovou řadu bude vypadat takto $y^{i},i=1,\ldots ,k$ $i$ $i$

$y_{t}^{i}=a_{0}^{i}+\součet _{{j=1}}^{{k}}a_{{1j}}^{i}y_{{t-1 }}^{j}+\součet _{{j=1}}^{{k}}a_{{2j}}^{i}y_{{t-2}}^{j}+\ldots +\ součet _{{j=1}}^{{k}}a_{{pj}}^{i}y_{{tp}}^{j}+\varepsilon _{{t}}^{i}.$

Pohodlnější a kompaktnější je však vektorově maticový zápis modelu. K tomu je zaveden vektor časové řady . Potom lze výše uvedené rovnice pro každou časovou řadu zapsat jako jedinou rovnici ve vektorovém tvaru: $y_{t}=(y_{t}^{1},y_{t}^{2},\ldots ,y_{t}^{k})$

$y_{t}=a_{0}+A_{1}y_{{t-1}}+A_{2}y_{{t-2}}+\ldots +A_{p}y_{{tp}}+ \varepsilon _{t}=a_{0}+\součet _{{m=1}}^{p}A_{m}y_{{tm}}+\varepsilon _{t},$

kde jsou matice prvků . $Dopoledne}$ $a_{{mj}}^{i}$

Toto je vektorový autoregresní model řádu p - VAR(p) .

Prezentovaný model je uzavřený v tom smyslu, že jako vysvětlující proměnné působí pouze zpoždění endogenních (vysvětlených) proměnných. Nic však nebrání tomu, aby byl model doplněn o některé exogenní proměnné a jejich zpoždění např. až do řádu q. Takový model se nazývá otevřený . Ve formě matice to může být reprezentováno takto:

$y_{t}=a_{0}+\součet _{{m=1}}^{p}A_{m}y_{{tm}}+\součet _{{n=0}}^{q}B_ {n}x_{{tn}}+\varepsilon _{t}.$

Zastoupení operátora

Vektorové modely autoregrese ve formě operátorů používající operátor zpoždění mají ještě jednodušší formu : $L\dvojtečka x_{t}\mapsto x_{{t-1}}$

$A(L)y_{t}=a_{0}+B(L)x_{t}+\varepsilon _{t},~A(L)=I-\součet _{{m=1}}^{ p}A_{m}L^{m},~B(L)=\součet _{{n=0}}^{q}B_{n}L^{n}.$

Pokud kořeny charakteristického polynomu leží mimo jednotkovou kružnici (v komplexní rovině ), pak je takový vektorový autoregresní proces stabilní (obdoba konceptu stacionarity jednotlivých autoregresních modelů). Pokud je splněna podmínka stability, je přijatelné následující znázornění modelů VAR: ${\rm {det))(A(z))$

$y_{t}=A^{{-1}}(L)a_{0}+A^{{-1}}(L)B(L)x_{t}+A^{{-1}}( L)\varepsilon _{t}=y_{t}=A^{{-1}}(1)a_{0}+C(L)x_{t}+u_{t}.$

Maticový polynom C(L) v této reprezentaci se nazývá přenosová funkce . Dlouhodobý vztah mezi endogenními a exogenními proměnnými lze získat dosazením jednotky místo operátoru zpoždění do této reprezentace:

$y_{t}^{*}=A^{{-1}}(1)a_{0}+A^{{-1}}(1)B(1)x_{t}^{*}=A ^{{-1}}(1)a_{0}+C(1)x_{t}^{*}.$

Matice C(1) se nazývá matice dlouhodobých multiplikátorů . Modely VAR také umožňují reprezentaci ECM, někdy označovanou jako model korekce vektorových chyb (VEC).

VAR, VEC a kointegrace

Uvažujme tento vztah na příkladu nejjednoduššího modelu VAR(1).

$y_{t}=Ay_{{t-1}}+\varepsilon _{t}.$

Nechť C je matice vlastního vektoru matice A. Nechť . Pak má původní model podobu $x_{t}=C^{{-1}}y_{t}~\Šipka doprava y_{t}=Cx_{t}$

$Cx_{t}=ACx_{{t-1}}+\varepsilon _{t}~\Šipka doprava x_{t}=C^{{-1}}ACx_{{t-1}}+C^{{- 1}}\varepsilon _{t}.$

Uvážíme-li, že C je matice vlastních vektorů matice A, dostaneme, že jde o diagonální matici vlastních hodnot matice A. To znamená, že taková transformace umožnila získat sadu modelů AR (1): $C^{{-1}}AC=\Lambda$

$x_{t}^{i}=\lambda _{i}x_{{t-1}}^{i}+u_{{t}}^{i}.$

Podmínka stacionarity pro AR(1)-procesy je známá a velmi jednoduchá: autoregresní koeficient modulo musí být menší než 1. Pokud jsou podmínky stacionarity splněny alespoň pro jednu z těchto rovnic (tj. matice A má alespoň jednu jeho vlastních hodnot modulo menší než 1), pak dostaneme, že existuje stacionární lineární kombinace původní časové řady. Pokud jsou původní řady nestacionární I(1)-řady, tedy integrované prvního řádu, pak to znamená, že původní časové řady budou kointegrované . Počet takových vlastních čísel se rovná kointegračnímu pořadí. Pokud je kointegrační rank roven počtu proměnných, pak jsou původní časové řady stacionární (neobsahují jednotkové kořeny) a můžete sestavit konvenční VAR model.

Pokud je časová řada stacionární, můžete vytvořit obvyklý VAR. Pokud jsou integrovány, ale nedochází ke kointegraci, pak se pro rozdíly odpovídajícího řádu zkonstruuje VAR. Pokud existuje kointegrace, je vytvořen model korekce chyb (VECM).

Metody hodnocení

Viz také

Literatura

Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Ekonometrie. Počáteční kurz. - M. : Delo, 2007. - 504 s. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Nosko V.P. Ekonometrie. Úvod do regresní analýzy časových řad . - M. , 2002. - 273 s.