Systém simultánních rovnic

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 8. listopadu 2018; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Systém simultánních rovnic je soubor ekonometrických rovnic (často lineárních ), které určují vzájemnou závislost ekonomických proměnných. Důležitým rozlišovacím znakem soustavy „simultánních“ rovnic od jiných soustav rovnic je přítomnost stejných proměnných v pravé a levé části různých rovnic soustavy (hovoříme o tzv. strukturální formě modelu , viz. níže).

Proměnné se nazývají endogenní, jejichž hodnoty jsou určeny v procesu fungování studovaného ekonomického systému. Jejich hodnoty se určují „současně“ na základě hodnot některých exogenních proměnných, jejichž hodnoty jsou určeny mimo model, jsou nastaveny zvenčí. V systémech simultánních rovnic závisí endogenní proměnné na exogenních i endogenních proměnných.

Měření těsnosti vztahu mezi proměnnými, konstrukce izolovaných regresních rovnic nestačí k vysvětlení fungování složitých ekonomických systémů. Změna jedné proměnné nemůže nastat, zatímco ostatní zůstanou absolutně nezměněny. Jeho změna bude mít za následek změny v celém systému vzájemně souvisejících prvků. Jediná regresní rovnice tedy nemůže charakterizovat skutečný vliv jednotlivých znaků na variaci výsledné proměnné. V ekonomickém výzkumu proto zaujalo důležité místo problém popisu struktury vztahů mezi systémem proměnných.

Strukturální a redukovaný tvar. Identifikovatelnost

Strukturní forma systému je reprezentace systému, ve které může být v rovnicích více než jedna endogenní proměnná (ve standardní notaci to znamená, že na pravé straně rovnic jsou endogenní proměnné, tedy jako regresory). Strukturální podoba systému popisuje systém vzájemných závislostí mezi ekonomickými proměnnými.

${\begin{cases}y_{1t}=\sum _{(i\not =1)}a_{1i}y_{it}+\sum _{j=1}^{q}b_{1j }x_{jt}+\varepsilon _{1t}\\y_{2t}=\součet _{(i\not =2)}a_{2i}y_{it}+\součet _{j=1}^{ q}b_{2j}x_{jt}+\varepsilon _{2t}\\...\\y_{pt}=\součet _{(i\not =p)}a_{pi}y_{it}+ \sum _{j=1}^{q}b_{pj}x_{jt}+\varepsilon _{pt}\\\end{cases}}$

Přenesením endogenních proměnných na levou stranu může být strukturní forma reprezentována v následující maticové formě

$YA=XB+E$

Redukovaná (prediktivní) forma systému je reprezentace systému, ve kterém každá rovnice má pouze jednu endogenní proměnnou, to znamená, že endogenní proměnné jsou vyjádřeny prostřednictvím exogenních:

$Y=X\Pi+U$

Jedná se o tzv. neomezenou redukovanou formu. Strukturální forma může být zapsána takto:

$Y=XBA^{-1}+EA^{-1}$

Jedná se o tzv. omezenou redukovanou formu, tedy redukovanou formu s omezením koeficientů následující formy: . $\Pi =BA^{-1}$

Pokud je dán strukturní tvar, pak je vždy možné získat omezený redukovaný tvar (předpokládá se, že matice A je nedegenerovaná). Ne vždy je to však možné a pokud je to možné, není to vždy jednoznačné.

Strukturální rovnice se nazývá identifikovatelná , pokud její koeficienty mohou být vyjádřeny pomocí koeficientů redukovaného tvaru. Pokud to lze provést jediným způsobem, pak hovoří o přesné identifikovatelnosti , pokud více způsoby - o nadměrné identifikovatelnosti . V opačném případě se nazývá neidentifikovatelný. Přílišná identifikace vlastně znamená, že na koeficienty redukovaného tvaru jsou uvalena určitá omezení (přeidentifikace). V plné redukované podobě jsou zahrnuty všechny exogenní proměnné a na koeficienty nejsou kladena žádná omezení.

Nezbytná podmínka pro identifikovatelnost strukturní rovnice ( ordinální podmínka ): počet proměnných na pravé straně rovnice nesmí překročit počet všech exogenních proměnných systému . V kanonickém tvaru (když neexistuje žádná „levá“ a „pravá“ část) je tato podmínka někdy formulována takto: počet exogenních proměnných vyloučených z dané rovnice nesmí být menší než počet endogenních proměnných zahrnutých do rovnice. rovnice mínus jedna. Pokud tato podmínka není splněna, pak je rovnice neidentifikovatelná. Pokud se provádí se znaménkem rovná se, pak je pravděpodobně pozitivně identifikovatelný, jinak je přeidentifikovatelný.

Postačující podmínka pro identifikovatelnost strukturní rovnice: hodnost matice složené z koeficientů (v jiných rovnicích) pro proměnné, které v této rovnici chybí, není menší než celkový počet endogenních proměnných systému mínus jedna.

Příklady

Nejjednodušší makroekonomický (keynesovský) model

${\begin{cases}C_{t}=a+bY_{t}+\varepsilon _{t}\\Y_{t}=C_{t}+I_{t}\end{cases))$

Zde C a Y jsou spotřeba (spotřebitelské výdaje) a příjem jsou endogenní proměnné modelu, I jsou investice jsou exogenní proměnnou modelu, b je mezní sklon ke spotřebě

Daná podoba modelu vypadá takto:

${\begin{cases}C_{t}=a/(1-b)+b/(1-b)I_{t}+\varepsilon _{t}/(1-b)=c_{0 }+(m-1)I_{t}+u_{t}=\pi _{11}+\pi _{12}I_{t}+u_{t}\\Y_{t}=a/(1 -b)+1/(1-b)I_{t}+\varepsilon _{t}/(1-b)=c_{0}+mI_{t}+u_{t}=\pi _{21} +\pi _{22}I_{t}+u_{t}\end{cases}}$

Hodnota se nazývá investiční multiplikátor (jednotkové zvýšení investice vede k výrazně větší změně příjmu). $m=1/(1-b)$

Lze zkontrolovat podmínku ordinální identifikovatelnosti. V první rovnici na pravé straně je 1 endogenní proměnná a žádné exogenní proměnné (ignoruje se konstanta). V modelu je 1 exogenní proměnné (rovněž bez konstanty). Tím je splněna ordinální (nezbytná) podmínka identifikovatelnosti.

Je vidět, že redukovaná forma je omezena dvěma omezeními a . $\pi _{11}=\pi _{21}$ $\pi _{22}-\pi _{12}=1$

Rekurzivní soustavy rovnic

Zvláštním případem soustav simultánních rovnic jsou tzv. rekurzivní systémy , ve kterých je matice koeficientů pro endogenní proměnné trojúhelníková (obvykle nižší trojúhelníková). To znamená, že v první rovnici je jedna endogenní proměnná vyjádřena pouze prostřednictvím exogenních. Ve druhém, druhý endogenní přes exogenní a případně přes první endogenní. Třetí - přes exogenní a přes první dva endogenní atd. O takovém modelu se říká , že je čistě rekurzivní , pokud navíc náhodné chyby různých rovnic nekorelují.

Metody pro odhadování soustav simultánních rovnic

Přímá aplikace obyčejné metody nejmenších čtverců pro odhad rovnic systému (ve strukturní podobě) je nevhodná, protože v systémech simultánních rovnic je porušena nejdůležitější podmínka regresní analýzy, exogenita faktorů. To vede k tomu, že odhady parametrů jsou zkreslené a nekonzistentní .

Nepřímé nejmenší čtverce

Obvyklou metodu nejmenších čtverců lze aplikovat na redukovanou formu systému, protože v této formě se předpokládá, že všechny faktory jsou exogenní. Podstatou nepřímé metody nejmenších čtverců ( KMNK , ILS ) je odhad strukturálních koeficientů dosazením do analytického výrazu jejich závislosti na daných odhadech posledně jmenovaných, získaných obvyklou metodou nejmenších čtverců. Získané odhady budou konzistentní.

Použití nepřímé metody nejmenších čtverců je možné pouze v případě, že je systém přesně identifikovatelný. Často jsou však rovnice systému příliš identifikovány. V tomto případě existuje několik asymptoticky ekvivalentních, ale odlišných odhadů parametrů strukturní formy a v obecném případě neexistuje žádné kritérium pro výběr mezi nimi.

Dvoustupňové nejmenší čtverce

Podstata dvoukrokové metody nejmenších čtverců ( DMLS , TSLS , 2SLS ) je následující:

Krok 1. Závislost endogenních proměnných na všech exogenních proměnných se odhaduje pomocí obvyklé metody nejmenších čtverců (ve skutečnosti se odhaduje neomezená redukovaná forma).

Krok 2. Strukturální forma modelu je odhadnuta pomocí běžné metody nejmenších čtverců, kde se místo endogenních proměnných použijí jejich odhady získané v prvním kroku.

S přesnou identifikovatelností systému se odhady LSLS shodují s odhady LSLS.

Lze ukázat, že odhady LSSM parametrů každé rovnice jsou ve skutečnosti stejné:

${\hat {\beta }}_{TSLS}=(Z^{T}WZ)^{-1}Z^{T}WY~,~~W=X(X^{T}X) ^{-1}X^{T}$

kde Z je matice všech proměnných na pravé straně této rovnice, X je matice všech exogenních proměnných systému.

Tříkrokový OLS

Ve dvoukrokové metodě nejmenších čtverců se ve skutečnosti každá rovnice strukturního tvaru vyhodnocuje nezávisle na ostatních rovnicích, to znamená, že se nebere v úvahu případný vzájemný vztah náhodných chyb rovnic strukturního tvaru. V tříkrokové metodě nejmenších čtverců ( TMLS , 3SLS ) jsou první dva kroky stejné jako LSLS a přidávají se:

Krok 3. Na základě LMNC odhadů reziduí strukturních rovnic se získá odhad kovarianční matice vektoru náhodných chyb systému a s jeho pomocí se získá nový odhad koeficientů pomocí zobecněných nejmenších čtverců . metoda .

Pokud mezi rovnicemi existují korelace , měly by být odhady LSLS teoreticky lepší než odhady LSLS.

Metody maximální věrohodnosti

Full Information Maximum Likelihood Method ( FIML ) je metoda, která využívá všechny informace o omezeních na zmenšené podobě modelu.

Metoda maximální věrohodnosti s omezenými informacemi ( LIML , metoda nejmenšího rozptylového poměru ) je navržena pro odhad jedné rovnice systému. Zbývající rovnice jsou vyhodnoceny pouze v rozsahu nezbytném pro vyhodnocení dané rovnice. První je hodnocena ve strukturní podobě, zbytek v neomezené redukované podobě, to znamená, že při hodnocení nejsou využity všechny dostupné informace. Tato metoda je redukována na nalezení minimální vlastní hodnoty určité symetrické matice.

Testování systémů simultánních rovnic

Test pro nadměrnou identifikaci omezení

Chcete-li otestovat nadměrnou identifikaci omezení, lze použít test poměru pravděpodobnosti se statistikou , která má rozdělení s počtem stupňů volnosti rovným počtu omezení. Koncentrované logaritmické věrohodnostní funkce systému až po konstantu mají tvar: $LR=2(l_{c}^{L}-l_{c}^{S})$ $\chi ^{2}$

$l_{c}=-{\frac {n}{2}}\ln |(YX\Pi )^{T}(YX\Pi )|$

kde pro dlouhý model není omezen, ale pro krátký . $\Pí$ $\Pi =BA^{-1}$

Poznámky

Viz také

Literatura

Ayvazyan S.A. Aplikovaná statistika. Základy ekonometrie. Svazek 2. - M . : Unity-Dana, 2001. - 432 s. - ISBN 5-238-00305-6 .
Kremer N.Sh., Putko B.A. Ekonometrie. - M .: Unity-Dana, 2003-2004. — 311 s. — ISBN 8-86225-458-7 .
Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Ekonometrie. Počáteční kurz. - M. : Delo, 2007. - 504 s. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Ekonometrie. Učebnice / Ed. Eliseeva I.I. - 2. vyd. - M. : Finance a statistika, 2006. - 576 s. — ISBN 5-279-02786-3 .

Samotný termín „systém simultánních rovnic“ je nesprávný. A co, existují různé časové rovnice? Skutečnost, že se tento negramotný pauzovací papír z angličtiny rozšířil ruskou literaturou (a dokonce i učebnicemi ekonometrie), nemůže sloužit jako omluva. Stačí nahlédnout do jakéhokoli anglicko-ruského matematického slovníku, abyste viděli, že „simutaneous equals“ se překládá jako „systém rovnic“. Význam přídavného jména „simutaneous“ v anglickém termínu je ten, že tyto rovnice musí být řešeny současně, a ne odděleně (a už vůbec ne, že tyto rovnice jsou „simultánní“).