Kategorie Lyusternik-Shnirelman

Kategorie Lyusternik-Shnirelman je charakteristikou topologického prostoru - minimální počet takto uzavřených množin, které lze pokrýt a z nichž každá může být kontrahována do bodu pomocí spojité deformace v . Kategorie je důležitá pro variační počet , protože odhaduje zdola počet stacionárních (kritických) bodů hladké funkce na uzavřené varietě. $X$ $\operatorname {cat} X$ $X$ $X$

Vlastnosti

Kategorie Lyusternik-Shnirelman je homotopickým invariantem .
$\operatorname {cat} \,\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}=n+1$ , kde označuje - dimenzionální reálný projektivní prostor . $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ $n$
$\operatorname {cat} X>\operatorname {long} X,$ kde délka kohomologie je definována jako největší počet tříd kohomologie kladné dimenze, jejichž součin je nenulový. $\operatorname {long} X$

Historie

Kategorii zavedl Lyusternik v roce 1931 při řešení řady problémů, včetně problému tří uzavřených geodetik na plochách homeomorfních k dvourozměrné kouli. Byl první, kdo to vypočítal pro skutečný projektivní prostor . Později, spolu se Shnirelmanem , byla kategorie použita k prokázání Poincarého domněnky o existenci tří uzavřených geodetik na konvexních tělesech.

Viz také

Rod Schwartz