Kvantová Cramer-Rao nerovnost

Kvantová Cramer-Rao nerovnost je nerovnost pro spodní hranici pro střední kvadraturu chyby v kvantové teorii odhadu , podobná Cramer-Rao nerovnosti v klasické teorii odhadu.

Formulace

Uvažujme kvantový odhad operátora hustoty pomocí pravděpodobnostní-operátorové míry , která dává odhad .Aposteriorní hustotu rozdělení pravděpodobnosti kvantového odhadu lze vypočítat jako . Matematická očekávání kvantových odhadů jsou získána ve formě . Zde je stopa operátora v Hilbertově prostoru. Uvažujme nezkreslené odhady, tedy odhady, pro které je identita pravdivá: . Kovariance nezkreslených odhadů jsou dány vztahem: . Při kvadratické ztrátové funkci je průměrné riziko . Zde je stopa matice [1] . $\rho (\theta )$ $d\Pi ({\hat {\theta )))$ ${\klobouk {\theta ))$ $q({\hat {\theta }}|\theta )=q({\hat {\theta }}|\theta )d^{m}\theta =\jméno operátora {Tr} [\rho (\ theta )d\Pi ({\hat {\theta )))]$ ${\bar {\theta }}_{j}=E({\hat {\theta }}_{j}|\theta )=\int _{\Theta }{\hat {\theta }} _{j}\,\jméno operátora {Tr} [\rho (\theta )d\Pi ({\hat {\theta )))]$ $\operatorname {Tr}$ ${\bar {\theta }}_{j}=E({\hat {\theta }}_{j}|\theta )=\theta _{j}$ ${\displaystyle B_{ij))$ $B_{ij}=E[({\klobouk {\theta }}_{i}-{\bar {\theta }}_{i})({\klobouk {\theta }}_{j} -{\bar {\theta }}_{j})|\theta ]=\int _{\Theta }({\hat {\theta }}_{i}-{\bar {\theta }}_{ i})({\hat {\theta }}_{j}-{\bar {\theta }}_{j})\jméno operátora {Tr} \rho (\theta )\,d\Pi ({\hat {\theta)))$ ${\bar {C}}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}g_{ij}B_{ij}=\název operátora {tr} GB$ $\operatorname{tr}$

První forma Cramer-Rao kvantové nerovnosti [2] :

{\tilde {Y}}BY\geqslant {\tilde {Y}}A^{-1}Y

Druhá forma Cramer-Rao kvantové nerovnosti [2] :

{\tilde {Z}}B^{-1}Z\geqslant {\tilde {Z}}AZ

Zde , , jsou určeny vzorcem , získáme z , kde , . $A_{ij}=\operatorname {Tr} \left({\frac {\partial \rho }{\partial \theta _{i))}L_{j}\right)$ ${\displaystyle L_{k))$ ${\frac {\partial \rho }{\partial \theta _{k))}={\frac {1}{2))(\rho L_{k}+L_{k}\rho )$ $Y,Z$ $\operatorname {Re} \operatorname {Tr} \left(\int _{\Theta }T_{\theta }\rho T_{L}\,d\Pi ({\hat {\theta )))\ right)={\tilde {Y}}Z$ $T_{\theta }=1\sum _{j=1}^{m}y_{j}({\hat {\theta }}_{j}-\theta _{j})$ ${\displaystyle T_{L}=\sum _{k=1}^{L}z_{k}L{k))$

Poznámky

↑ Helstrom, 1979 , str. 295.
↑ 1 2 Helstrom, 1979 , str. 297.

Literatura

Helstrom K. Kvantová teorie testování a odhadování hypotéz. — M .: Mir, 1979. — 344 s.