Třída Stiefel-Whitney

Třída Stiefel-Whitney je specifická charakteristická třída odpovídající skutečnému vektorovému balíčku . Obvykle se označuje . Nabývá hodnot v , cohomologický kruh s koeficienty v . $E\rightarrow X$ $w(E)$ $H^{*}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ $\mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$

Komponenta v th cohomologii je označena a nazývána Stiefel-Whitney třída svazku , takže $w(E)$ $i$ $H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ $w_{i}(E)$ $i$ $E$

w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\ldots \,.

Třídy jsou překážkami v konstrukci tého lineárně nezávislého úseku ohraničeného na tém skeletu . $w_{i}(E)$ $H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ $(n-i+1)$ $E$ $i$ $X$

Axiomatická definice

Zde a níže označuje singulární kohomologii prostoru s koeficienty ve skupině . $H^{i}(X;\;G)$ $X$ $G$

Třída Stiefel-Whitney je definována jako mapování, které přiřazuje svazku prvek homologického kruhu takovým způsobem, že platí následující axiomy: $E$ $w(E)$

Přirozenost :pro jakýkoli svazeka mapování, kdeoznačuje odpovídající indukovaný svazek přes. $w(f^{*}E)=f^{*}w(E)$ $E\to X$ $f:X'\to X$ $f^{*}E$ $X'$
$w_{0}(E)=1$ v . $H^{0}(X;\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$
$w_{1}(\gamma ^{1})$ je generátor (normalizační podmínka). Zde je tautologický svazek . $H^{1}(\mathbb {R} P^{1};\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ $\gamma ^{1}$
$w(E\oplus F)=w(E)\smallsmile w(F)$ ( Vzorec produktu Whitney ).

Lze ukázat, že třídy splňující tyto axiomy skutečně existují a jsou jedinečné (alespoň pro parakompaktní prostor ) [1] $X$

Počáteční stavba

Stiefel-Whitney třídy byly navrženy E. Stiefelem a H. Whitneym jako modulová redukce 2 tříd měřících překážky na konstrukci t. lineárně nezávislého úseku ohraničeného na t. kostře . (Zde je rozměr fibračního vlákna ). $w_{i}(E)$ $(n-i+1)$ $E$ $i$ $X$ $n$ $F$ $E$

Přesněji, pokud jde o CW-komplex , Whitney definoval třídy v th buněčné cohomologické skupině s nestandardními koeficienty. $X$ $W_{i}(E)$ $i$ $X$

Konkrétně se jako koeficienty bere -tá homotopická grupa Stiefelovy variety množin z lineárně nezávislého vektoru ve vrstvě . Whitney dokázal, že pro třídy, které zkonstruoval, pouze tehdy, pokud má svazek omezený na -skeleton lineárně nezávislou sekci. $(i-1)$ $V_{n-i+1}(F)$ $n-i+1$ $F$ $W_{i}(E)=0$ $E$ $i$ $X$ $n-i+1$

Protože homotopická skupina Stiefelovy variety je vždy buď nekonečně cyklická nebo izomorfní , dochází ke kanonické redukci tříd na třídy , které se nazývají Stiefel-Whitney třídy . $\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)$ $\mathbb{Z } _{2}$ $W_{i}(E)$ $w_{i}(E)\in H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$

Zejména pokud , pak se tyto třídy jednoduše shodují. $\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} _{2}$

Související definice

Pokud pracujeme na varietě dimenze , pak jakýkoli produkt Stiefel-Whitney tříd obecného stupně může být spárován s -fundamentální třídou této variety, což vede k prvku ; taková čísla se nazývají Stiefel-Whitney čísla vektorového svazku. Například pro svazek na trojrozměrné manifoldu existují tři lineárně nezávislá Stiefel-Whitney čísla odpovídající , a . V obecném případě, pokud je varieta -rozměrná, různá Stiefel-Whitneyova čísla odpovídají rozdělení do součtu celočíselných členů. $n$ $n$ $\mathbb{Z } _{2}$ $\mathbb{Z } _{2}$ $w_{1}^{3}$ ${\displaystyle w_{1}w_{2))$ ${\displaystyle w_{3))$ $n$ $n$
- Stiefel-Whitney čísla svazku tečny k hladké manifoldu se nazývají Stiefel-Whitney čísla tohoto manifoldu. Jsou to invarianty kobordismu .
Mapa přirozené redukce modulo dva, , odpovídá Bocksteinově homomorfismu ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{2))$ $\beta \colon H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})\to H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} ).$

Obraz třídy pod její akcí, , se nazývá th integer Stiefel-Whitney class .

w_{i}

\beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} )

(i+1)

Zejména třetí celá třída Stiefel-Whitney je překážkou pro stavbu -struktury. $\mathrm {Spin} ^{C}$

Vlastnosti

Pokud má svazek sekce, které jsou lineárně nezávislé na každém bodě, pak . ${\displaystyle E^{k))$ ${\displaystyle s_{1},\;\ldots ,\;s_{\ell ))$ $w_{k-\ell +1}=\ldots =w_{k}=0$
$w_{i}(E)=0$ v . $i>\mathrm {rank} (E)$
První třída Stiefel-Whitney zmizí tehdy a pouze tehdy, pokud je svazek orientovatelný. Zejména rozdělovač je orientovatelný tehdy a pouze tehdy, když . $M$ $w_{1}(TM)=0$
Svazek připouští spinorovou strukturu právě tehdy, když první a druhá Stiefel-Whitneyova třída zmizí.
U orientovatelného svazku leží druhá Stiefel-Whitneyova třída v obrazu přirozené mapy (nebo ekvivalentně tzv. třetí celé číslo Stiefel-Whitneyova třída zaniká) právě tehdy, když svazek připouští -strukturu. $H^{2}(M,\;\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\;\mathbb {Z} _{2})$ $\mathrm {Spin} ^{C}$
Všechna Stiefel-Whitneyova čísla hladkého kompaktního potrubí zmizí právě tehdy, když je toto potrubí hranicí (bez ohledu na orientaci) hladkého kompaktního potrubí. $X$

Literatura

Prasolov VV Základy teorie homologie.
Husemoller D. Fiber Bundles. — Springer-Verlag, 1994.
Milnor J. , Stashev J. Charakteristické třídy. - M .: Mir, 1979. - 371 s.

Poznámky

↑ viz sekce 3.5 a 3.6 Hughesmollerovy knihy nebo sekce 8 v Milnor-Stashew.