Teorie homologie

Teorie homologie ( jiný Řek ὁμός “se rovnat, totožný; společný; vzájemný” a λόγος “doktrína, věda ”) je odvětví matematiky , které studuje konstrukci některých topologických invariantů volal skupiny homologie a cohomology skupiny . Homologické teorie se také nazývají specifické konstrukce homologických skupin.

V nejjednodušším případě je topologický prostor spojen se sekvencí Abelovských homologních skupin vyčíslených přirozenými čísly . Jsou to homotopické invarianty a na rozdíl od homotopických grup se snáze počítají a jsou geometricky přehlednější, ale pro jednoduše spojené prostory nesou stejné množství informací [1] . $X$ $H_{k}(X)$ $k$

Definice homologie je však méně explicitní a používá určitý technický aparát [2] , a proto existuje několik různých teorií homologie – obě definované pouze pro „dobré“ topologické prostory nebo vyžadující další strukturu , a složitější, navržené pro práci s patologické příklady. S výjimkou takových patologických případů se však obvykle shodují: pro buněčné prostory to zajišťují Steenrod-Eilenbergovy axiomy .

Jiné běžné pojmy teorie homologie jsou homologie s koeficienty v abelovské skupině , relativní homologie páru prostorů a kohomologie , jejichž definice jsou v určitém smyslu dvojí k definici homologie. To je často cohomologies, které jsou zvažovány protože přítomnosti násobení na nich , který změní je do stupňované algebry . $H_{k}(X,A)$ $A$ $H_{k}(X,Y)$ $X\supset Y$ $H^{k}(X)$ $H^{k}(X)\otimes H^{l}(X)\to H^{k+l}(X)$

Cohomologie jsou také nazývány invarianty spojené s jinými matematickými objekty - skupiny , Lie algebry , svazky . Spojuje je formální podobnost – například přítomnost v jejich definici konceptu homologie řetězcového komplexu – a v některých případech přítomnost konstrukcí, které spojují takové objekty s topologickými prostory s vhodnými homologiemi.

Obecná definice

Připomeňme, že -tá homotopická grupa prostoru je množinou zobrazení z -dimenzionální sféry do , uvažovaných až po spojitou deformaci . Pro určení homologie jsou zobrazení koulí nahrazena -cykly, které jsou intuitivně reprezentovány jako uzavřené (tj. bez hranic) orientované filmy dimenze uvnitř , ale v různých definicích jsou formalizovány odlišně. Podmínka spojité deformovatelnosti je nahrazena podmínkou, že rozdíl cyklů (jejich spojení, ve kterém je druhý brán s opačnou orientací) je orientovanou hranicí cyklu o jednu dimenzi navíc. $k$ $\pi _{k}(X)$ $X$ $k$ $X$ $H_{k}(X)$ $k$ $k$ $X$

Ve standardní notaci je skupina -cycle (z německého Zyklus - „cyklus“), skupina -boundary je (z angličtiny boundary - „hranice“) a fráze „homologie jsou cykly až po hranice“ se píše jako $k$ $Z_{k}(X)$ $k$ $B_{k}(X)$

H_{k}(X)=Z_{k}(X)/B_{k}(X)

Pro formalizaci této myšlenky je nutné striktně definovat cykly a jejich hranice, což u cyklů dimenze vede k určitým potížím [1] . Řešením je definování přechodného konceptu -řetězové skupiny sestávající z formálních lineárních kombinací zobrazení do některých standardních prvků v závislosti na zvolené konstrukci. Standardní hranice prvku je definována jako lineární kombinace standardních prvků o rozměru o jeden menší s vhodnými orientacemi, což vyvolává mapování hranic . Pak jsou -cykly definovány jako -řetězce s nulovou hranicí (aby rovnost hranice na nulu dávala smysl, je nutné vzít nejen kladné, ale i libovolné lineární kombinace standardních prvků a specifikovat mapu hranic se znakem). Cykly jsou tedy jádrem a okraje jsou obrazem zobrazení okraje: $k>2$ $k$ $C_{k}(X)$ $X$ $\partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)$ $k$ $k$

Z_{k}(X)=Ker(\částečné _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)),~~~~B_{k}(X )=Im(\částečné _{k+1}:C_{k+1}(X)\to C_{k}(X))

Podmínka, že všechny hranice jsou cykly, má podobu podmínky řetězového komplexu : a homologie topologického prostoru je homologií tohoto komplexu. $\partial _{k+1}\circ \partial _{k}=0$

Volba standardních prvků a zobrazení ohraničení se liší v závislosti na teorii. V teorii singulární homologie jsou takové prvky simplexy a mapa hranic spojuje simplex se střídavým součtem jeho tváří. V teorii simpliciální homologie , definované pro simpliciální komplexy , jsou také simplicie, ale ne všechny, ale jsou zahrnuty ve zvoleném simpliciálním rozdělení. V teorii buněčné homologie , definované pro buněčný komplex , se jedná o hypersféry z vhodného skeletu a mapování hranic je složitější.

Homologické teorie

Simpliciální homologie − Homologie je definována pro velmi jednoduché prostory ( simpliciální komplexy ).

Jsou definovány poměrně jednoduše, ale důkaz jejich invariantnosti a funkcionality je poměrně obtížný.

Singulární homologie je další homologická teorie navržená Lefschetzem . Jejich definice vyžaduje práci s nekonečně-dimenzionálními prostory, ale invariance a funkcionalita jsou okamžitě zřejmé.

Cech homologie je homologická teorie nejvíce přizpůsobená pro práci s patologickými prostory.

Homologie s koeficienty v libovolných skupinách

Jeden může definovat homologies tím, že dovolí koeficienty simplices v řetězech být elementy nějaké abelian skupiny . To znamená, že místo skupin zvažte skupiny . $G$ $C_{k}(X)$ $C_{k}(X)\otimes G$

Homologické grupy (jednoduché, singulární atd.) prostorů s koeficienty v grupě se označují . Obvykle se používá grupa reálných čísel , racionální čísla nebo cyklická grupa zbytků modulo - a obvykle se bere - prvočíslo číslo, pak je pole . $X$ $G$ $H_{k}(X;G).$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $m$ $\mathbb {Z} _{m}$ $m=p$ $\mathbb {Z} _{p}$

Další popis. Přihláška do komplexu $C_{*}(X)$

\ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X){\xleftarrow {}}C_{n}(X){\xleftarrow {}}C_{n+1}(X){\ xleftarrow {}}\ldots

funktor , dostaneme komplex $\cdot \otimes G$

\ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n+1 }(X)\otimes G{\xleftarrow {}}\ldots

jehož homologie je homologie s koeficienty v . $G$

Cohomologie

Kromě řetězců můžete zavést koncept cochainů - mapování vektorového prostoru řetězců do skupiny . Tedy prostor cochainů . $G$ $C^{k}(X)=\jméno operátora {Hom} (C_{k}(X),G)$

Hraniční operátor je určen vzorcem: (kde ). Pro takového hraničního operátora také máme $\delta ^{k}:C^{k}\to C^{k+1}$ $(\delta ^{k}x)(c)=x(d_{k+1}c)$ $x\in C^{k},\;c\in C_{k+1}$

\delta ^{k+1}\delta ^{k}=0

, jmenovitě

(\delta ^{k+1}\delta ^{k}(x))(c)=\delta ^{k}x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{ k+2}c)=x(0)=0

Proto, podobně jak bylo řečeno výše, lze zavést pojmy cocycles , coboundaries a cohomology . ${\displaystyle Z^{k}(X,G)=\jméno operátora {Ker} \delta ^{k))$ $B^{k}(X,G)=\jméno operátora {Im} \delta ^{k-1}$ $H^{k}(X,G)=Z^{k}(X,G)/B^{k}(X,G)$

Pojem kohomologie je dvojí s pojmem homologie.

Jestliže je prstenec , pak v kohomologické skupině je definováno přirozené násobení (Kolmogorov-Alexanderův součin nebo -součin), které změní tuto skupinu na odstupňovaný prstenec , nazývaný cohomologický prstenec . $G$ $H^{*}(X,G)$ $\pohár$

V případě, kde je diferencovatelná varieta , lze cohomologický kruh vypočítat pomocí diferenciálních forem na (viz De Rhamův teorém ). $X$ $H^{*}(X,\mathbb {R} )$ $X$

Pojem cohomologie představili Alexander a Kolmogorov .

Relativní homologie a přesná homologická sekvence

Vezměme si případ dvou topologických prostorů . Skupina řetězců (řetězce mohou být buď s celočíselnými koeficienty, nebo s koeficienty v libovolné skupině ). Relativní řetězce budeme nazývat prvky skupiny faktorů . Protože hraniční operátor na homologní grupě podprostoru překládá , je možné definovat hraniční operátor na kvocientové grupě (označíme ho stejným způsobem) . $Y\podmnožina X$ $C_{k}(Y)\podmnožina C_{k}(X)$ $G$ $C_{k}(X,Y)=C_{k}(X)/C_{k}(Y)$ $d$ $Y$ $d_{k}\dvojtečka C_{k}(Y)\to C_{k-1}(Y)$ $C_{k}(X,Y)$ $d_{k}\dvojtečka C_{k}(X,Y)\až C_{k-1}(X,Y)$

Tyto relativní řetězce, do kterých hraniční operátor překládá , se budou nazývat relativní smyčky a řetězce, které jsou jeho hodnotami, jsou relativní hranice . Protože u absolutních řetězců totéž bude platit pro relativní, odtud . Faktorová skupina se nazývá relativní homologická skupina . $0$ $Z_{k}(X,Y)$ $B_{k}(X,Y)$ $dd=0$ $B_{k}(X,Y)\podmnožina Z_{k}(X,Y)$ $H_{k}(X,Y)=Z_{k}(X,Y)/B_{k}(X,Y)$

Protože každý absolutní cyklus v je také relativní, máme homomorfismus Funktorální vlastností vede vkládání k homomorfismu . $H_{k}(X)$ $j_{k}:H_{k}(X)\až H_{k}(X,Y)$ $i_{k}:Y\to X$ $i_{*}:H_{k}(Y)\až H_{k}(X)$

Na druhé straně můžeme sestrojit homomorfismus , který definujeme následovně. Dovolit být relativní řetězec, který definuje cyklus od . Považujte to za absolutní řetězec v (až prvků ). Protože se jedná o relativní cyklus, bude se až do nějakého řetězce rovnat nule . Nastavíme rovnou třídě homologie řetězce . $d_{*k}:H_{k}(X,Y)\až H_{k-1}(Y)$ $c_{k}\in C_{k}(X,Y)$ $H_{k}(X,Y)$ $C_{k}(X)$ $C_{k}(Y)$ $d_{k}c$ $c_{k-1}\in C_{k-1}(Y)$ $d_{*k}$ $c_{k-1}=d_{k}c\in Z_{k-1}(Y)$

Pokud vezmeme další absolutní řetězec definující stejný relativní cyklus, pak budeme mít , kde . Máme , ale protože je to hranice a definujeme stejný prvek ve skupině homologie . Pokud vezmeme další relativní cyklus , který dává stejný prvek ve skupině relativní homologie , kde je relativní hranice, pak kvůli skutečnosti, že hranice pro relativní homologie je , kde , tedy , ale , a je hranice v . $c'_{k}\in C_{k}(X)$ $c=c'+u$ $u\in C_{k} (Y)$ $d_{k}c=d_{k}c'+d_{k}u$ $d_{k}u$ $Z_{k-1}(Y)$ $d_{k}c$ $d_{k}c'$ $H_{k-1}(Y)$ $C''$ $c=c''+b$ $b$ $b$ $b=d_{k+1}x+v$ $v\in C_{k} (Y)$ $d_{k}c=d_{k}c''+d_{k}d_{k+1}x+d_{k}v$ $dd=0$ $d_{k}v$ $Z_{k-1}(Y)$

Proto je třída homologie jednoznačně definována. Z linearity operátoru je zřejmé , že jde o homomorfismus. Máme tedy homomorfismy: $d_{*k}c_{k}$ $d_{*k}$

i_{*k}\dvojtečka H_{k}(Y)\až H_{k}(X)

;

j_{*k}\dvojtečka H_{k}(X)\až H_{k}(X,Y)

d_{*k}\dvojtečka H_{k}(X,Y)\až H_{k-1}(Y)

;

...\do H_{k}(Y)\do H_{k}(X)\do H_{k}(X,Y)\do H_{k-1}(Y)\do ...

Lze dokázat, že tato posloupnost je přesná , to znamená, že obraz libovolného homomorfismu je roven jádru dalšího homomorfismu.

Steenrod-Eilenbergovy axiomy

Kromě již známé jednoduché a singulární homologie existují další teorie homologie a kohomologie, například buněčná homologie , Alexandrov-Čechova cohomologie , de Rhamova kohomologie atd. Steenrod a Eilenberg definovali systém axiomů pro teorii (ko)homologie. Nejprve definují tzv. přípustná třída párů topologických prostorů, která splňuje následující vlastnosti: $D$

Pokud pak a . $(X,Y)\v D,$ $(X,X)\v D,$ $(X,\varnonic )\v D,$ $(Y,Y)\v D$ $(Y,\varnothing )\in D$
If , then a , kde je uzavřený interval [0,1]. $(X,Y)\in D$ $(X\krát I,Y\krát I)\v D$ $já$
$(*,\varnothing )\in D$ , kde je jednobodový prostor. $*$

V Steenrod-Eilenbergově teorii homologie každý přípustný pár a jakékoli celé číslo k odpovídá Abelovské grupě a spojité zobrazení párů odpovídá homomorfismu (Prostor je identifikován s párem ) a s ) , a platí následující axiomy : $H_{k}(X,Y)$ $f\dvojtečka (X,Y)\to (X',Y')$ $f_{*k}\dvojtečka H_{k}(X,Y)\až H_{k}(X',Y')$ $X$ $(X,\varnonic )$ $H_{k}(X)$ $H_{k}(X,\varnothing)$

Identitní mapování páru odpovídá homomorfismu identity . $id$ ${\displaystyle id_{*k))$
$(gf)_{*k}=g_{*k}f_{*k}$ ( funkční )
Hraniční homomorfismus je definován , a jestliže , pak pro odpovídající homomorfismus platí pro jakoukoli dimenzi . $d_{*k}\dvojtečka H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)$ $f\dvojtečka (X,Y)\to (X',Y')$ $f_{*k}\dvojtečka H_{k}(X,Y)\až H_{k}(X',Y')$ $d_{*k}f_{*k}=f_{*k-1}d_{*k}$ $k$
Nechť a být vložení, a být odpovídající homomorfismy, být hraniční homomorfismus. Potom je sekvence, kterou definují, přesná ( axiom přesnosti ). $i\dvojtečka Y\to X$ $j\dvojtečka X\to (X,Y)$ $i_{*k}\dvojtečka H_{k}(Y)\až H_{k}(X)$ $j_{*k}\dvojtečka H_{k}(X)\až H_{k}(X,Y)$ $d_{*k}\dvojtečka H_{k}(X,Y)\až H_{k-1}(Y)$
$\ldots \do H_{k}(Y)\do H_{k}(X)\do H_{k}(X,Y)\do H_{k-1}(Y)\do \ldots$
Pokud jsou zobrazení homotopická , pak jsou odpovídající homomorfismy stejné pro jakoukoli dimenzi ( axiom homotopické invariance ). $f,g\dvojtečka (X,Y)\to (X',Y')$ $f_{*k}=g_{*k}$ $k$
Dovolit být otevřená podmnožina , a jeho uzavření je obsaženo ve vnitřku množiny , Pak pokud páry a patří do přípustné třídy, pak pro jakýkoli rozměr vložení odpovídá izomorfismu ( řezací axiom ). $U\podmnožina X$ $X$ $Y$ $(X\setminus U,Y\setminus U)$ $(X,Y)$ $k$ $(X\setminus U,Y\setminus U)\hookrightarrow (X,Y)$ $H_{k}(X\setminus U,Y\setminus U)\simeq H_{k}(X,Y)$
Pro jednobodový prostor pro všechny rozměry . Abelovská grupa se nazývá grupa koeficientů ( axiom dimenze ). $H_{k}(*)=0$ $k>0$ $G=H_{0}(*)$

Pro singulární homologii se přípustná třída párů skládá ze všech párů topologických prostorů. Dříve definované skupiny singulární homologie s koeficienty v jejich mapovací skupině a hraniční homomorfismus splňují všechny tyto axiomy. Vezmeme-li třídu mnohostěnů jako přípustnou třídu, pak můžeme dokázat, že homologie definované pomocí tohoto systému axiomů se shodují s těmi simpliciálními. $G$ $d_{*}$

Podobně můžeme zavést systém axiomů pro kohomologii, který je zcela analogický.

Jen je potřeba mít na paměti, že zobrazení odpovídá ( kontravariance ) a že koboundary homomorfismus zvětšuje dimenzi. $f\dvojtečka (X,Y)\to (X',Y')$ $f^{*k}\dvojtečka H^{k}(X',Y')\to H^{k}(X,Y)$ $\delta ^{*k}\dvojtečka H^{k-1}(Y)\to H^{k}(X,Y)$

Mimořádná homologie

V systému Steenrod-Eilenbergových axiomů není rozměrový axiom tak důležitý jako ostatní.

Teorie (ko)homologie, které mohou mít nenulové (ko)homologické grupy jednobodového prostoru pro dimenze , se nazývají mimořádné nebo zobecněné. Nejdůležitější mimořádné teorie jsou K-teorie Atiyaha (je třeba poznamenat, že k této teorii významně přispěli Hirzebruch , Bott a Adams ) a teorie bordismu R. Thomy . $k>0$

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Fomenko, Fuchs, 1989 , s. 95.
↑ Hatcher, 2002 , str. 97.

Literatura

Wick J. W. Homology Theory. Úvod do algebraické topologie. — M .: MTsNMO , 2005
Dold A. Přednášky o algebraické topologii. — M. : Mir, 1976
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderní geometrie: Metody teorie homologie. — M .: Nauka, 1984
Seifert G., Trefall W. Topologie. - Iževsk: RHD, 2001
Lefshetz S. Algebraická topologie. — M .: IL, 1949
Topologie Novikov P. S. - 2. vyd. opravit a doplňkové - Iževsk: Institut pro počítačový výzkum, 2002
Prasolov VV Základy teorie homologie. — M .: MTsNMO , 2006
Switzer R. M. Algebraická topologie. — homotopie a homologie. — M .: Nauka, 1985
Spanier E. Algebraická topologie. — M .: Mir, 1971
Steenrod N., Eilenberg S. Základy algebraické topologie. - M .: Fizmatgiz, 1958
Fomenko AT , Fuchs DB Kurz topologie homotopie . - M. : Nauka, 1989. - 528 s. — ISBN 5020139297 .
Hatcher A. Algebraická topologie. - Cambridge University Press, 2002. -ISBN 0521795400.