Integrální logaritmus

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 6. dubna 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Integrální logaritmus je speciální funkce definovaná integrálem

{\mathrm {li}}\,(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.

K odstranění singularity v , se někdy používá logaritmus posunutého integrálu : $x=1$

{\mathrm {Li}}\,(x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.

Tyto dvě funkce spolu souvisí:

{\mathrm {li}}\,(x)-{\mathrm {Li}}\,(x)={\mathrm {li}}\,(2)\cca 1{,}045~163~780~ 117~492\ldots

Integrální logaritmus zavedl Leonhard Euler v roce 1768.

Integrální logaritmus a integrální exponenciální funkce spolu souvisí vztahem:

{\mathrm {li}}\,(x)={\mathrm {Ei}}\,(\ln x).

Integrální logaritmus má jedinou kladnou nulu v bodě ( Ramanujanovo-Soldnerovo číslo ). $\mu \approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots$

Rozšíření řady

Z identity spojující a následuje série: ${\mathrm {li}}\,(x)$ ${\mathrm {Ei}} (\ln x)$

{\mathrm {li}}\,(x)={\mathrm {Ei}}\,(\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{n}}{n\cdot n!}},

kde je Euler-Mascheroniho konstanta . $\gamma \approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots$

Série odvozená Srinivasou Ramanujanem konverguje rychleji :

{\mathrm {li}}\,(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1) )^{{n-1}}(\ln x)^{n}}{2^{{n-1}}n!}}\součet _{{k=0}}^{{\lpatro (n -1)/2\rpodlaží }}{\frac {1}{2k+1}}.

Integrální logaritmus a rozdělení prvočísel

Integrální logaritmus hraje důležitou roli ve studiu distribuce prvočísel . Je to lepší aproximace počtu prvočísel menšího nebo rovného danému číslu než . Pokud je Riemannova hypotéza pravdivá, [ 1] $x/\ln {x}$

\pi (x)=\mathrm {Li} \,(x)+O({\sqrt {x}}\ln ^{2}(x)).

Pro nepříliš velké je však prokázáno, že pro některé dostatečně velké se nerovnosti mění znaménko. Toto číslo se nazývá Skewesovo číslo , v současnosti je známo, že je někde mezi 10 19 [2] a 1,3971672 10 316 ≈ e 727,951336108 [3] . $X$ $\pi (x)<{\mathrm {Li}}\,(x)$ $X$

Poznámky

↑ Moderní. prob. Mat., 2008, číslo 11. - str. 30-31
↑ Jan Buthe. Analytická metoda pro ohraničení ψ ( x ) // Math. Comp. - 2018. - Sv. 87. - S. 1991-2009. - arXiv : 1511.02032 . doi : 10.1090 / mcom/3264 . Důkaz využívá Riemannovu hypotézu.
↑ Yannick Sauter, Timothy Trudgian a Patrick Demichel. Ještě ostřejší oblast, kde π ( x ) − li( x ) je kladné // Math. Comp. - 2015. - Sv. 84. - S. 2433-2446. - doi : 10.1090/S0025-5718-2015-02930-5 . MR : 3356033 _ Tento odhad nevyžaduje Riemannovu hypotézu.

Literatura

Matematický encyklopedický slovník. - M. , 1995. - str. 238.