Kontinuum (teorie množin)

Kontinuum v teorii množin je mocnina (neboli kardinální číslo ) množiny všech reálných čísel . [1] Označuje se malým latinským písmenem c ve stylu lámání : . Množina, která má mohutnost kontinua, se nazývá množina kontinua [2] . $\mathfrak{c}$

Také termín "kontinuum" může znamenat samotnou množinu reálných čísel nebo dokonce jakoukoli množinu kontinua.

Vlastnosti

Kontinuum je síla Boolean spočetné množiny .
Jako mohutnost Booleanu spočetné množiny je kontinuum nekonečnou mohutností [3] přesahující spočetnou mohutnost . V teorii množin s axiomem volby je kontinuum, stejně jako každá nekonečná mohutnost, aleph , a když je pořadové číslo kontinua v řadě alefů označeno písmenem ( ), , tj . . $\zeta$ ${\mathfrak {c}}=\aleph _{\zeta }$ $\zeta >0$ $\aleph _{0}<\aleph _{1}\leq \aleph _{\zeta }={\mathfrak {c}}$
V řadě nekonečných Booleanů [4] kontinuum . ${\displaystyle \gimel _{\xi ))$ ${\mathfrak {c}}=\gimel _{1}$
Předpoklad, že mezi spočetným a kontinuem nejsou žádné mocniny, se nazývá hypotéza kontinua . V teorii množin s axiomem výběru se formuluje jako nebo nebo , kde je dříve zavedené číslo kontinua v řadě alefů. Hypotéza zobecněného kontinua je formulována jako pro jakoukoli ordináli . $\mathfrak{c} = \aleph_1$ ${\displaystyle \gimel _{1}=\aleph _{1))$ $\zeta=1$ $\zeta$ ${\displaystyle \gimel _{\xi }=\aleph _{\xi ))$ $\xi$
Spočetný kartézský stupeň kontinua je kontinuum: , a proto jakýkoli nenulový konečný [5] Kartézský stupeň kontinua je také kontinuum: . ${\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$ $(\forall n\in \mathbb {N} \setminus \left\{0\right\}){\mathfrak {c}}^{n}={\mathfrak {c}}$
V teorii množin s axiomem výběru mohutnost spojení nanejvýš kontinua rodiny množin, z nichž každá je sama nanejvýš kontinuem, nepřekračuje kontinuum, to znamená, že je regulární. $\aleph _{\zeta +1}={\mathfrak {c}}^{+}$
Mohutnost sjednocení nejvýše spočetných rodin nejvýše spočetných množin je nejvýše spočetná, tedy úsek [6] třídy mocnin (jako velký [7] dílčí řád ), jehož nižší třída je nanejvýš počitatelné mocniny, je nepřekonatelný „podle Pythagora “ [8] , tedy v teorii množin s axiomem volby je regulární. V důsledku toho je kontinuum (stejně jako ) nedosažitelné „podle Pythagora“ z více než počitatelných mocnin – nelze jej získat spojením více než spočítatelného počtu ne více než spočítatelných. $\aleph_1$ $\aleph_1$
Při rozdělení množiny kontinua na konečný nebo spočetný počet částí bude mít alespoň jedna z částí mohutnost kontinua. V důsledku toho je v teorii množin s axiomem volby uzavřenost kontinua nepočitatelná.

Původ termínu

Více než jednobodové spojité ("kontinuum") řády , tedy řády se spojenou přirozenou topologií , se původně nazývaly kontinua . Z hlediska vlastního pořadí to znamená, že jakákoli jeho část je Dedekind .

Kontinuum jako celek může nebo nemusí mít minimální a maximální prvky, to znamená, že jeho konce mohou být „otevřené“ i „uzavřené“.

Minimální (tj. obsažené v jakémkoli kontinuu) kontinuum je skutečná čára (s otevřeným i uzavřeným koncem).

Jakákoli objednávka může být dokončena do kontinua, což znamená, že kontinua mohou mít neomezeně velké mohutnosti . V kardinálních řadách se označují , kde je pořadové číslo kontinua. ${\mathfrak {c}}_{\xi }$ $\xi$

Minimální dokončení objednávky až do kontinua je konstruováno vyplněním slotů dalšími body a skoky segmenty (0, 1) bez konců.

Následně se termín "kontinuum", který překročil meze specifických ordinálních úvah, v teorii množin (a po ní - ve zbytku matematiky) zúžil na správnou reálnou čáru a "síla kontinua" se stala, podle toho jeho moc. V budoucnu se samotné síle kontinua začalo říkat „kontinuum“ . Naproti tomu v topologii byl tento pojem rozšířen na jakoukoli připojenou kompaktní Hausdorffovu topologii (spojenou kompaktní množinu), bez ohledu na to, zda je daná topologie původu řádu, zatímco některá kontinua ve starém smyslu (například reálná čára s otevřenými konci) se již za takové nepovažují z důvodu ztráty kompaktnosti. V současné době se s užíváním termínu „kontinuum“ v původním smyslu setkáváme především pouze v relativně staré literatuře. ${\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}_{0}$ $\mathfrak c$

Příklady

Příklady množin s mohutností kontinua:

Všechny body reálné čáry (množina reálných čísel ). $(-\infty,+\infty)$ $\mathbb {R}$
Všechny body segmentu . $[0, 1]$
Všechny body roviny (nebo ‑rozměrného prostoru , ). $\mathbb {R} ^{2}$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n\neq 0$
Množina všech iracionálních čísel.
Množina všech transcendentálních čísel.
Množina všech podmnožin spočetné množiny.
Množina všech dílčích zakázek na počitatelné množině.
Množina všech spočetných množin přirozených čísel.
Množina všech spočetných množin reálných čísel.
Sada všech spojitých funkcí . $\R \do \R$
Množina všech otevřených podmnožin roviny (nebo ). $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$
Množina všech uzavřených podmnožin roviny (nebo ). $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$
Množina všech borelských podmnožin roviny (nebo ). $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$
Sada Cantor

Poznámky

↑ Khinchin A. Ya. Osm přednášek o matematické analýze. - M.-L., Gostekhizdat, 1948. - str. jedenáct
↑ Průvodce matematikou Kurinnaya G. Ch.
↑ Viz nekonečná množina .
↑ Řada nekonečných booleovských hodnot je definována jako ; ; . $\gimel _{0}=\aleph _{0}$ $\gimel _{\xi +1}=|{\mathcal {P))(\gimel _{\xi })|$ ${\displaystyle \gimel _{\sup u}=\sup _{\xi \in u}\gimel _{\xi ))$
↑ Viz konečná množina .
↑ Rozdělení předřádu hmyzu do dvou oddělených tříd: horní a dolní. Jakýkoli prvek menší nebo roven některému z nižších je sám v dolním, větší nebo roven kterémukoli z horních je sám v horním. Pokud je některá z tříd prázdná, sekce je nesprávná.
↑ Předpokládá se použití nějakého způsobu řešení formálních složitostí spojených s velkými objekty: teorie s třídami, ponoření do univerzální množiny atd.
↑ Sám řekl: jednotka generuje existenci, dvojka - neurčitou množinu.