Vazební koeficient rezonátorů

Vazební koeficient rezonátorů je bezrozměrná veličina, která charakterizuje míru interakce mezi dvěma rezonátory

Vazební koeficienty se používají v teorii rezonátorových filtrů . Filtrační rezonátory mohou být buď elektromagnetické, nebo akustické. Spolu s rezonančními frekvencemi a vnějšími faktory kvality rezonátorů jsou vazební koeficienty zobecněnými parametry filtru. Pro implementaci úpravy amplitudově-frekvenční charakteristiky filtru zcela postačí omezit se na optimalizaci pouze těchto zobecněných parametrů.

Vývoj definice pojmu

Tento termín poprvé zavedl do teorie filtrů M. Dishal [1]. Do jisté míry je analogický s vazebním koeficientem dvou indukčností nebo vazebním koeficientem dvou oscilačních obvodů . Význam tohoto termínu byl opakovaně zpřesňován s rozvojem teorie spřažených rezonátorů a filtrů. Novější definice koeficientu zobecňují nebo zpřesňují předchozí definice.

Vazební faktor, viděný jako kladná konstanta

Z raných definic vazebního koeficientu rezonátorů jsou široce známé definice obsažené v monografii G. Mattei et al [2]. Ihned je třeba poznamenat, že tyto definice jsou přibližné, protože jsou formulovány za předpokladu, že vazba mezi rezonátory je dostatečně malá. V monografii [2] je vazební koeficient pro případ dvou stejných rezonátorů určen vzorcem $k$

$k=|f_{o}-f_{e}|/f_{0},$ (jeden)

kde jsou frekvence sudých a lichých spojených oscilací nezatíženého páru rezonátorů a $f_{e},$ ${\displaystyle f_{o))$ $f_{0}={\sqrt {f_{o}f_{e))}.$ $f_{0}.$

V případě, že pár spřažených rezonátorů se stejnými rezonančními frekvencemi lze porovnat s odpovídajícím ekvivalentním obvodem s odporovým (vodivostním) měničem zatíženým na obou stranách rezonančních dvousvorkových sítí , je vazební koeficient určen vzorcem $k$

${\displaystyle k=K_{12}/{\sqrt {x_{1}x_{2))))$ (2)

pro sériové rezonátory a vzorec

${\displaystyle k=J_{12}/{\sqrt {b_{1}b_{2))))$ (3)

pro paralelní rezonátory. Zde jsou parametry odporového měniče a měniče vodivosti, jsou parametry strmosti reaktance prvního a druhého rezonátoru sériového typu při rezonanční frekvenci a jsou parametry strmosti reaktivní vodivosti první a druhý rezonátor paralelního typu. $K_{12},$ $J_{{12}}$ $x_{1},$ $x_{2}$ $f_{0},$ $b_{1},$ $b_{2}$

Když rezonátory kmitají LC obvody, vazební koeficient podle vzorců (2) a (3) nabývá hodnoty

${\displaystyle k_{L}=L_{m}/{\sqrt {L_{1}L_{2))))$ (čtyři)

u rezonátorů s indukční vazbou a hodnotu

$k_{C}=C_{m}/{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m)))))$ (5)

pro rezonátory s kapacitní vazbou. Zde je indukčnost a kapacita prvního obvodu, indukčnost a kapacita druhého obvodu a interloop (vzájemná) indukčnost a interloop kapacita. Vzorce (4) a (5) jsou již dlouho známy v teorii elektrických obvodů. Vyjadřují hodnoty koeficientů indukční a kapacitní vazby oscilačních obvodů. $L_{1},$ $C_{1}$ $L_{2},$ $C_{2}$ $L_{m},$ $Cm$

Koeficient vazby, viděný jako konstanta se znaménkem

Zpřesnění přibližného vzorce (1) bylo provedeno v [3]. Přesný vzorec je

$k=(f_{o}^{2}-f_{e}^{2})/(f_{o}^{2}+f_{e}^{2}).$ (6)

Při odvozování tohoto výrazu byly použity vzorce (4) a (5). Formule (6) se stala všeobecně uznávanou. Zejména je to uvedeno v často citované monografii J-Sh. Hong [4]. Je vidět, že vazební koeficient rezonátorů má zápornou hodnotu, jestliže $k$ $f_{o}<f_{e}.$

Podle definice (6) je koeficient indukční vazby oscilačních obvodů stále vyjádřen vzorcem (4). Má kladnou hodnotu pro a zápornou hodnotu pro $k_{L}$ $L_{m}>0$ $L_{m}<0.$

Koeficient kapacitní vazby oscilačních obvodů je vždy záporný. Podle (6) má vzorec (5) pro kapacitní vazební koeficient oscilačních obvodů jinou podobu ${\displaystyle k_{C))$

$k_{C}=-C_{m}/{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m}))).$ (7)

Komunikace mezi elektromagnetickými rezonátory může být prováděna jak magnetickým , tak elektrickým polem . Vazba v magnetickém poli je charakterizována indukčním vazebním koeficientem a vazba v elektrickém poli je charakterizována kapacitním vazebním koeficientem. Absolutní hodnoty \ u200b \u200b obvykle klesají monotónně s rostoucí vzdáleností mezi rezonátory. Rychlost poklesu jednoho z nich se může lišit od rychlosti poklesu druhého. Absolutní hodnota součtu koeficientů a může však nejen klesat, ale i narůstat v určité oblasti s rostoucí vzdáleností [5]. $k_{L},$ $k_{C}.$ $k_{L}$ ${\displaystyle k_{C))$ $k_{L}$ ${\displaystyle k_{C))$

Sčítání koeficientů indukční a kapacitní vazby rezonátorů se provádí podle vzorce [3]

$k=(k_{L}+k_{C})/(1+k_{L}k_{C}).$ (osm)

Tento vzorec je získán z definice (6) při zohlednění vzorců (4) a (7).

Je třeba poznamenat, že na znaménku samotného vazebního koeficientu nezáleží. Vlastnosti rezonátorového filtru se nezmění, pokud jsou znaménka všech vazebních koeficientů v něm současně obrácena. Je to však důležité při porovnávání dvou vazebných koeficientů a zejména při sčítání koeficientů indukční a kapacitní vazby. $k$

Koeficient vazby, uvažovaný jako funkce frekvence vynucených oscilací

Dva spřažené rezonátory mohou interagovat nejen na rezonančních frekvencích. To je potvrzeno možností přenosu energie vynucených kmitů z jednoho rezonátoru na druhý. Proto je správnější charakterizovat interakci rezonátorů nikoli souborem konstant odpovídajících diskrétnímu spektru rezonančních frekvencí, ale jednou spojitou funkcí frekvence vynucených kmitů. $k_{i},$ $f_{i},$ $k(f).$

Je zřejmé, že tato funkce musí splňovat podmínku

$k(f)|_{f=f_{i}}=k_{i}.$ (9)

Kromě toho musí funkce zaniknout na těch frekvencích, na kterých nedochází k přenosu vysokofrekvenčního výkonu z jednoho rezonátoru na druhý, to znamená, že musí splňovat i druhou podmínku $k(f)$ $f_{z},$

$k(f)|_{f=f_{z}}=0.$ (deset)

K nulovému přenosu výkonu dochází zejména v oscilačních obvodech s kombinovanou indukčně-kapacitní vazbou, kdy vzájemná indukčnost Její frekvence je vyjádřena vzorcem [6] $L_{m}>0.$ ${\displaystyle f_{z))$

$f_{z}={\sqrt {L_{m}/[(L_{1}L_{2}-L_{m}^{2})C_{m}]}}/(2\pi ) .$ (jedenáct)

Na základě energetického přístupu byla v [6] formulována definice funkce, která zobecňuje vzorec (6) a splňuje podmínky (9) a (10). Tato funkce podle vzorce (8) je vyjádřena prostřednictvím frekvenčně závislých koeficientů indukční a kapacitní vazby a určena pomocí vzorců $k(f),$ $k_{L}(f)$ $k_{C}(f),$

$k_{L}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12L}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+ {\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}},$ (12)

$k_{C}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12C}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+ {\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}}.$ (13)

Zde označuje energii vysokofrekvenčního elektromagnetického pole uložené oběma rezonátory. Čára nahoře označuje konstantní složku energie a tečka amplitudu oscilující složky energie. Index označuje magnetickou část energie a index označuje elektrickou část energie. Indexy 11, 12 a 22 označují části uložené energie úměrné a, v tomto pořadí , kde je komplexní amplituda napětí na portu prvního rezonátoru a je komplexní amplituda napětí na portu druhého rezonátoru. $W$ $W$ $L$ $C$ $|U_{1}|^{2},$ $|U_{1}||U_{2}|$ $|U_{2}|^{2},$ $U_{1}$ $U_{2}$

Zejména z definic (12) a (13) jsou získány vzorce pro frekvenční závislost koeficientů indukční a kapacitní vazby libovolných oscilačních obvodů [6]

$k_{L}(f)={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{ 1}^{-2}f^{2})(1+f_{2}^{-2}f^{2})}}},$ (čtrnáct)

$k_{C}(f)={\frac {-C_{m)){\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m))))) {\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{2}f^{-2})(1+f_{2}^{2}f^{-2})))}.$ (patnáct)

kde jsou rezonanční frekvence prvního a druhého obvodu, narušené vazbami. Je vidět, že hodnoty funkcí a pro se shodují s konstantami a jsou definovány pomocí vzorců (4) a (5). Navíc funkce vypočítaná podle vzorců (8), (14) a (15) zaniká s frekvencí vyjádřenou vzorcem (11). $f_{1},f_{2}$ $k_{L}(f)$ $k_{C}(f)$ ${\displaystyle f=f_{1}=f_{2))$ $k_{L}$ $k_{C},$ $k(f),$ $f_{z},$

Vazební koeficienty v teorii filtrů

Pásmové filtry s topologií lineární vazby

Teorie mikrovlnných úzkopásmových pásmových filtrů s Čebyševovou frekvenční charakteristikou je popsána v monografii [2]. V takových filtrech jsou rezonanční frekvence všech rezonátorů naladěny na střední frekvenci dané šířky pásma.Každý z rezonátorů je připojen k nejvýše dvěma sousedním rezonátorům. Každý ze dvou vnějších rezonátorů je připojen k jednomu sousednímu rezonátoru ak jednomu ze dvou filtračních portů. Takováto topologie zapojení rezonátorů se nazývá lineární. S topologií lineárního spojení existuje pouze jeden kanál pro průchod mikrovlnné energie ze vstupního portu do výstupního portu. $f_{0}.$

Pro filtry s lineární topologií zapojení poskytuje monografie [2] odvození přibližných vzorců pro hodnoty vazebných koeficientů sousedních rezonátorů odpovídajících dané amplitudově-frekvenční charakteristice filtru, kde a jsou pořadová čísla spojených rezonátorů. Při odvozování vzorců byly použity prototypové filtry dolní propusti a také vzorce (2) a (3). Amplitudo-frekvenční charakteristiky prototypových filtrů jsou popsány Chebyshevovými polynomy . Tyto vzorce byly poprvé publikovány v [7]. Vypadají jako $k_{i,i+1},$ $i$ $i+1$

$k_{i,i+1}={\frac {f_{2}-f_{1}}{\sqrt {f_{2}f_{1}g_{i}g_{i+1}}} },$ (16)

kde jsou normalizované parametry prototypu dolní propusti, je řád Čebyševova polynomu, rovný počtu rezonátorů ve filtru, jsou mezní frekvence propustného pásma. $g_i$ $(i=0,1,2...n+1)$ $n$ $f_{1},f_{2}$

Hodnoty normalizovaných parametrů pro danou šířku pásma filtru jsou vypočteny pomocí vzorců $g_i$

$g_{0}=1,$ $g_{1}=2a_{1}/\gamma ,$

$g_{k}={\frac {4a_{k-1}a_{k}}{b_{k-1}g_{k-1}}},$ $k=2,3\tečky n,$ (17)

$g_{n+1}=1,$ pokud dokonce, $n$

$g_{n+1}=\mathrm {cth} \,^{2}(\beta /4),$ pokud je lichý. $n$

Zde používáme notaci

$\beta =2\mathrm {arth} \,{\sqrt {10^{-\Delta L/10}}},$ $\gamma =\mathrm {sh} \,({\frac {\beta }{2n)))$ (osmnáct)

$a_{k}=\mathrm {sin} \,{\frac {2(k-1)\pi }{2n)),$ $b_{k}=\gamma ^{2}+\mathrm {sin} \,^{2}(k\pi /n),$ $(k=1,2...n),$

kde je požadované zvlnění útlumu propustného pásma, vyjádřené v decibelech. $\Delta L$

Vzorce (16) jsou přibližné nejen proto, že při jejich odvození byly použity přibližné definice koeficientů (2) a (3). Přesné výrazy pro vazební koeficienty v prototypovém filtru byly získány v [8]. I po upřesnění však tyto vzorce zůstávají při navrhování skutečných filtrů přibližné. Jejich přesnost závisí na konstrukci filtru a konstrukci jeho rezonátorů. Zvyšuje se se snižující se relativní šířkou pásma.

V [9] bylo ukázáno, že příčina chyby vzorců (16) a jejich zpřesněné verze souvisí s frekvenčním rozptylem vazebních koeficientů, který se u rezonátorů a filtrů různých konstrukcí může značně lišit. Jinými slovy, optimální hodnoty vazebných koeficientů na frekvenci závisí nejen na parametrech požadované šířky pásma filtru, ale také na hodnotách derivací. To znamená, že přesné hodnoty koeficientů poskytnutí požadované šířky pásma filtru nemůže být předem známo. Lze je nastavit až po optimalizaci filtru. Proto lze vzorce (16) použít pouze jako počáteční hodnoty pro zobecněné parametry filtru před jejich optimalizací. $k_{i,i+1}$ $f_0$ $dk_{i,i+1}(f)/df|_{f=f_{0)).$ $k_{i,i+1},$

Přibližné vzorce (16) také umožňují stanovit řadu obecných vzorů, které jsou vlastní všem filtrům s lineární topologií spojení. Například zvýšení aktuální šířky pásma filtru vyžaduje přibližně proporcionální zvýšení všech vazebních koeficientů .Koeficienty jsou symetrické kolem centrálního rezonátoru nebo středního páru rezonátorů, dokonce i ve filtrech s nestejnou impedancí přenosového vedení na vstupních a výstupních portech. Hodnota koeficientů při přechodu z vnějších párů rezonátorů na centrální pár monotónně klesá. $k_{i,i+1}.$ $k_{i,i+1}$ $k_{i,i+1}$

Reálné návrhy filtrů s topologií lineární vazby, na rozdíl od jejich prototypových filtrů, mohou mít v dorazových pásmech nuly přenosu [10]. Přenosové nuly výrazně zlepšují selektivní vlastnosti filtrů. Jedním z důvodů výskytu nul je frekvenční rozptyl vazebních koeficientů pro jeden nebo několik párů filtračních rezonátorů, který se projevuje jejich zánikem při výkonové nulové frekvenci [11]. $k_{i,i+1}$

Cross-coupled pásmové filtry

Pro vytvoření nulových hodnot přenosu v zastavovacích pásmech filtrů za účelem zvýšení jejich selektivních vlastností se ve filtrech často vytvářejí kromě nejbližších spojů další spoje mezi rezonátory, které se nazývají křížové spoje. Taková spojení vedou k vytvoření několika kanálů pro průchod elektromagnetické vlny ze vstupního portu filtru do výstupního portu. Amplitudy vln, které prošly různými kanály filtru, když se sečtou na výstupu, mohou být na jednotlivých frekvencích zcela zrušeny, což vede k vytvoření nulových hodnot přenosu.

Pro popis zapojení rezonátorů v takových filtrech se používá matice rozměrů [12, 4]. Je symetrická. Každý jeho mimodiagonální prvek je vazebním koeficientem i -tého a j - tého rezonátoru.Každý diagonální prvek je reaktance ( immitance ) i -tého rezonátoru na střední frekvenci . V laděném filtru jsou všechny prvky rovny nule, takže reaktance na rezonančních frekvencích mizí. $\mathbf {M}$ $n\krát n$ ${\displaystyle M_{ij))$ $k_{ij}.$ ${\displaystyle M_{ii))$ $f_0$ ${\displaystyle M_{ii))$

Výhodou matic je, že umožňují přímo vypočítat frekvenční charakteristiku pro ekvivalentní filtrační obvod obsahující indukčně vázané oscilační obvody [12, 4]. Proto je vhodné je použít při navrhování křížově spřažených filtrů. Zejména matice se často používají při optimalizaci filtrů jako jejich hrubý model. Použití hrubého modelu umožňuje mnohonásobně urychlit optimalizaci filtru díky tomu, že výpočet frekvenční charakteristiky hrubého modelu prakticky nevyžaduje počítačový čas ve srovnání s výpočtem odezvy reálného filtru. $\mathbf {M}$ $\mathbf {M}$

Poznámky

Literatura

Dishal. M. Návrh disipativních pásmových filtrů produkujících požadované přesné amplitudově-frekvenční charakteristiky // Proc. HNĚV. — září 1949. - Sv. 37. - č. 9. - S. 1050-1069.
Mattei G. L., Young L., Jones E. M. T. Mikrovlnné filtry, přizpůsobovací obvody a komunikační obvody. T. 1. - M .: Komunikace, 1971. - 439 s.
Tyurnev VV, Belyaev BA Interakce paralelních mikropáskových rezonátorů // Elektronnaya Tekhnika. Ser. Mikrovlnná elektronika. - 1990. Vydání. 4(428). - S. 25-30.
hong js. Mikropáskové filtry pro RF/mikrovlnné aplikace. - Hoboken: John Wiley & Sons, Inc., 2011. - 635 s.
Belyaev B. A., Titov M. M., Tyurnev V. V. Koeficient vazby nepravidelných mikropáskových rezonátorů. Izvestiya vuzov. Radiofyzika. - 2000. - T. 43. - č. 8. - S. 722-727.
Tyurnev VV Koeficient vazby asymetrického páru mikrovlnných rezonátorů // Radiotechnika a elektronika. - 2002. - T. 47. - č. 1. - S. 5-13.
Cohn SB Filtr přímého rezonátoru // Proc. HNĚV. - 1957. - V. 45. - č. 2. - S. 187-196.
Tyurnev VV Přímé odvození a upřesnění zobecněných Kohn-Matteiových vzorců pro vazebné koeficienty rezonátorů v mikrovlnném filtru Radiotekhnika i elektronika. - 2008. - T. 53. - č. 5. - S. 584-587.
Tyurnev VV Vliv frekvenční disperze vazebných koeficientů rezonátorů na chybu vzorců pro přímou syntézu mikrovlnných filtrů Radiotekhnika i elektronika. - 2009. - T. 54. - č. 3. - S. 314-317.
Belyaev B. A., Leksikov A. A., Tyurnev V. V. Frekvenčně selektivní vlastnosti vícečlánkových filtrů založených na pravidelných mikropáskových rezonátorech // Radiotechnika a elektronika. - 2004. - T. 49. - Č. 11. - S. 1315-1324.
Belyaev B. A., Tyurnev V. V. Frekvenčně závislé vazebné koeficienty mikropáskových rezonátorů // Elektronnaya Tekhnika. Ser. mikrovlnná technologie. - 1992. - Vydání. 4(448). - S. 23-27.
Cameron RJ, Kudsia CM, Mansour RR Mikrovlnné filtry pro komunikační systémy: základy, design a aplikace. - Hoboken: John Wiley & Sons, Inc., 2007. - 771 s.

Odkazy

VV Tyurněv. Vazební koeficienty rezonátorů v teorii mikrovlnných filtrů // Progress In Electromagnetics Research B, V. 21, S. 47-67, 2010.