Tvarový faktor

Faktor tvaru je poměr střední kvadratické hodnoty veličiny ke střednímu modulu (průměrné absolutní hodnotě) stejné veličiny. Pokud je závislost této hodnoty na jiné proměnné vykreslena jako graf, pak faktor tvaru ukáže, jak moc se tvar této čáry liší od vodorovné přímky. Tvarový faktor konstantní funkce je roven jedné.

Tvarový faktor se často používá v elektronice při popisu závislosti proudu nebo napětí na čase. Ukazuje, jak moc se tvar vlny střídavého proudu liší od tvaru stejnosměrného proudu o stejném průměrném výkonu. Ten lze také popsat jako proud, který generuje stejné teplo při stejné zátěži po stejně dlouhou dobu.

Výpočet tvarového faktoru.

Pro funkci , která je konečná a spojitá v časovém intervalu T, lze střední kvadraturu za tento časový interval vypočítat pomocí integrálu: $x(t)$

$X_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{[x(t)] }^{2}\,dt}}}$

Průměrný modul se vypočítá pomocí integrálu absolutní hodnoty ve stejném intervalu:

$X_{\mathrm {arv} }={1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{|x(t)|\,dt} }$

Poměr těchto dvou veličin je tvarový faktor, obvykle označovaný . ${\displaystyle k_{\mathrm {f} ))$

$k_{\mathrm {f} }={X_{\mathrm {rms} } \over X_{\mathrm {arv} }}={\frac {\sqrt {{1 \over {T}}{\ int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{[x(t)]}^{2}\,dt}}}{{1 \over {T}}{\int _{t_ {0}}^{t_{0}+T}{|x(t)|\,dt))))={\frac {\sqrt {T\int _{t_{0}}^{t_{0 }+T}{{[x(t)]}^{2}\,dt))}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{|x(t)|\ ,dt}}}$

Přestože obě střední hodnoty (a , a ) charakterizují vzdálenost křivky od nuly, efektivní hodnota také odráží variabilitu této vzdálenosti, protože velké a malé odchylky od nuly k ní přispívají neúměrně. ${\displaystyle X_{\mathrm {rms} ))$ $X_{\mathrm {arv} }$ ${\displaystyle X_{\mathrm {rms} ))$

RMS je vždy větší nebo rovna . Tvarový faktor proto nemůže být menší než 1 a nemá žádnou teoretickou horní mez. ${\displaystyle X_{\mathrm {rms} ))$ $X_{\mathrm {arv} }$

Pokud lze komplexní periodický signál reprezentovat jako součet N sinusových signálů (harmonických) různých frekvencí, pak lze efektivní hodnotu komplexního signálu vypočítat následovně:

$X_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{{X_{\mathrm {rms1} }}^{2}}+{{X_{\mathrm {rms2} }}^{2}}+ ...+{{X_{\mathrm {rmsN} }}^{2}}}}$

Současně se průměrný modul komplexního signálu jednoduše rovná součtu průměrných modulů harmonických: . ${\displaystyle X_{\mathrm {arv} }=X_{\mathrm {arv1} }+X_{\mathrm {arv2} }+...+X_{\mathrm {arvN} ))$

Proto lze tvarový faktor komplexního periodického signálu vypočítat podle vzorce:

$k_{\mathrm {f} _{\mathrm {tot} }}={X_{\mathrm {rms} } \over X_{\mathrm {arv} }}={\frac {\sqrt {{{ X_{\mathrm {rms1} }}^{2}}+{{X_{\mathrm {rms2} }}^{2}}+...+{{X_{\mathrm {rmsN} }}^{2 }}}}{X_{\mathrm {arv1} }+X_{\mathrm {arv2} }+...+X_{\mathrm {arvN} }}}$ .

Aplikace

Digitální přístroje střídavého proudu jsou často stavěny s ohledem na určitou formu časové závislosti. Například mnoho AC DMM, které zobrazují efektivní proud, ve skutečnosti vypočítává průměrný modul proudu a násobí jej faktorem tvaru vlny pro sinusový proud. Přestože je tato metoda jednodušší, přináší chyby pro nesinusové proudy.

Jak výpočet čtverce v , tak výpočet modulu v vedou k nezávislosti znaménka funkce. Proto faktor tvaru vlny střídavého směru, pokud je jeho průměrná hodnota nula, zůstane po jeho úplné nápravě stejný. ${\displaystyle X_{\mathrm {rms} ))$ $X_{\mathrm {arv} }$

Tvarový koeficient je nejmenší ze tří vlnových koeficientů, další dva jsou a , kde X_\mathrm{max} je největší hodnota funkce ve stejném časovém intervalu. ${\displaystyle k_{\mathrm {f} ))$ $k_{\mathrm {a} }={\frac {X_{\mathrm {max} }}{X_{\mathrm {rms} }}}$ $k_{\mathrm {av} }={\frac {X_{\mathrm {max} }}{X_{\mathrm {arv} }}}$

$k_{\mathrm {av} }\geq k_{\mathrm {a} }\geq k_{\mathrm {f} }$ [jeden]

Tyto tři koeficienty jsou ve vztahu , takže tvarový faktor lze vypočítat následovně: . $k_{\mathrm {av} }=k_{\mathrm {a} }k_{\mathrm {f} }$ $k_{\mathrm {f} }={\frac {k_{\mathrm {av} }}{k_{\mathrm {a} }}}$

Tvarové faktory některých funkcí důležitých v elektronice

Nechť písmeno označuje maximální odchylku funkce od nuly (u některých funkcí se tato hodnota shoduje s amplitudou). Může být například reprezentován jako . Protože jak efektivní hodnota, tak střední modul jsou úměrné této hodnotě, neovlivňuje tvarový faktor a může být při výpočtu nahrazen 1. $A$ $8\sin(t)$ $f(t)=a\sin(t),\ a=8$

Označme pracovní cyklus, tedy poměr doby pulzu (když funkce není rovna nule) k periodě . Mnohé z nejjednodušších periodických funkcí dosahují nuly pouze po nekonečně krátké okamžiky a pro ně . $D={\frac {\tau }{T))$ $\tau$ $T$ $\tau =T,D=1$

Průběh	RMS hodnota	Střední modul	Tvarový faktor
sinusoida	${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2))))$	$a{\frac {2}{\pi }}$	${\frac {\pi }{2{\sqrt {2))))\cca 1,11072073$
Poloupravený sinus	${\frac {a}{2))$	${\frac {a}{\pi ))$	${\frac {\pi }{2}}\cca 1,5707963$
Usměrněná sinusovka	${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2))))$	$a{\frac {2}{\pi }}$	${\frac {\pi }{2{\sqrt {2))))$
Meandr	$A$	$A$	${\frac {a}{a}}=1$
Obdélníkový jednosměrný signál	$a{\sqrt {D))$	$ad$	${\frac {1}{\sqrt {D}}}={\sqrt {\frac {T}{\tau }}}$
trojúhelníková vlna	${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {3))))$	${\frac {a}{2))$	${\frac {2}{\sqrt {3}}}\cca 1,15470054$
pilový signál	${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {3))))$	${\frac {a}{2))$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3))))$
Aditivní bílý gaussovský šum U (-1,1)	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\frac {1}{2))$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3))))$

Poznámky

↑ Dusza, Jacek. Podstawy Miernictwa (Základy měření) : [] / Jacek Dusza, Grażyna Gortat, Antoni Leśniewski. — Warszawa: Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej, 2002. — S. 136–142, 197–203. — ISBN 83-7207-344-9 .