Drucker-Pragerovo kritérium pevnosti

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 10. září 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Drucker-Pragerovo pevnostní kritérium je model závislý na zatížení, který určuje chování nebo porušení některých materiálů pod vlivem plastické deformace. Toto kritérium bylo vyvinuto k popisu plastické deformace jílovitých zemin a lze jej také použít k popisu porušení kamenitých zemin, betonu, polymerů, pěn a dalších materiálů závislých na tlaku.

Pojmenovaný po Danielu Druckerovi a Pragerovi , kteří tento model vyvinuli v roce 1952 [1] .

Formulace

Kritérium je popsáno následujícím vzorcem:

{\sqrt {J_{2}}}=A+B~I_{1}

kde je první invariant tenzoru napětí a je druhý invariant deviátoru [2] tenzoru napětí . Konstanty jsou stanoveny experimentálně. $I_1$ $J_{2}$ $A,B$

Z hlediska ekvivalentních napětí (nebo von Misesových napětí ) a hydrostatických napětí lze Drucker-Pragerovo kritérium zapsat jako:

{\displaystyle \sigma _{e}=a+b~\sigma _{m))

kde je ekvivalentní napětí, je hydrostatické napětí a jsou materiálové konstanty. Drucker-Pragerovo kritérium vyjádřené v Haig-Westergaardových souřadnicích takto: $\sigma _{e}$ ${\displaystyle \sigma _{m))$ $a,b$

{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\sqrt {3}}~B\xi =A

Drucker-Pragerova kluzná plocha je vyhlazená verze Mohr-Coulombova kluzného povrchu .

Výrazy pro A a B

Drucker-Pragerův model lze napsat z hlediska hlavních napětí:

{\sqrt {{\cfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}=A+B~(\sigma _{1}+\sigma _ {2}+\sigma _{3})~.

Pokud je jednoosá pevnost v tahu, Drucker-Pragerovo kritérium znamená: $\sigma _{t}$

{\cfrac {1}{\sqrt {3}}~\sigma _{t}=A+B~\sigma _{t}~.

Pokud je konečná pevnost v jednoosé kompresi, Drucker-Pragerovo kritérium znamená: $\sigma _{c}$

{\cfrac {1}{\sqrt {3}}~\sigma _{c}=AB~\sigma _{c}~.

Když vyřešíme tyto 2 rovnice, dostaneme

A={\cfrac {2}{\sqrt {3))}~\left({\cfrac {\sigma _{c}~\sigma _{t)){\sigma _{c}+\ sigma _{t))}\right)~;~~B={\cfrac {1}{\sqrt {3))}~\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c }}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~.

Jednoosý asymetrický koeficient

Pomocí Drucker-Pragerova modelu byla predikována různá kritéria jednoosé pevnosti v tahu a tlaku. Jednoosý asymetrický koeficient pro Drucker-Pragerův model:

\beta ={\cfrac {\sigma _{\mathrm {c} }}{\sigma _{\mathrm {t} }}}={\cfrac {1-{\sqrt {3}}~B }{1+{\sqrt {3}}~B}}~.

Vyjádření z hlediska úhlu tření a soudržnosti

Protože Drucker-Pragerova kluzná plocha je vyhlazenou verzí Mohr-Coulombovy kluzné plochy, je často vyjádřena pomocí koheze ( ) a úhlu vnitřního tření ( ), které se používají v Mohr-Coulombově teorii . Pokud předpokládáme, že Drucker-Pragerova kluzná plocha je popsána blízko Mohr-Coulombovy kluzné plochy, pak výrazy pro a jsou následující: $C$ $\phi$ $A$ $B$

A={\cfrac {6~c~\cos \phi }({\sqrt {3))(3+\sin \phi )))~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )))

Pokud je Drucker-Pragerova kluzná plocha vepsána do Mohr-Coulombovy kluzné plochy, pak

A={\cfrac {6~c~\cos \phi }({\sqrt {3))(3-\sin \phi )))~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )))

Drucker-Pragerův model pro polymery

Model Drucker-Prager se používá k modelování polymerů, jako je polyformaldehyd a polypropylen .[3] . U polyformaldehydu je kritériem pevnosti lineární funkce zatížení. U polypropylenu však existuje kvadratická závislost na zatížení.

Drucker-Pragerův model pro pěny

Pro pero používá model GAZT [4] :

A=\pm {\cfrac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}~;~~B=\mp {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\ vlevo({\cfrac {\rho }{5~\rho _{s))}\right)

kde je kritické napětí pro selhání v tahu nebo tlaku, je hustota pěny a je hustota základního materiálu (ze kterého je pěna odvozena). $\sigma _{y}$ $\rho$ ${\displaystyle \rho _{s))$

Výrazy pro izotropní Drucker-Pragerův model

Kritérium Drucker-Prager lze použít také v alternativní formulaci:

J_{2}=(A+B~I_{1})^{2}=a+b~I_{1}+c~I_{1}^{2}~.

Deshpande-Fleck pevnostní kritérium

Deshpande-Fleckovo pevnostní kritérium [5] pro pěny má podobu výše uvedené rovnice. Parametry pro Deshpand-Vleck test $a,b,c$

a=(1+\beta ^{2})~\sigma _{y}^{2}~,~~b=0~,~~c=-{\cfrac {\beta ^{2} {3}}

kde je parametr [6] , který určuje tvar kluzné plochy a je mezní pevnost v tahu nebo tlaku. $\beta$ $\sigma_y$

Kritérium anizotropní pevnosti Drucker-Prager

Anizotropní forma Drucker-Pragerova pevnostního kritéria se shoduje s Liu-Huang-Stoutovým kritériem pevnosti [7] . Toto pevnostní kritérium je vyjádřeno v Hillově zobecněném kritériu kluzu :

{\begin{aligned}f:=&{\sqrt {F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _ {11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^ {2}+2N\sigma _{12}^{2}}}\\&+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}-1\leq 0\ konec{aligned}}

Koeficienty jsou: $F,G,H,L,M,N,I,J,K$

{\begin{aligned}F=&{\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{2}^{2}+\Sigma _{3}^{2}-\Sigma _ {1}^{2}\right]~;~~G={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{3}^{2}+\Sigma _{1}^{2} -\Sigma _{2}^{2}\right]~;~~H={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{1}^{2}+\Sigma _{2} ^{2}-\Sigma _{3}^{2}\right]\\L=&{\cfrac {1}{2(\sigma _{23}^{y})^{2}}}~ ;~~M={\cfrac {1}{2(\sigma _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2(\sigma _{ 12}^{y})^{2))}\\I=&{\cfrac {\sigma _{1c}-\sigma _{1t)){2\sigma _{1c}\sigma _{1t} }}~;~~J={\cfrac {\sigma _{2c}-\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~K={\ cfrac {\sigma _{3c}-\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}\end{aligned}}

kde

\Sigma _{1}:={\cfrac {\sigma _{1c}+\sigma _{1t}}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~\ Sigma _{2}:={\cfrac {\sigma _{2c}+\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~\Sigma _{3 }:={\cfrac {\sigma _{3c}+\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}

a jednoosé pevnosti v tlaku ve třech hlavních směrech anizotropie, jednoosé pevnosti v tahu a čisté pevnosti ve smyku. Výše se předpokládalo, že hodnoty jsou kladné a záporné. $\sigma _{ic},i=1,2,3$ $\sigma _{it},i=1,2,3$ ${\displaystyle \sigma _{23}^{y},\sigma _{31}^{y},\sigma _{12}^{y))$ ${\displaystyle \sigma _{1c},\sigma _{2c},\sigma _{3c))$ ${\displaystyle \sigma _{1t},\sigma _{2t},\sigma _{3t))$

Druckerovo kritérium obratu

Kritérium Drucker-Prager by nemělo být v rozporu s dřívějším kritériem Drucker [8] , které je nezávislé na zatížení ( ). Kritérium Drucker obsahuje položku $I_1$

f:=J_{2}^{3}-\alpha ~J_{3}^{2}-k^{2}\leq 0

kde je druhý invariant deviátoru tenzoru napětí, je třetí invariant deviátoru tenzoru napětí, je konstanta mezi −27/8 a 9/4 (takže kluzná plocha je konvexní), je konstanta, která se mění v závislosti na . Pro , , kde je kritérium pevnosti pro jednoosé napětí. $J_{2}$ $J_{3}$ $\alpha$ $k$ $\alpha$ $\alpha=0$ $k^{2}={\cfrac {\sigma _{y}^{6}}{27}}$ $\sigma_y$

Anizotropní Druckerovo kritérium

Anizotropní verzí Druckerova výnosového kritéria je Kazaku-Barlatovo výnosové kritérium [9] , které má tvar

f:=(J_{2}^{0})^{3}-\alpha ~(J_{3}^{0})^{2}-k^{2}\leq 0

kde jsou zobecněné formy deviátoru tenzoru napětí definované jako: $J_{2}^{0},J_{3}^{0}$

{\begin{aligned}J_{2}^{0}:=&{\cfrac {1}{6}}\left[a_{1}(\sigma _{22}-\sigma _{33 })^{2}+a_{2}(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+a_{3}(\sigma _{11}-\sigma _{22}) ^{2}\right]+a_{4}\sigma _{23}^{2}+a_{5}\sigma _{31}^{2}+a_{6}\sigma _{12}^{ 2}\\J_{3}^{0}:=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{11}^{3}+ (b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}+\{2(b_{1}+b_{4})-(b_{2}+b_{3})\} \sigma _{33}^{3}\right]\\&-{\cfrac {1}{9}}\left[(b_{1}\sigma _{22}+b_{2}\sigma _{ 33})\sigma _{11}^{2}+(b_{3}\sigma _{33}+b_{4}\sigma _{11})\sigma _{22}^{2}+\{ (b_{1}-b_{2}+b_{4})\sigma _{11}+(b_{1}-b_{3}+b_{4})\sigma _{22}\}\sigma _ {33}^{2}\right]\\&+{\cfrac {2}{9}}(b_{1}+b_{4})\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _ {33}+2b_{11}\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}\\&-{\cfrac {1}{3}}\left[\{2b_{9}\ sigma _{22}-b_{8}\sigma _{33}-(2b_{9}-b_{8})\sigma _{11}\}\sigma _{31}^{2}+\{2b_ {10}\sigma _{33}-b_{5}\sigma _{22}-(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\}\sigma _{12}^{2} \right.\\&\qquad \qquad \left.\{(b_{6}+b_{7})\sigma _{11}-b_{6}\sigma _{2  2}-b_{7}\sigma _{33}\}\sigma _{23}^{2}\right]\end{aligned}}

Kritérium výtěžnosti Kazaku-Barlat pro rovinný stav napětí

U tenkých kovových desek lze napětí uvažovat jako v případě rovinného napjatého stavu . V tomto případě je Cazacou-Barlat kritérium výnosu redukováno na jeho dvourozměrnou verzi:

{\begin{aligned}J_{2}^{0}=&{\cfrac {1}{6}}\left[(a_{2}+a_{3})\sigma _{11}^ {2}+(a_{1}+a_{3})\sigma _{22}^{2}-2a_{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\right]+a_{6} \sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{ 11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}\right]-{\cfrac {1}{9}}\left[b_{1}\ sigma _{11}+b_{4}\sigma _{22}\vpravo]\sigma _{11}\sigma _{22}+{\cfrac {1}{3}}\vlevo[b_{5}\ sigma _{22}+(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\vpravo]\sigma _{12}^{2}\end{aligned}}

Pro tenké plechy vyrobené z kovu a slitin lze parametry kritéria výtěžnosti Kazaku-Barlat nalézt v příslušných tabulkách

Tabulka 1. Parametry kritéria výtěžnosti Kazaku-Barlat pro kovy a slitiny

Materiál	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{6}$	$b_{1}$	$b_{2}$	$b_{3}$	$b_{4}$	$b_{5}$	${\displaystyle b_{10))$	$\alpha$
Hliníková slitina 6016-T4	0,815	0,815	0,334	0,42	0,04	-1,205	-0,958	0,306	0,153	-0,02	1.4
Hliníková slitina 2090-T3	1.05	0,823	0,586	0,96	1.44	0,061	-1,302	-0,281	-0,375	0,445	1,285

Poznámky

↑ Drucker, DC a Prager, W. (1952). Mechanika zemin a plastická analýza pro návrh limitů . Quarterly of Applied Mathematics, roč. 10, č. 2, str. 157-165.
↑ Pisarenko G.S., Mozharovsky N.S. Rovnice a okrajové úlohy teorie plasticity a tečení. Referenční příručka. - Kyjev: Nauk. Dumka, 1981. - S. 36. - 496 s.
↑ Abrate, S. (2008). Kritéria pro poddajnost nebo selhání buněčných materiálů . Journal of Sandwich Structures and Materials, sv. 10.pp. 5-51.
↑ Gibson, L. J., Ashby, M. F., Zhang, J. a Triantafilliou, T. C. (1989). Poruchové plochy pro celulární materiály při víceosém zatížení. I. Modelování . International Journal of Mechanical Sciences, sv. 31, č. 9, str. 635-665.
↑ V.S. Deshpande a Fleck, N.A. (2001). Chování polymerních pěn ve více osách. Acta Materialia, sv. 49, č.p. 10, str. 1859-1866.
↑ , kde je hodnota, kterou používají Deshpande a Fleck $\beta =\alpha /3$ $\alpha$
↑ Liu, C., Huang, Y. a Stout, M. G. (1997). Na asymetrické kluzné ploše plasticky ortotropních materiálů: Fenomenologická studie. Acta Materialia, sv. 45, č.p. 6, str. 2397-2406
↑ Drucker, DC (1949) Vztahy experimentů k matematickým teoriím plasticity , Journal of Applied Mechanics, sv. 16, str. 349-357.
↑ Cazacu, O. a Barlat, F. (2001). Zobecnění Druckerova výnosového kritéria na ortotropii. Matematika a mechanika těles, sv. 6, č. 6, str. 613-630.