Kritická dynamika

Kritická dynamika je odvětví teorie kritického chování a statistické fyziky , které popisuje dynamické vlastnosti fyzikálního systému v kritickém bodě nebo v jeho blízkosti . Jedná se o pokračování a zobecnění kritické statiky, umožňující popsat veličiny a charakteristiky systému, které nelze vyjádřit pouze pomocí simultánních rovnovážných distribučních funkcí . Takovými veličinami jsou například transportní koeficienty, relaxační rychlosti, multičasové korelační funkce a funkce odezvy na časově závislé poruchy.

Stejně jako celá statistická fyzika se kritická dynamika zabývá obrovským nebo dokonce nekonečným počtem stupňů volnosti . Vývoj takových systémů v čase je charakterizován různými stochastickými (náhodnými) procesy: tepelným pohybem a srážkou molekul v plynném systému, přeorientováním spinů mřížky v pevné látce, vznikem a interakcí turbulentních vírů v proudění tekutiny. Formulace a řešení takových problémů se provádí pomocí formalismu kvantové teorie pole , který byl původně vytvořen pro potřeby fyziky vysokých energií a elementárních částic. Stochasticita procesů je modelována zavedením dalšího náhodného členu do dynamických rovnic - "šumu" se známým (obvykle Gaussovým ) rozdělením.

Krátký popis systému

Výrok problémů stochastické dynamiky

Označením pro množinu prostorových souřadnic a indexů systému, pro celou množinu polí v systému, můžeme zapsat standardní formulaci problému stochastické dynamiky. $X$ $\phi(x)$

\partial _{t}\phi (x)=U(x;\phi )+\eta (x),\ \ \ <{\hat {\eta }}(x){\hat {\eta }}(x')>=D(x,x')

Zde je U daný t-lokální funkcionál, náhodná vnější síla, která modeluje všechny rychle se měnící procesy v systému. Předpokládá se, že má Gaussovo rozdělení s nulovým průměrem a daným korelátorem D. Podmínka zpoždění a některé okrajové podmínky jsou také splněny, které se obvykle někdy považují za nulové. $\eta$ $t->-\infty$

Toto je nejobecnější forma evoluční rovnice v problémech stochastické dynamiky. Pro jakoukoliv volbu funkčního U a korelátoru D to samozřejmě nebude mít jednoduché řešení.

Níže uvádíme několik příkladů problémů stochastické dynamiky.

Brownův pohyb

Napišme rovnice pro Brownův pohyb v jazyce stochastické dynamiky:

$\partial _{t}r_{i}(t)=\eta _{i}(t),\ \ \ <{\hat {\eta ))_{i}(t){\hat { \eta }}_{k}(t')>=2\alpha \delta _{ik}\delta (tt')$

Zde , U = 0, má konstanta význam difúzního koeficientu. $\phi (x)\equiv r_{i}(t)$ $\alpha$

Navier-Stokesova rovnice

V tomto jazyce lze také formulovat dynamickou Navier-Stokesovu rovnici. Kritickými úlohami pro rovnici bude úkol popsat turbulenci , včetně rozvinuté turbulence (pro systémy s velkými hodnotami Reynoldsových čísel), konstrukce distribuční funkce vírů přes vlnový vektor (ve Fourierově reprezentaci rychlostního pole) a testování fenomenologické teorie Kolmogorova.

\partial _{t}\phi _{i}(x)=\nu \Delta \phi _{i}(x)-\partial _{i}P-\phi _{j}\partial _ {j}\phi _{i}

\partial _{i}\phi _{i}=0\ \

(příčný stav)

Zde je vektorové pole nestlačitelné rychlosti, je kinematická viskozita a p je tlak. $\phi$ $\nu$

Problémy Langevinova typu

Ve třídě problémů stochastické dynamiky se tradičně rozlišuje užší třída problémů kritické dynamiky, ve které jsou kladeny další podmínky na uvažovaná pole a na tvar funkcionálu U (t-lokální funkcionál na pravé straně dynamické rovnice pro pole). Za prvé, jako soubor polí systému, soubor polí odpovídajících tzv. měkké režimy. Měkký mód je jakákoli veličina, jejíž velké fluktuace se pomalu uvolňují, to znamená, že v reprezentaci hybnosti má relaxační rychlost fluktuací s daným vlnovým vektorem k tendenci k nule při . Například pole parametru objednávky poblíž kritického bodu je vždy samo o sobě měkkým režimem. Za druhé, funkcionál U bude variační derivace statického děje. Zapišme si odpovídající vyjádření problému: $k->0$

$\partial _{t}\phi _{a}=(\alpha _{ab}+\beta _{ab}){\frac {\delta S^{st}(\phi )}{\delta \phi _{b))}+\eta _{a},\ \ \ <{\hat {\eta }}_{a}(x){\hat {\eta }}_{b}(x' )>=2\alpha _{ab}\delta (xx')$

${\displaystyle \alpha _{ab))$ zde se nazývá Onsagerův koeficient, intermodová vazba. $\beta {ab}$

Jsou pro ně splněny následující podmínky:

${\displaystyle \alpha _{ab}=\alpha _{ba))$ , to znamená, že Onsagerův koeficient je symetrický (to lze snadno pochopit z toho, že korelátor poruch náhodných sil je z definice symetrický)

${\displaystyle \beta _{ab}=-\beta _{ba))$

Zdůvodnění vlastností intermodové vazby se provádí pomocí Fokker-Planckovy rovnice .

Vyjádření jednoho či druhého problému kritické dynamiky tedy odpovídá přiřazení souboru polí popisujících systém, Onsagerův koeficient a intermodovou vazbu. Následuje seznam nejpoužívanějších a studovaných modelů.

Modely kritické dynamiky

Po klasickém článku [Hohenberg, Halperin] je zde standardní seznam kritických dynamických modelů. Všechny odpovídají statickému -modelu pro pole parametru objednávky, akce v těchto modelech bude uvedena explicitně. ${\displaystyle O_{n}-\phi ^{4))$

Akce statického modelu pro n-komponentní pole je ${\displaystyle O_{n}-\phi ^{4))$ $\psi$

S^{st}(\psi )=-(\partial \psi )^{2}/2-\tau \psi ^{2}/2-v_{1}(\psi ^{2}) ^{2}/24

Modely A a B

A a B jsou relaxační modely, to znamená, že intermodová vazba (antisymetrická část odpovídající matice) je rovna nule.

Model A popisuje anizotropní feromagnetikum s jednosložkovým nekonzervovaným polem parametru řádu, u kterého je ve fyzikální soustavě uvažován průmět magnetizace na jednu ze souřadnicových os;

Model B popisuje jednoosé feromagnetikum s jednosložkovým konzervovaným polem parametru řádu, které je ve fyzikální soustavě reprezentováno průmětem magnetizace na jednu ze souřadnicových os.

Model A:

{\displaystyle \phi =\{\psi \},S^{st}(\psi),\alpha _{\psi }=\lambda _{\psi ))

kde $\lambda _{a}\equiv const>0\ \ \forall a$

Model B:

{\displaystyle \phi =\{\psi \},S^{st}(\psi ),\alpha _{\psi }=-\lambda _{\psi }\cdot \partial ^{2))

Z hlediska formálního nastavení se tak modely A a B liší pouze v zachování pole parametru zakázky.

Modely C a D

Modely C a D jsou také čistě relaxační. Jsou to zobecnění modelů A a B pro případ zachování energie; zavádějí další konzervované skalární pole popisující kolísání teploty. $m(x)=<{\hat {E))(x)>$

Model C:

{\displaystyle \phi =\{\psi ,m\))

, kde m je další přetrvávající jednosložkové pole

S^{st}(\phi )=S^{st}(\psi )-m^{2}/2-v_{2}m\psi ^{2}/2

{\displaystyle \alpha _{\psi }=\lambda _{\psi };\ \ \ \alpha _{m}=-\lambda _{m}\cdot \partial ^{2))

Model D:

{\displaystyle \phi =\{\psi ,m\))

, kde m je další přetrvávající jednosložkové pole

S^{st}(\phi )=S^{st}(\psi )-m^{2}/2-v_{2}m\psi ^{2}/2

\alpha _{\psi }=-\lambda _{\psi }\cdot \partial ^{2};\ \ \ \alpha _{m}=-\lambda _{m}\cdot \partial ^ {2}

Modely C a D se opět z hlediska formálního nastavení liší pouze v zachování pole parametru zakázky.

Literatura

Vasiliev AN Skupina renormalizace kvantového pole v teorii kritického chování a stochastické dynamiky. - Petrohrad. : nakladatelství PIYaF, 1998.
Hohenberg PC Halperin BI Teorie dynamických kritických jevů, Rev. Mod. Phys, sv. 49, č. 3, červenec 1977, str. 435-475

Poznámky

Odkazy

MSR formalismus