Krychlový povrch
V algebraické geometrii je krychlová plocha algebraická plocha daná homogenním polynomem třetího stupně v projektivním prostoru .
Můžeme přijmout nebo .
27 čar na krychlovém povrchu
Pozoruhodným a netriviálním výsledkem algebraické geometrie je, že když povrch není singulární (to znamená, že v každém bodě povrchu nezmizí alespoň jedna parciální derivace polynomu), a základní pole je polem komplexních čísel, na krychlové ploše leží přesně 27 čar. Toto je Cayleyova – Salmonova věta , kterou v roce 1849 zavedl Salmon poté, co Cayley ukázal, že počet čar na takovém krychlovém povrchu je vždy konečný.
Samozřejmě, že nad polem reálných čísel na povrchu nesmí být 27 řádků. Lze však ukázat, že počet skutečných řádků je 3, 7, 15 nebo 27. Všechny tyto možnosti jsou realizovány.
Příklady
Fermat Surface
Polynom je homogenní polynom stupně 3 a krychlový povrch, který definuje (nazývaný Fermatův povrch ) je . Tato plocha není singulární a obsahuje 27 čar. V tomto případě je polynom dostatečně jednoduchý na to, aby je výslovně popsal: až do permutace souřadnic mají tvar , kde jsou odmocniny z . Nahoře jsou tři odmocniny −1 a kombinatorický argument ukazuje, že celkový počet řádků je 27.
![{\displaystyle \{[X:Y:Z:T]\in \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {C} )\ |\ X^{3}+Y^{3}+Z^{ 3}+T^{3}=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f21a82f48d74c83887b22340e95b8ce2de4e74)
![{\displaystyle [X:\rho X:Z:\rho 'Z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d995502b6fefc6dda712f76db7dbdfa24b2cb2)
Přes pole reálných čísel existuje pouze jedna odmocnina z −1, která dává tři přímky.
Clebsch povrch
Clebschův povrch je krychlový povrch, jehož rovnice je , a má 27 skutečných čar:
- , až do permutace souřadnic, jsou tři přímky.
- , až do permutace souřadnic, - 12 přímek.
- , kde , dává 12 řádků.
![{\displaystyle [X:-X:Z:-Z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7dcb4b2007a818733986b865fd9c47e2ce3aef)
![{\displaystyle [0:Y:-Y:T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b348a254116c8d3fc98c7962a372321eb76aa390)
![{\displaystyle [X:Y:-X-\phi Y:-\phi XY]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bef580ea2c2ba1b40de7924cefa60b24caf8bc6)
Vidíme, že všech 27 čar leží v projektivním prostoru nad polem reálných čísel a dokonce v .
![{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}\left(\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55bfd03a16e9241209ab64dab496be074409bb5e)
Surface Cayley
Cayleyho povrch je definován rovnicí
Tento povrch je speciální, všechny čtyři parciální derivace mizí ve čtyřech bodech.
![{\displaystyle [1:0:0:0],[0:1:0:0],[0:0:1:0],[0:0:0:1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1cce362d5240b3b224db02ec002628fc521ee3d)
Jde tedy o příklad, kde neplatí Cayley-Salmonova věta. Tato plocha však stále obsahuje čáry, zejména čáry spojující singulární body.
Literatura
- Miles Reid , Bakalářská algebraická geometrie, CUP, 1989.
Odkazy
- Povrch kubický Mathcurve
- Étienne Ghys, Jos Leys , Des surface cubiques en DVD - Images des mathématiques, [CNRS National Research Center], 2008