Lemma z Nakayamy

Nakayamovo lemma je důležité technické lemma v komutativní algebře a algebraické geometrii , důsledek Cramerova pravidla . Pojmenován po Tadashi Nakayama .

Formulace

Má mnoho ekvivalentních formulací. Zde je jeden z nich:

Nechť R je komutativní kruh s identitou 1, I ideál v R a M konečně generovaný modul přes R. Jestliže IM = M , pak existuje ∈ I takové, že pro každé m ∈ M am = m .

Důkaz lemmatu. Nechť jsou generátory modulu M . Protože M = IM , každý z nich může být reprezentován jako $m_{1},m_{2},...,m_{n}$

m_{i}=a_{{i1}}m_{1}+a_{{i2}}m_{2}+\tečky +a_{{in}}m_{n}

, kde jsou prvky ideálního I . Tedy (kde je symbol Kronecker ).

a_{{ij}}

\sum \limits _{{j}}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})m_{j}=0

\delta _{{ij}}

Z Cramerova vzorce pro tento systém vyplývá, že pro jakékoli j

\operatorname {det}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})\cdot m_{j}=0

Protože reprezentujeme ve tvaru 1 − a , a z I , je lemma dokázáno. $\operatorname {det}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})$

Následující důsledek osvědčeného tvrzení je také známý jako Nakayamovo lemma:

Důsledek 1: Pokud má ideál I za podmínek lemmatu tu vlastnost, že pro každý jeho prvek a je prvek 1 − a invertibilní (například je-li I obsaženo v Jacobsonově radikálu ) , musí být M = 0 .

Důkaz . Existuje prvek a ideálu I takový, že aM = M , tedy (1 − a)M = 0, vynásobíme-li zleva prvkem inverzním k 1 − a , dostaneme M = 0.

Aplikace na moduly přes místní kruhy

Nechť R je lokální kruh , je maximální ideál v R , M je konečně generovaný R - modul a je faktorizační homomorfismus. Nakayamovo lemma poskytuje pohodlný způsob přechodu z modulu M přes místní prstenec R do kvocientového modulu , což je konečný vektorový prostor nad polem . Následující tvrzení je také považováno za formu Nakayamova lemmatu, jak je aplikováno na tento případ: $\mathfrak{m}$ $\phi :M\to M/{\mathfrak {m}}M$ $M/{\mathfrak {m}}M$ $R/{\mathfrak {m}}$

Prvky generují modul M právě tehdy, když jejich obrázky generují kvocientový modul . $m_{1},m_{2},...,m_{n}\v M$ $\phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})$ $M/{\mathfrak {m}}M$

Důkaz. Nechť S je submodul v M generovaný prvky , Q = M/S je modul faktoru a je faktorizační homomorfismus. Protože generují kvocientový modul , znamená to, že pro každý existuje , takové, že . Pak . Protože je to surjektivní, znamená to, že . Podle Nakayamova lemmatu (přesněji podle Důsledku 1) Q=0 , tedy S=M . $m_{1},m_{2},...,m_{n}$ $\pi :M\to Q$ $\phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})$ $M/{\mathfrak {m}}M$ $m\in M$ $v S$ $ms\in {\mathfrak {m}}M$ $\pi (m)=\pi (ms)\in {\mathfrak {m}}O$ $\pi$ $Q={\mathfrak {m}}Q$

Existuje další verze Nakayamova lemmatu pro moduly nad místními kruhy:

Nechť je homomorfismus konečně generovaných R -modulů. Vyvolává homomorfismus kvocientového modulu . Tyto homomorfismy jsou buď surjektivní, nebo nesurjektivní zároveň. $\phi :\,M\to N$ $\phi _{0}:\,M/{\mathfrak {m}}M\to N/{\mathfrak {m}}N$

Na základě této formy Nakayamova lemmatu je odvozena následující důležitá věta:

Každý ( konečně vygenerovaný ) projektivní modul přes lokální okruh je zdarma.

Literatura

M. Atiyah, I. MacDonald. Úvod do komutativní algebry. — M .: Mir , 1972. — 160 s.

Viz také

Tadashi Nakayama