Logaritmický potenciál

Logaritmický potenciál je funkce definovaná v ℝ 2 jako konvoluce zobecněné funkce ρ s funkcí -ln| z |:

V=-\rho \ln |z|.

Logaritmický potenciál splňuje Poissonovu rovnici Δ V = −2πρ. Analogicky k newtonskému potenciálu můžeme uvažovat tři konkrétní případy logaritmického potenciálu.

Fyzický význam

Fyzikální význam logaritmických potenciálů spočívá v tom, že odpovídají potenciálu vytvořenému náboji (neboli hmotnostmi ) ve dvourozměrné elektrostatice (nebo dvourozměrné newtonovské gravitaci) distribuované s (dvourozměrnou) hustotou ρ. Z pohledu konvenční trojrozměrné elektrostatiky hovoříme o elektrostatickém potenciálu vytvořeném rozložením náboje, který má translační symetrii podél jedné z prostorových os (podél osy kolmé k rovině, kartézské souřadnice, na kterých jsou složky vektoru z - nebo jeho reálné a imaginární části, považujeme-li z za komplexní číslo), jinými slovy rozložení nábojů, nezávislé na třetí souřadnici, konstantní podél ní (potenciál nabitého vlákna).

Potenciál oblasti

V(z)=\iint \limits _{G}\rho (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}d\xi \,d\eta ,\qquad \zeta =\xi +i\eta .

Jestliže , pak samotný potenciál je harmonický v a $\rho (z)\in C({\overline {G)))$ $V(z)\in C^{1}(\mathbb {R} ^{2})$ $\mathbb {R} ^{2}\setminus G$

V(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\iint \limits _{G}\rho (\zeta )d\xi \,d\eta +O\left({ \frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .

Zde, jak se často dělá, je míněna reprezentace jako komplexní rovina; v rámci definic to však není podstatné a v tomto smyslu lze komplexní proměnné nahradit jednoduše dvourozměrnými vektory a modul komplexního čísla euklidovskou normou v , a pokud je také komplexní, lze uvažovat o jeho skutečné a imaginární části odděleně. $\mathbb {R} ^{2}$ $\zeta ,\z$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\rho$

Logaritmický potenciál jednoduché vrstvy

V^{(0)}(z)=\mu \delta _{S}\ln {\frac {1}{|z|}}=\int \limits _{S}\mu (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}dS_{\zeta }.

Jestliže , pak samotný potenciál je harmonický v a $\mu (z)\in C(S)$ $V^{(0)}(z)\in C(\mathbb {R} ^{2})$ $\mathbb {R} ^{2}\setminus S$

V^{(0)}(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\int \limits _{S}\mu (\zeta )dS_{\zeta }+O\ left({\frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .

Je -li S Ljapunovova křivka , pak potenciál má derivace a jejich diskontinuita je pozorována na samotné křivce:

\left({\frac {\částečné V^{(0)}}{\částečné \mathbf {n} }}\right){\Bigg |}_{+}=-\pi \mu (z )+{\frac {\částečné V^{(0)}(z)}{\částečné \mathbf {n} )),

\left({\frac {\částečné V^{(0)}}{\částečné \mathbf {n} }}\right){\Bigg |}_{-}=\pi \mu (z) +{\frac {\částečné V^{(0)}(z)}{\částečné \mathbf {n} )).

Dvouvrstvý logaritmický potenciál

V^{(1)}(z)=-\ln {\frac {1}{|z|}}*{\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}(\nu \delta _{S})=\int \limits _{S}\nu (\zeta ){\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}\left(\ln {\frac {1} {|z-\zeta |}}\right)dS_{\zeta }=\int \limits _{S}\nu (\zeta ){\frac {\cos \varphi }{|z-\zeta |}} dS_{\zeta },

kde φ je úhel mezi normálou v bodě ζ a vektorem poloměru nakresleným do tohoto bodu z bodu z .

Jestliže , pak samotný potenciál je harmonický v a $\nu (z)\in C(S)$ $V^{(1)}(z)$ $\mathbb {R} ^{2}\setminus G$

V^{(1)}(z)=O\left({\frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .

Pokud S je Ljapunovova křivka , pak:

V^{(1)}\in C({\overline {G)))\cap C(S)\cap C(\mathbb {R} ^{2}\setminus G)

V_{+}^{(1)}(z)=\pi \nu (z)+V^{(1)}(z),

V_{-}^{(1)}(z)=-\pi \nu (z)+V^{(1)}(z).

Pokud je navíc hustota konstantní hodnotou, potenciál se rovná

V^{(1)}={\begin{cases}-2\pi \nu ,\ z\in G,\\-\pi \nu ,\ z\in S,\\0,\ z \in \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {G}}.\end{cases}}

Viz také

Literatura

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Rovnice matematické fyziky. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .
A.N. Tichonov, A.A. Samara. Rovnice matematické fyziky. — M.: Nauka, 1972.

Odkazy

[bse.sci-lib.com/article091961.html Potenciál ve Velké sovětské encyklopedii]